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1、第三章 刚体和流体的运动,3-2力矩 转动惯量 定轴转动定律,2,目 录,第一章 力和运动第二章 运动的守恒量和守恒定律第三章 刚体和流体的运动第四章 相对论基础第五章 气体动理论第六章 热力学基础第七章 静止电荷的电场第八章 恒定电流的磁场第九章 电磁感应 电磁场理论,3-1刚体模型及其运动3-2力矩 转动惯量 定轴转动定律3-3定轴转动中的功能关系3-4定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律*3-5进动*3-6理想流体模型 定常流动 伯努利方程*3-7牛顿力学的内在随机性 混沌,3,对固定点的 力矩,力矩：,Nm, 对固定轴的 力矩,4,相当于质点绕固定点转动的情形,（1）力垂直于转轴,
2、（2）力与转轴不垂直,可把力分解为平行于转轴的分量和 垂直于转轴的分量。,平行转轴的力不产生转动效果，该力对转轴的力矩为零。,大小：,刚体定轴转动的角量描述,5,各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位置、角位移、角速度、角加速度）都相同.,描述刚体整体的运动用角量最方便。,角量是矢量吗？,6, 角速度矢量,刚体上各点都绕同一轴作圆周运动，且各点 、 都相同。 矢量 、 退化为代数量。,7,质点 & 刚体,8,刚体的定点转动*,刚体绕基点的转动，其转轴是可以改变的。为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢和转向，引入角速度、角加速度矢量。,大小：,方向：沿瞬时轴，且与刚体转向成右手螺旋关
3、系.,角加速度：,方向：一般情况下，并不一定沿着瞬时轴。,9,线量 & 角量,点线速度:,点加速度:,(旋转加速度),(向轴加速度),推导：,平面圆周运动：=,平面圆周运动： =， = 2 ,切向加速度,向心加速度,10,例题,一飞轮以转速=/转动，受到制动后均匀地减速，经=后静止。求:（1）角加速度和飞轮从制动开始到静止所转过的转数. （2）制动开始后=时飞轮的角速度。 （3）设飞轮的半径=，在 =时飞轮边缘上一点的速度和加速度。,11,例题,一飞轮在时间内转过角度=+。、都是常量。求它的角加速度。,12, 定轴转动定律,对mi用牛顿第二定律：,切向分量式为：,Fisini+fisi
4、ni= miait,外力矩,内力矩,内力、外力均垂直于转轴,13,定轴转动定律,对所有质元同样的式子求和：,一对内力的力矩之和为零，所以有,令J mi ri2 J 为刚体对于定转轴的转动惯量,MzJ ,刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩 =刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。, + = ( 2 ), Fi sini = （mi ri2）,14,定轴转动定律,刚体在总外力矩的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的大小成正比，并与转动惯量成反比。,力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。,地位,质点系角动量定理,牛顿第二定律的微分形式,15,定轴转动定律 解题指导,刚体转动的两类问
5、题： 已知刚体的转动规律 求: 外力矩 （微分过程）； 已知外力矩 求: 刚体的转动规律（积分过程）。,常力矩作用下的连接体问题 变力矩作用下的单体问题,16,变力作用下的单体问题,4. 力是时间、位置、速度等的函数.,1. 力是时间的函数：,2. 力是位置的函数： 如， 弹力、万有引力等。,3. 力是速度的函数： 如， 在流体中的阻力等。,只有少数情况下才能求解。,运动的变化与t直接相关,运动的变化与x直接相关,17, 转动惯量,形状、大小相同的均刚体，总质量越大，J 越大。 总质量相同，质量分别离轴越远，J 越大。 同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布不同，J不同。,kgm2,与转动惯量有关
6、的因素： 刚体的质量 转轴的位置 刚体的形状（质量分布）,刚体对某一转轴的转动惯量 = 每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。,18,转动惯量 的物理意义,平动： 平动动能 线动量,转动： 转动动能 角动量,可见：角速度 相当于 线速度 转动惯量 则相当于 质量。 质量是平动中惯性大小的量度， 转动惯量是转动中惯性大小的量度。,19,转动惯量 的计算,20,几种 转动惯量,21,计算 转动惯量 的规律,（1）对同一轴 J 具有可叠加性.,（2）平行轴定理,22,例题 3-1,求质量为m、长为l的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量.（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直。（2）转轴通过棒
7、的一端并和棒垂直。（3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。,23,平行轴定理,JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距l/2。,推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有： JJCmd2,24,例题,右图所示, 刚体对经过棒端且与棒垂直球的转动惯量如何计算？(棒长为、球半径为）,解：,25,例题 3-2,求：圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。 设圆盘的半径为R，质量为m，厚为 l，密度均匀。,26,例题,轮 =0.2，=1，0=0，=1.5，绳轮间无相对滑动，下落时间 =3 。求: 轮对 轴 =
8、 ？ (绳不可伸长),如果m自由落体需要的时间= 2 = 0.3,27,例题 3-3,一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，。设滑轮的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为。绳与滑轮之间无相对滑动。求: 物体的加速度和绳的张力。,28,例题 3-4,一半径为，质量为匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问: 它经过多少时间才停止转动？,29,例 题,为了将80kg 的对手摔倒，你打算用一个力和你的髋关节为转轴，假设他的转动惯量为 = ，拉他的力臂 =. 。若想使他以./ 角加速度
9、转动。(1)你必须用多大的力? (2)若对手在你摔倒前仍站立，此时他对转轴的力臂 =. .,30,数学摆,一单摆（数学摆），摆锤质量为，摆线长为 ，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过点的铅垂平面内摆动。求: 单摆在微小摆动时的运动规律.,31,测定 转动惯量 方法（1）,被测物体用一根钢丝挂起来。将钢丝扭过一个角度，然后放松，让物体作扭转摆动。不计钢丝的质量和空气阻力。求：物体的转动惯量？ （扭转振动法）,若C未知，由已知的J0：,32,测定 转动惯量 方法（2）,落体观测法。,33,小结,刚体模型 平动 转动（ 定轴转动 定点转动 ）,刚体绕Z轴的角动量,转动惯量,线速度与角
10、速度,线动量,质点的角动量,转动动能,平动动能,课后作业,34,习题（P138）：3-1、3-3、3-4、3-6,35,圆柱体 的转动惯量*,设圆柱体的质量为M，半径为R，则,P118,36,圆筒、圆柱、圆环 的转动惯量*,一质量为、长为 的均质空心圆柱体（即圆筒），其内、外半径分别为和 ，求: 对几何轴的转动惯量。,解:,质元的质量为 = 2 ,由于筒体是均质的，为恒量，因此,圆柱：,圆环：,圆环的面积,= 2 =2 1 2 3 ,=2 1 2 3 = 2 ( 2 4 1 4 ),= 2 2 1 2 ,= ( + ), 1 =0,= 1 2 2,= 2, 1 2 ,圆环、圆片(绕x轴) 的转动惯量*,37,半径为 均匀圆环薄片，面密度为常量。求: 对几何轴的转动惯量。,38,圆柱 (绕y轴) 转动惯量*,计算匀质圆柱体对于其底面直径的转动惯量。,39,球体 的转动惯量*,40,球壳 的转动惯量*,