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1、智浪教育普惠英才文库11 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。定义2 如果两个代数式A、B，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B。两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但在另一个子集内可能不恒等。例如，在x0时成立，但在x<0时
2、不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx2的定义域是，2lgx的定义域是，因此，只有在两个定义域的公共部分内，才有恒等式lgx2=2lgx。由lgx2变形为2lgx时，定义域缩小了；反之，由2lgx变形为lgx2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论
3、。例1：设p为实常数，试求方程有实根的充要条件，并求出所有实根。由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。解：原方程等价于由上式知，原方程有实根，当且仅当p满足条件这说明原方程有实根的充要条件是。这时，原方程有惟一实根。二、恒等变换的方法与技巧恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。1分类变换当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。例1：当x取什
4、么样的实数值时，下列等式成立：（a）； （b）；（c）。解：我们来求解更一般的方程：记方程左边为f(x)，则由此可知，当时，原方程的解集为；当时，解集为；当时，原方程变形为，解得。即当时，原方程的解集为。例2：在复数范围内解方程组解：考虑数列。不难证明此数列满足递推式，其中。利用基本恒等式，得，的递推式化为由此得由，得，。综上所述知，原方程组等价于由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程的三根，此三次方程即，这说明原方程组在复数范围内的解集为（1，1，1）。注：此题还可以利用三次单位根的性质来解。2利用对称性定义4 一个n元解析式称为对称式，当且仅当对于任意的，都有。由定义可知，对称式的各变
5、元所处的地位相同，因此，一个对称式具有下列性质：（1）若对于变元x1，x2，f具有性质p，则对于任意的变元也具有性质p。（2）对于x1，x2，xn的任意排，有，因此，对于讨论f具有某一性质时，可不妨设。定义5 一个n元解析式称为轮换对称式，当且仅当x2代x1，x3代x2，xn代xn-1，x1代xn时有。显角，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，x2y+y2z+z2x是轮换式，但不是对称式。因此，对称式所具有的性质（1）、（2）对轮换式一般不成立。由轮换的特点，在解题中，为了方便起见，我们可指定变元中x1最大（或最小）。例3：设x，y，z>0，求证(x+y+z)5-(x5+y
6、5+z5)10(x+y)(y+z)(z+x)(xy+yz+zx)等号成立当且仅当x=y=z。证：令。易知是对称式。当x+y=0时，f(x，y，z)=0，。从而，。注意到f是关于x，y，z的五次齐次式，故可设,令，得2A+B=15。令，得A+B=10。因此，A=B=5。注意到，且，得等号成立的条件为。例4：设a，b，c是三角形的边长，证明并说明等号何时成立。证：令欲证不等左边为，则易证为轮换式（非对称）。故可设。注意到，则可先考虑将f中分离出一个含b+c-a的非负式子。事实上再令令，有令，有。又，。注意到关于c是二次式，a，b是三次式，故可设令b=c，得，令a=0，得，。于是。从而显然，当且仅当
7、a=b=c时f=0。注：对于，也可直接通过提取公因式法来分解因式。事实上3逆推分析从一个数学过程的结果出发，按与原来相反的程序去推求初始条件的方法叫做逆推分析法，它的特点是每一步逆推均可逆。由此可见，逆推分析法是证明恒等式的重要方法。例5：设a，b，c，d，x，y为正实数，且满足。求证：。证：注意到的表达式有利用式，将欲证等式两边通分化简，等价于式左边=式右边。故原等式得证。4整体代换把若干变元的整个式子换成一个新的字母，于是问题中的变元就减少了，有利于式的变形求解。例6：求出所有四元实数组使其中任一数与其他三数的积之和都等于2。解：根据题意，四元数组满足方程组；易知，所有。于是可作整体代换：
8、令，则上述每一个方程均可写成如下形式，即（p0），解之得,由于是实数，故。以下分两种情况讨论：（1）若p=1，则（2）若p<1，则有三种可能：（i）三个根为，一个根为，这时。但这和p<1的假设矛盾。（ii）三个根为，一个根为，这时，故有一个为3，其他三数为-1。（iii）两个根为，两个根为，这时，故p=1。这又和p<1的假设矛盾。综上所述，原方程组共有五组不同的实数解：。6重新组合所谓重新组合是指把几个独立的式子依据某一运算组合成新的式子，其目的是使组合后的解析式变得简单，以便于问题求解。例8：确定所有能使不等式组成立的，其中为正实数。解：注意到此不等式组关于成轮换对称，因此
9、可考虑将五个不等式重新组合（相加）起来，得再重新组合各项，得从而可推出x1=x2=x3=x4=x5。经检验每组五个相等的正实数是原不等式组的解。故原不等式组的解为x1=x2=x3=x4=x5=a，aR+。在解题中既要注意到题目各个部分，又要从整体上把握题目。因此，必须把化整为零与重新组合的思想有机地结合起来。7消去部分所谓消去部分是指或者让一部分式子互相抵消，或者让一部分式子代替另一部分式子。比如，在解方程中的加减消元法、代入消元法、比较消元法；数列求和（积）中的交叉消去（交叉相约）等。例11：求出所有的实数a，使得存在非负实数适合。解：我们对的个数为n来求解。注意到，可考虑先消去a，再由的值
10、来确定a的值，事实上，（=1，2，n，）。则对任意xk有下列两种情况：（1），其余的均为零，得a=0；（2），其余均为零，得。综上所述，a的取值集为。8构造对偶式根据题中某式A的结构特征，构造A的对偶式B。利用A与B之间的运算（主要是加、减、乘）求得A、B的两种关系式，从而使问题获得解决。常见的对偶式有a+b与a-b；ab与；sinx与cosx；tanx与cotx；与等等。例13：设且。求证：证：令不等式左边为A，其对偶式，由平均不等式可得： 又 +得，。10数形结合对于某些特殊的代数式，它有其特殊的几何意义，我们可利用这种几何意义将代数式之间的变换转化为几何量之间的变换，使最终达到我们求解问
11、题的目的。例16：已知正实数p，q，r满足关系式。求证方程组有惟一解。解：显然，故存在三锐角A、B、C使，于是。易证上式当且仅当A+B+C=成立。故以A，B，C为内角可构造ABC。设其外接圆半径为，其垂足三角形为DEF，H为垂心，则易计算得AEFABC（B，C，E，F共圆）。由A，F，H，E共圆得，而。，同理，。又。同理，。由即得。同理，。故为原方程组的一组解。若另有一组解，不妨设，则由式知，由式知，由式知矛盾。故原方程组有惟一解。习题111解方程。2设。求证：不等式成立的充要条件是或。3设，求证：。4设是满足的正数，试证明方程组：有惟一实数解。1答案：当或时，原方程的解集为；当时，原方程的解集为；当时，原方程的解集为。2提示：利用重要恒等式 。3提示：构造数列，则。可证。4简解：在边长为1的正三角形内必存在一点P，它到三边的距离依次为，恰好满足：。则就是原方程组的解。若也是一组解，如果，则由第三个方程知，又由第一个方程有，再由第二个方程有：，矛盾。