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1、六、 振动Oscillation,前言：,振动和波是物理中的重要领域。,1）大量存在。（一般讲，小物体作急速振动； 大物体振动较慢。）,2）是宇宙两大运动之一,无“序”运动；分子热运动、银河星系的运动；,有序运动；有规序的运动。其中一类就是周期运动，振动就是一种周期运动。,周期运动特点：有周期和平衡位置。运动系统经过一周期时间以后又回到原来的状态；物体运动总是在一个特定位置附近往复进行。,弹簧振子,简谐振动：我们所要研究的x-t曲线，即位移时间曲线 是纯余弦曲线的振动，即余弦式振动。,1、简谐振动的特点： （以弹簧振子为例）（1）、弹簧振子的振动：,振子在弹性力和惯性两因素相互作用下在平衡位置
2、附近往复运动。,（2）、简谐振动运动微分方程：设振子m在某一位置x,由胡克定律和牛顿第二定律有：,解此微分方程：,A：振幅；,：初相位。,（由初始条件决定的待定常数。）,（3）、简谐振动的特点：运动学特征：,a与x恒成正比且反向,x是t的余弦函数,动力学特征：,要证明一个运动是简谐振动，可以从是否满足下面三个方程之一为依据。,2、简谐振动中的位移、速度和加速度,（1）、,A-振幅,-速度振幅,-加速度振幅,（2）、x-t曲线、v-t曲线和a-t曲线：,3、简谐振动的周期、频率和圆频率：作简谐振动的物体，其运动状态每经过一个相同的时间T就重复一次，时间T就称为振动的周期。,振动学中把1秒内物体完
3、成振动的次数称为频率。,把 秒内物体完成振动的次数称为圆频率。,一个振动系统的周期、频率或圆频率决定于什么因素？,弹簧振子：,k为弹簧的倔强系数m为质点质量,例1：试确定单摆的固有圆频率及周期。,小球受的切向分力：,小球受的切向加速度：,根据牛顿第二定律,单摆的小角摆动是简谐振动，其振动的角频率和周期为：,例2：判断下列运动是否是简谐振动？并说明理由。,（1）拍皮球时，皮球的运动。设球与地面碰撞为弹性碰撞。（2）细线悬挂一小球，令其在水平面内作匀速率圆周运动。（3）小滑块在半径很大的光滑球面上作小幅度滑动。（4）在均匀加速上升的升降机顶上竖直悬挂的单摆的运动。,解： （1）不是简谐振动。 原因
4、：皮球受重力作用， mg不随位移而变化。,（2）不是简谐振动。无平衡位置。但是 在竖直平面上的投影的 运动是简谐 运动。,（3）是简谐振动。,（4）是简谐振动。切向方向受力：,总结：要求会建立一维谐振动的微分方程。分析振动方向受力按牛顿第二定律建立方程方程变化,振动微分方程,4、简谐振动的周相：,（1）、定义：,周相（用角度表示）周期 (用时间表示）T,（2）、特点：（1）一定的周相对应一个确定的运动状态。（2）一定的运动状态对应一定的周相。（3）周相差表示了两作同周期振动物体在同一时刻运动 状态的差异。,同相：,两振动完全同步,反相：,两振动步调完全相反,超前：,落后：,例3：判断以下说法是
5、否正确？并说明理由。（1）质点作简谐振动时，从平衡位置运动到最远点需时1/4周期，因此走过该距离的一半需时1/8周期。（2）如下图所示，看来x(t)曲线似乎在v(t)曲线的前方，即x(t)的极大值处于邻近v(t)极大值的右侧，故说位移x比速度v领先,（3）位移,两次对t求导可得加速度,二者括号中,是一样的，,故说x与a同相。,（2）不对。由x-t、v-t图比较x、v的位移时，应从t=0看起，如图所示，v的第一极大值在x的第一极大值左方，故，v比x领先,（3）不对。比较两个量的位相时，应都写成余弦（或正弦）函数，并使前面的系数同号。,振幅和初相的值是由初始条件决定的；,初始条件：t=0时的初位移
