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1、2021 年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题专题 11 二次函数图象性质与应用（共二次函数图象性质与应用（共 50 题）题）一选择题（共一选择题（共 26 小题）小题）1（2020株洲）二次函数 yax2+bx+c，若 ab0，ab20，点 A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中 x1x2，x1+x20，则（）Ay1y2By1y2Cy1y2Dy1、y2的大小无法确定【分析】首先分析出 a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示 y1，y2，再作差法比较 y1，y2的大小【解析】ab20，b20，a0又ab0，b0，x1x2，x1+x20，x2x1，x10点 A（x1
2、，y1），B（x2，y2）在该二次函数 yax2+bx+c 的图象上，?t?t?t，?t?t?t?t?t?ty1y22bx10y1y2故选：B2（2020襄阳）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：ac0；3a+c0；4acb20；当 x1 时，y 随 x 的增大而减小其中正确的有（）A4 个B3 个C2 个D1 个【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可【解析】抛物线开口向上，且与 y 轴交于负半轴，a0，c0，ac0，结论正确；抛物线对称轴为直线 x1，?t?t?1，b2a，抛物线经过点（1，0），ab+c0，a+2a+c0，即 3a+c0，结
3、论正确；抛物线与 x 轴由两个交点，b24ac0，即 4acb20，结论正确；抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线 x1，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，结论错误；故选：B3（2020鄂州）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和 B，与 y 轴交于点 C下列结论：abc0，2a+b0，4a2b+c0，3a+c0，其中正确的结论个数为（）A1 个B2 个C3 个D4 个【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴求出 2a 与 b 的关系【解析】由抛物线的开口向上知 a0，对称轴位于
4、 y 轴的右侧，b0抛物线与 y 轴交于负半轴，c0，abc0；故错误；对称轴为 x?t?t1，得 2ab，即 2a+b0，故错误；如图，当 x2 时，y0，4a2b+c0，故正确；当 x1 时，y0，0ab+ca+2a+c3a+c，即 3a+c0故正确综上所述，有 2 个结论正确故选：B4（2020天津）已知抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0，c1）经过点（2，0），其对称轴是直线 x?有下列结论：abc0；关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根；a?其中，正确结论的个数是（）A0B1C2D3【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴?t?t?，ba，判断
5、 a，b 与 0 的关系，得到 abc0，即可判断；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在 x 轴上方，即可判断；根据抛物线 yax2+bx+c 经过点（2，0）以及 ba，得到 4a2a+c0，即可判断【解析】抛物线的对称轴为直线 x?，而点（2，0）关于直线 x?的对称点的坐标为（1，0），c1，抛物线开口向下，a0，抛物线对称轴为直线 x?，?t?t?，ba0，abc0，故错误；抛物线开口向下，与 x 轴有两个交点，顶点在 x 轴的上方，a0，抛物线与直线 ya 有两个交点，关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根；故正确；抛物线 yax2+bx+c 经过点（2，0），4a+
6、2b+c0，ba，4a2a+c0，即 2a+c0，2ac，c1，2a1，a?，故正确，故选：C5（2020广东）把函数 y（x1）2+2 图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的的数解析式为（）Ayx2+2By（x1）2+1Cy（x2）2+2Dy（x1）23【分析】先求出 y（x1）2+2 的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可【解析】二次函数 y（x1）2+2 的图象的顶点坐标为（1，2），向右平移 1 个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），所得的图象解析式为 y（x2）2+2故选：C6（2020菏泽）一次函数 yacx+
