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1、初中数学竞赛课程整除问题.学生版.1/11竞赛考纲知识架构整除的概念和基本性质质整除问题整数的可整除性特征模块一：整除的概念和基本性质考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用整除的概念和性质整除的概念整除的基本性质整数的可整除性特征被2或5整除的数的特征被4或25整除的数的特征被8或125整除的数的特征被3或9整除的数的特征被11整除的数的特征初中数学竞赛课程整除问题.学生版.2/11知识精讲一、一、整除的整除的概念概念设有两个整数a，b（0b），若有另一个整数q，使得abq，则称a被b整除，记作|b a，若a不能被b整除，则记作|ba二、整除的基本性质二、整除的基本性质1.若|b a，
2、则|()ba，且对任意的非零整数m，有|mmba2.若|a b，|b a，则ab3.若|a b，|b c，则|a c4.若|a b，|a c，则|abc，且对任意整数m，n，有|ambnc5.若a，b互质，且|a bc，则|a c6.若a，b互质，且|a c，|b c，则|ab c7.n个连续的整数中，必有一个能被n整除例题解析【例 1】能整除任意三个连续整数之和的最大整数是（）A1B.2C.3D.6【例 2】数7221能被500与600之间的若干整数整除,请找出三个这样的整数,它们是_【例 3】已知正整数n大于30，且使得41n 整除2002n，则n等于_【例 4】已知x，y，z均为整数，若
3、11|725xyz，求证：11|3712xyz初中数学竞赛课程整除问题.学生版.3/11【例 5】已知a，b为整数，且229|aabb，求证：3|a，3|b【例 6】从1，2，9中任取n个数其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值.【例 7】已知两个三位数abc，def的和abcdef能被 37 整除.证明：六位数abcdef也能被37整除.【例 8】有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同，则较大的四位数有多少种可能？【例 9】如果将自然数N放在另一个自然数的右面所得的新数总可被N整除，则称N为“魔术数”，试求出所有的魔术数.初中
4、数学竞赛课程整除问题.学生版.4/11模块二：整数的可整除性特征知识精讲一、一、整数的可整除性特征整数的可整除性特征1.被 2 或 5 整除的数的特征是末位数字能被 2 或 5 整除2.被 4 或 25 整除的数的特征是末两位数字能被 4 或 25 整除3.被 8 或 125 整除的数的特征是末三位数字能被 8 或 125 整除4.能被 3 或 9 整除的数的特征是各位数字的和能被 3 或 9 整除5.能被 11 整除的数的特征是其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除例题解析【例 10】若4232bcd，试问abcd能否被8整除？请说明理由【例 11】求证：1000000001能
5、被11整除【例 12】1，2，3，4，5，6每一个使用一次组成一个六位数abcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数.初中数学竞赛课程整除问题.学生版.5/11【例 13】一个五位数，若前三位数字表示的三位数与后两个数字表示的两位数的和能被11整除，判断这个五位数能否被11整除，并说明理由【例 14】若a，b，c，d是互不相等的整数，且整数x满足9xaxbxcxd，求证：4|abcd【例 15】已知整数13456ab（a，b各表示一个数字）能被198整除，求a，b的值.【例 16】已知四位数2 9x y满足2 929xyx y，试确定2112
6、 91yyx yx xx的值.初中数学竞赛课程整除问题.学生版.6/11【例 17】设22221232003m，今天是星期一，若算第一天，则第m天是星期几？【例 18】设n是正整数，求证：2127|32nn【例 19】已知：n为正整数，求证：323122nnn是3的倍数【例 20】已知7位数12876xy是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数.初中数学竞赛课程整除问题.学生版.7/11【例 21】设n为任意奇正整数，证明：15961000270320nnnn能被2006整除.【例 22】判断一个正整数能否被7整除，可采用“割尾法”.如对2527割掉末位数字7得到252，再从252中减去被割掉
7、的末位数字7的2倍得到238，这称为一次“割尾”，对238再进行一次“割尾”得到7.显然7是7的倍数，从而2527可被7整除.试证明：一个正整数被7整除的充分必要条件是对该数进行有限次“割尾”所得到的数能被7整除.【例 23】N是由5个不同的非零数字组成的五位数，且N等于这5个数字中取3个不同的数字构成的所有三位的和，求所有的这种五位数N.【例 24】一个四位数乘以9以后得到的新四位数的各位数字的顺序恰好与原四位数相反，原来的四位数是多少？初中数学竞赛课程整除问题.学生版.8/11随堂练习【习题 1】能整除任意五个连续整数之和的最大整数是（）A.1B.2C.3D.5【习题 2】已知2471可被
8、40至50之间的两个整数整除，这两个整数是（）A.41,48B.45,47C.43,48D.41,47【习题 3】一个六位数1991ab能被12整除，这样的六位数共有（）个A.4B.6C.8D.12【习题 4】令20072009A，n是100个A并列写成的800位数，那么n除以11的余数是（）A.1B.2C.4D.0【习题 5】已知x，y为整数，5|9xy，求证：5|87xy【习题 6】求证：若|mpmnpq，则|mpmqnp初中数学竞赛课程整除问题.学生版.9/11【习题 7】已知1996个自然数1a，2a，1996a满足条件：其中任意两个数的和能被它们的差整除，现设1231996naaaa
9、求证：n，1na，2na，1996na这1997个数仍满足上述条件【习题 8】从19到80的所有两位数被连续的写成一个数19202180 x.求证：这个数能被1980整除.课后作业【作业 1】证明：对任何正整数n，32359nnn总能被3整除【作业 2】求证：若|nmab，|nmcd，则|nadbc初中数学竞赛课程整除问题.学生版.10/11【作业 3】如果在5,6,7,8,9五个数字中,选出四个数字组成一个四位数,它能被3,5,7整除,那么这些数中最大的是_【作业 4】已知一个七位自然数62427xy是99的倍数(其中x,y是0到9的数字),试求950241xy的值,并简写出求解过程.【作业 5】用0，1，2，3，9这十个不同的数字组成能被 99 整除的十位数，求其中最大的一个数和最小的一个数.【作业 6】（1）证明：形如abcabc的六位数一定能被7，11，13整除.（2）若4232bcd，试问bcd能否被8整除？请说明理由.【作业 7】已知：1345Nxyz能被792整除，试确定数字x，y，z及N初中数学竞赛课程整除问题.学生版.11/11