6、 、初速度,解之：,（3）、振幅A、初位相 的确定：,5、振动的能量： （以弹簧振子为例）,动能：,势能：,系统机械能：,结论由弹簧振子可推广到一切简谐振动！,从简谐振动的机械能守恒推导建立简谐振动的微分方程：,求导,小结：（1）振动动能和振动势能均随时间作周期性变化，其数值在 之间重复变化。如果振动的周期为T，则 和 变化的周期为T/2。（2）振动动能、振动势能的变化并不同步，动能最大时势能为零，势能最大时，动能为零。（3）振动的总能量保持不变。,一振动是否是简谐振动的判据：,6、简谐振动的旋转矢量表示法：,质点P任意时刻位置由,质点P在x轴上的投影作简谐振动：,旋转矢量法优点：形象化，尤其
7、是使 相位和圆频率具体化。,用一匀速转动的矢量来研究简谐振动的方法称旋转矢量法。其中轨迹圆称为参考圆。,确定,用旋转矢量法确定初位相：,例4：一定滑轮的半径为R，质量为M，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与固定的轻弹簧相连，如图，设弹簧的倔强系数为k，绳与滑轮间无滑动，并忽略轴的摩擦力及空气阻力，现将物体从平衡位置拉下一微小距离 ，然后放手，从放手瞬间开始计时，并以平衡位置为坐标原点，OX向下为正向，求：（1）证明物体作简谐振动。（2）写出振动方程。,初始条件：,振动方程：,例5：已知一简谐振动的位移曲线如图，写出振动方程。,由图得初位相,所以振动方程：,1、同（振动）方向、同
8、频率的两个谐振动的合成,设两简谐振动均沿x轴进行，位移分别：,（1）、三角函数法,结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后 仍为同频率 的谐振动,（2）、旋转矢量法,b）A:,解：合振幅,初周相：,画出矢量图：,*2、同方向、不同频率的两个谐振动的合成,设两简谐振动均沿x轴进行，位移分别：,讨论（特殊情况）：,即两分振动频率都较大，频率差较小,为突出不同频率产生效果，设两分振动振幅相等，初位相均为零，即：,得,合振动初相：,合振幅：,可见，合振动位移是以较高角频率 变化;而合振动的振幅是以较低频率 变化，范围在 之间。,上式也可由三角函数关系:,直接得到（但不能准确解释其物理意义！), 所以,合
9、振动位移：,若两分振动振幅相等，初位相相等但不为零，即：,合振动位移为多少?,拍：由两个频率都较大而频率差又很小的同方向的简谐 振动合成时，产生合振幅时而加强时而减弱的周期 性变化现象。,一拍：合振幅变化的一个周期。,拍频：单位时间内拍出现的次数。,若振幅变化的周期为T拍,*3、互相垂直的同频率谐振动的合成,以上两式实为质点运动的运动方程，消去t即可得质点运动的轨迹方程。,(1),轨迹方程简化为：,任意时刻位移：,可见，仍是简谐振动。,(2),(3),(4),轨迹为一般椭圆,顺时针方向运动,逆时针方向运动,(5),*4、相互垂直的不同频率简谐振动的合成,1、阻尼振动,能量减小的原因：,1）阻力
10、的存在,2）引起邻近质点振动，以波的形式向周围传播 能量。,因能量耗散而衰减的振动称阻尼振动。又因能量与振幅平方成正比，又称减幅振动。,即：,阻尼振动微分方程,由初始条件决定,讨论：,其解：,C1、C2为由初始条件决定的常数。,C1、C2为由初始条件决定的常数。,2、受迫振动,定义：在驱动力作用下的振动称受迫振动。,即：,令：,解为：,第一项表示阻尼振动在足够长时间后就消失。于是受迫振动的稳态解：,受迫振动中能量的转换：（1）周期性驱动力对振动系统做功，使系统能量增加。（2）耗散力的阻尼作用而耗散能量，使系统能量减少。,3、共振,（1）、速度共振： 当驱动力角频率 等于振动系统的固有频率 时,可知，相位滞后 ，即速度与驱动力相位相同，驱动力作正功，系统振动能量可达最大值，相应速度振幅 也可达极大值。,（2）、位移共振工程中常将振幅达极大值的现象称共振，称位移共振。,阻尼越小， 越接近 ，在弱阻尼情况下，位移共振和速度共振无区别。,