7、b 与二次函数 yax2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【分析】先由二二次函数 yax2+bx+c 的图象得到字母系数的正负，再与一次函数 yacx+b 的图象相比较看是否一致【解析】A、由抛物线可知，a0，b0，c0，则 ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a0，b0，c0，则 ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a0，b0，c0，则 ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a0，b0，c0，则 ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项错误故选：B7（2020凉山州）二次函数 y
8、ax2+bx+c 的图象如图所示，有如下结论：abc0；2a+b0；3b2c0；am2+bma+b（m 为实数）其中正确结论的个数是（）A1 个B2 个C3 个D4 个【分析】由抛物线的对称轴的位置判断 ab 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴判定 2a+b0；当 x1 时，yab+c；然后由图象顶点坐标确定 am2+bm 与 a+b 的大小关系【解析】对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，ab0，c0abc0故正确；对称轴 x?t?t?1，2a+b0；故正确；2a+b0，a?b，当 x1 时，yab+c0，?bb+c03b2c0故正确；根据图象知，当 x1
9、 时，y 有最小值；当 m 为实数时，有 am2+bm+ca+b+c，所以 am2+bma+b（m 为实数）故正确本题正确的结论有：，4 个；故选：D8（2020陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线 yx2（m1）x+m（m1）沿 y 轴向下平移 3 个单位 则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合 m 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可【解析】yx2（m1）x+m（x?）2+m?，该抛物线顶点坐标是（?，m?），将其沿 y 轴向下平移 3 个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（?，m?3），m1，m
10、10，?0，m?3?10，点（?，m?3）在第四象限；故选：D9（2020枣庄）如图，已知抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1给出下列结论：ac0；b24ac0；2ab0；ab+c0其中，正确的结论有（）A1 个B2 个C3 个D4 个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与 x 轴、y 轴的交点，综合进行判断即可【解析】抛物线开口向下，a0，对称轴为 x?t?t?1，因此 b0，与 y 轴交于正半轴，因此 c0，于是有：ac0，因此正确；由 x?t?t?1，得 2a+b0，因此不正确，抛物线与 x 轴有两个不同交点，因此 b24ac0，正确，由对称轴 x1，抛物线与 x 轴的一个
11、交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（1，0），因此 ab+c0，故正确，综上所述，正确的结论有，故选：C10（2020齐齐哈尔）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点（4，0），其对称轴为直线 xl，结合图象给出下列结论：ac0；4a2b+c0；当 x2 时，y 随 x 的增大而增大；关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根其中正确的结论有（）A1 个B2 个C3 个D4 个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与 x 轴 y 轴的交点，综合判断即可【解析】抛物线开口向上，因此 a0，与 y 轴交于负半轴，因此 c0，故 a
12、c0，所以正确；抛物线对称轴为 x1，与 x 轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（2，0），于是有 4a2b+c0，所以不正确；x1 时，y 随 x 的增大而增大，所以正确；抛物线与 x 轴有两个不同交点，因此关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根，所以正确；综上所述，正确的结论有：，故选：C11（2020泸州）已知二次函数 yx22bx+2b24c（其中 x 是自变量）的图象经过不同两点 A（1b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与 x 轴有公共点，则 b+c 的值为（）A1B2C3D4【分析】求出抛物线的对称轴 xb，再由抛物线的图象经过不同两
