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1、 27.1 图形的相似 达标训练一、基础·巩固达标1.在比例尺为140 000的工程示意图上，于年9月1日正式通车的南京地铁一号线(奥体中心至迈皋桥段)的长度约为54.3 cm，它的实际长度约为( )A.0.217 2 km B.2.172 km C.21.72 km D.217.2 km2如图27.34，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=12，则DE与BC的比是( ) 图27.14 图27.15A.14 B.13 C.12 D.233.(1)若，则=_；(2)若,则k=_.4.如图27.15，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知
2、小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是_米.5.图27.16中，两组图形是否是相似图形?图27.166.如图27.17，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.图27.177.如图27.18，已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和、的度数. 图27.18二、综合应用达标8.矩形相框如图27.19所示，图中两个矩形是否相似? 图27.199.判断下列各组线段是否成比例?(1)3 cm； 5 cm；7 cm； 4 cm；(2)12 mm；5 cm；15 mm；4 cm；(3)1 cm；5 mm；10 mm；2 cm.10.试将一个正方形纸片(如图27.110)分割为8个相似的
3、小正方形.图27.11011.在如图27.111所示的相似四边形中，比大15°，求未知边x、y的长度和角度、的大小. 图27.111三、回顾展望达标12.我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.现给出下列4对几何图形:两个圆；两个菱形；两个长方形；两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.13.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：(1)如图甲，已知ABC中，C=
4、90°，你能把ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图1)；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割(如图2)，依次规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此时小三角形的面积为Sn.若DEF的面积为10 000，当n为何值时，2<Sn<3?(请用计算器进行探索，
5、要求至少写出三次的尝试估算过程)当n>1时，请写出一个反映Sn1，Sn，Sn+1之间关系的等式(不必证明)图乙 图1(1阶) 图2(2阶) 图3(3阶)参考答案一、基础·巩固达标1.在比例尺为140 000的工程示意图上，于年9月1日正式通车的南京地铁一号线(奥体中心至迈皋桥段)的长度约为54.3 cm，它的实际长度约为( )A.0.217 2 km B.2.172 km C.21.72 km D.217.2 km思路解析：可设这两地的实际距离为x cm (要注意统一单位)，根据比例尺=得54.3x=140 000，解得：x=2 172 000(cm)=21.75(km).答案
6、：C2如图27.34，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=12，则DE与BC的比是( )图27.14A.14 B.13 C.12 D.23来源:学+科+网思路解析：DE是ABC的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.答案：C3.(1)若，则=_；(2)若,则k=_.思路解析：连等式时，可用比例系数(即公比)的办法解决.(1)由，得到a=0.5b，c=0.5d，e=0.5f，代入中解得;(2)用“若=k(b+d+n0)，则”，但要注意只有当x+y+z0时才成立.本题中，还需考虑x+y+z=0的情况，此时x=(y+z)，y=(z+x)，z=(x+y)，所以k=1.答
7、案：(1)0.5,(2)或14.如图27.15，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是_米.来源:学+科+网图27.15思路解析：相同时刻的物高与影长成比例，设树高为x米，则1.51=x5，解得x=7.5答案：7.55.图27.16中，两组图形是否是相似图形?图27.16思路解析：比较两个图形的形状，第一对图形的形状不同，不相似；第二对图形都是三角形，但角的大小不同，形状不同，不相似.答案：两组图形都不相似6.如图27.17，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.图27.17思路解析：在格点中作相似形时，找能
8、够反映图形特征的点，作出这些被放大或缩小后来源:学科网的位置，再由这些点构造新图形.答案：(不唯一)7.如图27.18，已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和、的度数.图27.18思路解析：依据多边形相似的特征：对应边成比例，对应角相等，即可求出x、y、z的比例式，并得到D=D=、C=C=110°，再由梯形的定义和平行的性质即可求出和.解：因为两个梯形相似，它们的对应边成比例，对应角相等.所以且D=D=，C=C=110°.解得:x=3 y=6 z=3.因为梯形ABCD中，ABCD,所以=180°62°=118°,=180°
9、;110°=70°.二、综合应用达标8.矩形相框如图27.19所示，图中两个矩形是否相似?图27.19思路解析：矩形的四个角都是直角，所以这两个矩形的角都能对应相等；能不能相似关键就看边是否能对应成比例了，不能只凭直觉了.解：由图可知：大矩形的四条边长分别是14、8、14、8；而小矩形的长为：1422=10，宽为：822=4，四条边分别是10,4,10,4.141084,这两个矩形不相似.来源:学§科§网9.判断下列各组线段是否成比例?(1)3 cm； 5 cm；7 cm； 4 cm；(2)12 mm；5 cm；15 mm；4 cm；(3)1 cm；5
10、mm；10 mm；2 cm.思路解析：要解决此类问题,应先统一单位(当四条线段的长度单位不相同时)，把它们按从小到大(或从大到小)的顺序进行排列，然后依次计算第一条与第二条、第三条与第四条线段的比，看这两个比值是否相等；有时计算乘积要方便些，如果第一、四两个数的积等于第二三两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例.解：(1)四条线段按从小大的顺序排列为3，4，5，7.3×74×5，即3457，3 cm,4 cm,5 cm,7 cm这四条线段不成比例.(2)5 cm=50 mm,4 cm=40 mm,四条线段按从小大的顺序排列为12，15，40，50.12×50=
11、15×40，即1215=4050，12 mm,5 cm,15 mm,4 cm这四条线段成比例.(3)1 cm=10 mm,2 cm=20 mm, 四条线段按从小大的顺序排列为5，10，10，20.5×20=10×10，即510=1020，5 mm,1 cm,10 mm,2 cm这四条线段成比例.10.试将一个正方形纸片(如图27.110)分割为8个相似的小正方形.图27.110答案：11.在如图27.111所示的相似四边形中，比大15°，求未知边x、y的长度和角度、的大小.图27.111思路解析：依据多边形相似的特征：对应边成比例，对应角相等，即可求出x
12、、y、和解：因为两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以126=8y=x3.解得y=4，x=6.由+115°=360°，=+15°，得=100°，=85°.三、回顾展望达标12.我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.现给出下列4对几何图形:两个圆；两个菱形；两个长方形；两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.思路解析：根据相似形的定义，比较两个图形的
13、对应边的比是否相等，对应角是否相等.答：两个圆是相似形.因为任何圆的形状相同；两个菱形不是相似形.因为两个菱形的对角线不对应成比例，两个菱形的形状不同；两个长方形不是相似形.因为两个长方形的边、对角线不对应成比例，两个长方形的形状不同；两个正六边形是相似形.因为任何正六边形的形状相等.13.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：(1)如图甲，已知ABC中，C=90°，你能把ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形
14、分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图1)；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割(如图2)，依次规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此时小三角形的面积为Sn.若DEF的面积为10 000，当n为何值时，2<Sn<3?来源:学#科#网(请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程)当n>1时，请写出一个反映Sn1，Sn，Sn+1之间关系的等式(不必证明)图乙 图1(1阶) 图2(2阶) 图3(3阶)思路解析：本题是阅读理解题，n阶分割实际是把原三角形分为4n个相同的小三角形，所以每个小三角形的面积是原三角形的.解：(1)正确画出分割线CD(如图，过点C作CDAB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线).理由：B=B，CDB=ACB=90°，BCDACB.(2)DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为. Sn=. 当n=5时，S5=9.77;当n=6时，S6=2.44;当n=7时，S7=0.61.当n=6时，2S63.=Sn1×Sn+1.