13、点 A（1b，m），B（2b+c，m），也可以得到对称轴为?t?t?t?，可得 bc+1，再根据二次函数的图象与 x 轴有公共点，得到 b24c0，进而求出 b、c 的值【解析】由二次函数 yx22bx+2b24c 的图象与 x 轴有公共点，（2b）241（2b24c）0，即 b24c0，由抛物线的对称轴 x?t?b，抛物线经过不同两点 A（1b，m），B（2b+c，m），b?t?t?t?，即，cb1，代入得，b24（b1）0，即（b2）20，因此 b2，cb1211，b+c2+13，故选：C12（2020绥化）将抛物线 y2（x3）2+2 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度
14、，得到抛物线的解析式是（）Ay2（x6）2By2（x6）2+4Cy2x2Dy2x2+4【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【解析】将将抛物线 y2（x3）2+2 向左平移 3 个单位长度所得抛物线解析式为：y2（x3+3）2+2，即 y2x2+2；再向下平移 2 个单位为：y2x2+22，即 y2x2故选：C13（2020滨州）对称轴为直线 x1 的抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，且 a0）如图所示，小明同学得出了以下结论：abc0，b24ac，4a+2b+c0，3a+c0，a+bm（am+b）（m 为任意实数），当 x1 时，y 随 x 的增大而增大其中结论正
15、确的个数为（）A3B4C5D6【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解析】由图象可知：a0，c0，?t?t?1，b2a0，abc0，故错误；抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac0，b24ac，故正确；当 x2 时，y4a+2b+c0，故错误；当 x1 时，yab+c0，3a+c0，故正确；当 x1 时，y 的值最小，此时，ya+b+c，而当 xm 时，yam2+bm+c，所以 a+b+cam2+bm+c，故 a+bam2+bm，即 a+bm（am+b），故正确，当 x1
16、时，y 随 x 的增大而减小，故错误，故选：A14（2020德州）二次函数 yax2+bx+c 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A若（2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则 y1y2B3a+c0C方程 ax2+bx+c2 有两个不相等的实数根D当 x0 时，y 随 x 的增大而减小【分析】根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可【解析】抛物线的对称轴为直线 x1，a0，点（1，0）关于直线 x1 的对称点为（3，0），则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0），点（2，y1）与（4，y1）是对称点，当 x1 时，函数 y 随 x 增大而减小，故 A 选项不符合题意；
17、把点（1，0），（3，0）代入 yax2+bx+c 得：ab+c0，9a+3b+c0，3+得：12a+4c0，3a+c0，故 B 选项不符合题意；当 y2 时，yax2+bx+c2，由图象得：纵坐标为2 的点有 2 个，方程 ax2+bx+c2 有两个不相等的实数根，故 C 选项不符合题意；二次函数图象的对称轴为 x1，a0，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大；当 x1 时，y 随 x 的增大而减小；故 D 选项符合题意；故选：D15（2020成都）关于二次函数 yx2+2x8，下列说法正确的是（）A图象的对称轴在 y 轴的右侧B图象与 y 轴的交点坐标为（0，8）C图象与 x 轴的交点坐
18、标为（2，0）和（4，0）Dy 的最小值为9【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题【解析】二次函数 yx2+2x8（x+1）29（x+4）（x2），该函数的对称轴是直线 x1，在 y 轴的左侧，故选项 A 错误；当 x0 时，y8，即该函数与 y 轴交于点（0，8），故选项 B 错误；当 y0 时，x2 或 x4，即图象与 x 轴的交点坐标为（2，0）和（4，0），故选项 C 错误；当 x1 时，该函数取得最小值 y9，故选项 D 正确；故选：D16（2020哈尔滨）将抛物线 yx2向上平移 3 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度
19、，所得到的拋物线为（）Ay（x+3）2+5By（x3）2+5Cy（x+5）2+3Dy（x5）2+3【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可【解析】由“上加下减”的原则可知，将抛物线 yx2向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为：yx2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线 yx2+3 向右平移 5 个单位所得抛物线的解析式为：y（x5）2+3；故选：D17（2020河北）如图，现要在抛物线 yx（4x）上找点 P（a，b），针对 b 的不同取值，所找点 P 的个数，三人的说法如下，甲：若 b5，则点 P 的个数为 0；乙：若 b4，则点 P 的个数为 1；丙：若 b3，则点 P
20、 的个数为 1下列判断正确的是（）A乙错，丙对B甲和乙都错C乙对，丙错D甲错，丙对【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论【解析】yx（4x）x2+4x（x2）2+4，抛物线的顶点坐标为（2，4），在抛物线上的点 P 的纵坐标最大为 4，甲、乙的说法正确；若 b3，则抛物线上纵坐标为 3 的点有 2 个，丙的说法不正确；故选：C18（2020南充）关于二次函数 yax24ax5（a0）的三个结论：对任意实数 m，都有 x12+m 与x22m 对应的函数值相等；若 3x4，对应的 y 的整数值有 4 个，则?a1 或 1a?；若抛
21、物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6，则 a?或 a1其中正确的结论是（）ABCD【分析】由题意可求次函数 yax24ax5 的对称轴为直线 x?t?t?，由对称性可判断；分 a0 或 a0 两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断；分 a0 或 a0 两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断；即可求解【解析】二次函数 yax24ax5 的对称轴为直线 x?t?t?，x12+m 与 x22m 关于直线 x2 对称，对任意实数 m，都有 x12+m 与 x22m 对应的函数值相等；故正确；当 x3 时，y3a5，当 x4 时，y5，若 a0 时，当 3x4 时，3a5y5
22、，当 3x4 时，对应的 y 的整数值有 4 个，1a?，若 a0 时，当 3x4 时，5y3a5，当 3x4 时，对应的 y 的整数值有 4 个，?a1，故正确；若 a0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6，0，25a20a50，?t?t?t?，a1，若 a0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6，0，25a20a50，?t?t?t?，a?，综上所述：当 a?或 a1 时，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB6故选：D19（2020甘孜州）如图，二次函数 ya（x+1）2+k 的图象与 x 轴交于 A（3，0），B 两点，下列说法错误的是（）Aa0B图象的
23、对称轴为直线 x1C点 B 的坐标为（1，0）D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大【分析】根据二次函数的性质解决问题即可【解析】观察图形可知 a0，由抛物线的解析式可知对称轴 x1，A（3，0），A，B 关于 x1 对称，B（1，0），故 A，B，C 正确，故选：D20（2020安顺）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过（3，0）与（1，0）两点，关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0（m0）有两个根，其中一个根是 3则关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0（0nm）有两个整数根，这两个整数根是（）A2 或 0B4 或 2C5 或 3D6 或 4【分析】根据题目中的函数解析式和
24、二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0（0nm）的两个整数根，从而可以解答本题【解析】二次函数 yax2+bx+c 的图象经过（3，0）与（1，0）两点，当 y0 时，0ax2+bx+c 的两个根为3 和 1，函数 yax2+bx+c 的对称轴是直线 x1，又关于 x 的方程 ax2+bx+c+m0（m0）有两个根，其中一个根是 3方程 ax2+bx+c+m0（m0）的另一个根为5，函数 yax2+bx+c 的图象开口向上，关于 x 的方程 ax2+bx+c+n0（0nm）有两个整数根，这两个整数根是4 或 2，故选：B21（2020遂宁）二次函数 ya
25、x2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为直线 x1，下列结论不正确的是（）Ab24acBabc0Cac0Dam2+bmab（m 为任意实数）【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案【解析】由图象可得：a0，c0，b24ac0，?t?t?1，b2a0，b24ac，故 A 选项不合题意，abc0，故 B 选项不合题意，当 x1 时，y0，ab+c0，a+c0，即 ac0，故 C 选项符合题意，当 xm 时，yam2+bm+c，当 x1 时，y 有最小值为 ab+c，am2+bm+cab+c，am2+bmab，故 D 选项不合题意，故选：C22（2020南充）如图，正方形四个顶点的坐
26、标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）若抛物线 yax2的图象与正方形有公共点，则实数 a 的取值范围是（）A?a3B?a1C?a3D?a1【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的 a 的值即可解决问题【解析】当抛物线经过（1，3）时，a3，当抛物线经过（3，1）时，a?，观察图象可知?a3，故选：A23（2020常德）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b24ac0；abc0；4a+b0；4a2b+c0其中正确结论的个数是（）A4B3C2D1【分析】先由抛物线与 x 周董交点个数判断出结论，利用抛物线的对称轴为 x2，判断出结论，先由抛物线的开口方向判断
27、出 a0，进而判断出 b0，再用抛物线与 y 轴的交点的位置判断出 c0，判断出结论，最后用 x2 时，抛物线在 x 轴下方，判断出结论，即可得出结论【解析】由图象知，抛物线与 x 轴有两个交点，方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根，b24ac0，故正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为 x2，?t?t?2，4a+b0，故正确，由图象知，抛物线开口方向向下，a0，4a+b0，b0，而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，c0，abc0，故正确，由图象知，当 x2 时，y0，4a2b+c0，故错误，即正确的结论有 3 个，故选：B24（2020嘉兴）已知二次函数 yx2，当 axb
28、 时 myn，则下列说法正确的是（）A当 nm1 时，ba 有最小值B当 nm1 时，ba 有最大值C当 ba1 时，nm 无最小值D当 ba1 时，nm 有最大值【分析】方法 1、当 ba1 时，当 a，b 同号时，先判断出四边形 BCDE 是矩形，得出 BCDEba1，CDBEm，进而得出 ACnm，即 tanABCnm，再判断出 45ABC90，即可得出 nm 的范围，当 a，b 异号时，m0，当 a?，b?时，n 最小?，即可得出 nm 的范围；当 nm1 时，当 a，b 同号时，同的方法得出 NHPQba，HQPNm，进而得出 MHnm1，而 tanMHN?t?t，再判断出 45MN
29、H90，当 a，b 异号时，m0，则 n1，即可求出 a，b，即可得出结论方法 2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论【解析】方法 1、当 ba1 时，当 a，b 同号时，如图 1，过点 B 作 BCAD 于 C，BCD90，ADEBED90，ADDBCDBED90，四边形 BCDE 是矩形，BCDEba1，CDBEm，ACADCDnm，在 RtACB 中，tanABC?nm，点 A，B 在抛物线 yx2上，且 a，b 同号，45ABC90，tanABC1，nm1，当 a，b 异号时，m0，当 a?，b?或时，n?，此时，nm?，?nm1，即 nm?，即 nm 无最大值，有最小值，最小值为?，
30、故选项 C，D 都错误；当 nm1 时，如图 2，当 a，b 同号时，过点 N 作 NHMQ 于 H，同的方法得，NHPQba，HQPNm，MHMQHQnm1，在 RtMHN 中，tanMNH?t?t?t?t，点 M，N 在抛物线 yx2上，m0，当 m0 时，n1，点 N（0，0），M（1，1），NH1，此时，MNH45，45MNH90，tanMNH1，?t?t?1，当 a，b 异号时，m0，n1，a1，b1，即 ba2，ba 无最小值，有最大值，最大值为 2，故选项 A 错误；故选：B方法 2、当 nm1 时，当 a，b 在 y 轴同侧时，a，b 都越大时，ab 越接近于 0，但不能取 0
31、，即 ba 没有最小值，当 a，b 异号时，当 a1，b1 时，ba2 最大，当 ba1 时，当 a，b 在 y 轴同侧时，a，b 离 y 轴越远，nm 越大，但取不到最大，当 a，b 在 y 轴两侧时，当 a?，b?时，nm 取到最小，最小值为?，因此，只有选项 B 正确，故选：B25（2020衢州）二次函数 yx2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位B向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位C向右平移 1 个单位，向下平移 1 个单位D向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数
32、法解决问题即可【解析】A、平移后的解析式为 y（x+2）22，当 x2 时，y14，本选项不符合题意B、平移后的解析式为 y（x+1）2+2，当 x2 时，y11，本选项不符合题意C、平移后的解析式为 y（x1）21，当 x2 时，y0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意D、平移后的解析式为 y（x2）2+1，当 x2 时，y1，本选项不符合题意故选：C26（2020宁波）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴正半轴交于点 C，它的对称轴为直线 x1则下列选项中正确的是（）Aabc0B4acb20Cca0D当 xn22（n 为实数）时，yc
33、【分析】由图象开口向上，可知 a0，与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可知 c0，根据对称轴方程得到 b0，于是得到 abc0，故 A 错误；根据一次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的交点，得到 b24ac0，求得 4acb20，故 B 错误；根据对称轴方程得到 b2a，当 x1 时，yab+c0，于是得到 ca0，故 C 错误；当 xn22（n 为实数）时，代入解析式得到 yax2+bx+ca（n22）+b（n22）an2（n2+2）+c，于是得到 yan2（n2+2）+cc，故 D 正确【解析】由图象开口向上，可知 a0，与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可知 c0，又对称
34、轴方程为 x1，所以?t?t0，所以 b0，abc0，故 A 错误；一次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，b24ac0，4acb20，故 B 错误；?t?t?1，b2a，当 x1 时，yab+c0，a2a+c0，ca0，故 C 错误；当 xn22（n 为实数）时，yax2+bx+ca（n22）+b（n22）an2（n2+2）+c，a0，n20，n2+20，yan2（n2+2）+cc，故 D 正确，故选：D二填空题（共二填空题（共 11 小题）小题）27（2020青岛）抛物线 y2x2+2（k1）xk（k 为常数）与 x 轴交点的个数是2【分析】根据抛物线的解析
35、式和二次函数的性质可以求得抛物线 y2x2+2（k1）xk（k 为常数）与 x轴交点的个数，本题得以解决【解析】抛物线 y2x2+2（k1）xk（k 为常数），当 y0 时，02x2+2（k1）xk，2（k1）242（k）4k2+40，02x2+2（k1）xk 有两个不相等的实数根，抛物线 y2x2+2（k1）xk（k 为常数）与 x 轴有两个交点，故答案为：228（2020南京）下列关于二次函数 y（xm）2+m2+1（m 为常数）的结论：该函数的图象与函数 yx2的图象形状相同；该函数的图象一定经过点（0，1）；当 x0 时，y 随 x 的增大而减小；该函数的图象的顶点在函数 yx2+1
36、的图象上其中所有正确结论的序号是【分析】利用二次函数的性质一一判断即可【解析】二次函数 y（xm）2+m+1（m 为常数）与函数 yx2的二次项系数相同，该函数的图象与函数 yx2的图象形状相同，故结论正确；在函数 y（xm）2+m2+1 中，令 x0，则 ym2+m2+11，该函数的图象一定经过点（0，1），故结论正确；y（xm）2+m2+1，抛物线开口向下，对称轴为直线 xm，当 xm 时，y 随 x 的增大而减小，故结论错误；抛物线开口向下，当 xm 时，函数 y 有最大值 m2+1，该函数的图象的顶点在函数 yx2+1 的图象上故结论正确，故答案为29（2020连云港）加工爆米花时，爆
37、开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率 y 与加工时间 x（单位：min）满足函数表达式 y0.2x2+1.5x2，则最佳加工时间为3.75min【分析】根据二次函数的性质可得【解析】根据题意：y0.2x2+1.5x2，当 x?3.75 时，y 取得最大值，则最佳加工时间为 3.75min故答案为：3.7530（2020泰安）已知二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的 y 与 x 的部分对应值如下表：x54202y60646下列结论：a0；当 x2 时，函数最小值为6；若点（8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则 y1y2；方程 ax2+bx+
38、c5 有两个不相等的实数根其中，正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可【解析】将（4，0）（0，4）（2，6）代入 yax2+bx+c 得，?t?t?t?t?t?t?t?，解得，t?t?t?，抛物线的关系式为 yx2+3x4，a10，因此正确；对称轴为 x?，即当 x?时，函数的值最小，因此不正确；把（8，y1）（8，y2）代入关系式得，y16424436，y264+24484，因此正确；方程 ax2+bx+c5，也就是 x2+3x45，即方 x2+3x+10，由 b24ac9450
39、 可得 x2+3x+10 有两个不相等的实数根，因此正确；正确的结论有：，故答案为：31（2020哈尔滨）抛物线 y3（x1）2+8 的顶点坐标为（1，8）【分析】已知抛物线顶点式 ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k）【解析】抛物线 y3（x1）2+8 是顶点式，顶点坐标是（1，8）故答案为：（1，8）32（2020无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为 y 轴：yx2【分析】根据形如 yax2的二次函数的性质直接写出即可【解析】图象的对称轴是 y 轴，函数表达式 yx2（答案不唯一），故答案为：yx2（答案不唯一）33（2020上海）如果将抛物线 yx2向上平移 3 个单位，那么
40、所得新抛物线的表达式是yx2+3【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解【解析】抛物线 yx2向上平移 3 个单位得到 yx2+3故答案为：yx2+334（2020黔东南州）抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为 x1，则当 y0 时，x 的取值范围是3x1【分析】根据物线与 x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与 x 轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当 y0 时，x 的取值范围【解析】物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为 x1，抛物线与 x 轴的另一个交点为（
41、1，0），由图象可知，当 y0 时，x 的取值范围是3x1故答案为：3x135（2020灌南县一模）二次函数 yx22x+3 的图象的顶点坐标为（1，4）【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可【解析】yx22x+3（x2+2x+11）+3（x+1）2+4，顶点坐标为（1，4）故答案为：（1，4）36（2020无锡）二次函数 yax23ax+3 的图象过点 A（6，0），且与 y 轴交于点 B，点 M 在该抛物线的对称轴上，若ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，则点 M 的坐标为（?，9）或（?，6）【分析】把点 A（6，0）代入 yax23ax+3 得，036a1
42、8a+3，得到 y?x2?x+3，求得 B（0，3），抛物线的对称轴为 x?，设点 M 的坐标为：（?，m），当ABM90，过 B 作 BD对称轴于 D，当MAB90，根据三角函数的定义即可得到结论【解析】把点 A（6，0）代入 yax23ax+3 得，036a18a+3，解得：a?，y?x2?x+3，B（0，3），抛物线的对称轴为 x?，设点 M 的坐标为：（?，m），当ABM90，过 B 作 BD对称轴于 D，则123，tan2tan1?2，?2，DM3，M（?，6），当MAB90，tan3?R?tan1?2，MN9，M（?，9），综上所述，点 M 的坐标为（?，9）或（?，6）37（20
43、20乐山）我们用符号x表示不大于 x 的最大整数例如：1.51，1.52那么：（1）当1x2 时，x 的取值范围是0 x2；（2）当1x2 时，函数 yx22ax+3 的图象始终在函数 yx+3 的图象下方则实数 a 的范围是t?或t?【分析】（1）根据x表示不大于 x 的最大整数，解决问题即可（2）由题意，构建不等式即可解决问题【解析】（1）由题意1x2，0 x2，故答案为 0 x2（2）由题意：当1x2 时，函数 yx22ax+3 的图象始终在函数 yx+3 的图象下方，则有 x1 时，1+2a+31+3，解得 a1，或 x2 时，42a+31+3，解得 a?，故答案为 a1 或 a?三解
44、答题（共三解答题（共 13 小题）小题）38（2020临沂）已知抛物线 yax22ax3+2a2（a0）（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在 x 轴上，求其解析式；（3）设点 P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若 y1y2，求 m 的取值范围【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；（2）根据顶点式求得得到坐标，根据题意得到关于 a 的方程解方程求得 a 的值，从而求得抛物线的解析式；（3）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出 m 的取值【解析】（1）抛物线 yax22ax3+2a2a（x1）2+2a2a3抛物线的对称轴为直线 x1；（2）抛物线的顶点在
45、x 轴上，2a2a30，解得 a?或 a1，抛物线为 y?x23x?或 yx2+2x1；（3）抛物线的对称轴为 x1，则 Q（3，y2）关于 x1 对称点的坐标为（1，y2），当 a?，1m3 时，y1y2；当 a1，m1 或 m3 时，y1y239（2020衡阳）在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函数 yx2+px+q 的图象过点（1，0），（2，0）（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当2x1 时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数 y（2m）x+2m 的图象与二次函数 yx2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b，且 a3b，求 m 的取值范围【分析】（1）
46、由二次函数的图象经过（1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当 x2，函数有最大值 4；当 x?是函数有最小值?，进而求得它们的差；（3）由题意得 x2x2（2m）x+2m，整理得 x2+（m3）x+m40，因为 a2b，ab，（m3）24（m4）（m5）20，把 x3 代入（2m）x+2mx2x2，解得 m?【解析】（1）由二次函数 yx2+px+q 的图象经过（1，0）和（2，0）两点，?，解得?，此二次函数的表达式 yx2x2；（2）抛物线开口向上，对称轴为直线 x?，在2x1 范围内，当 x2，函数有最大值为：y4+
47、224；当 x?是函数有最小值：y?2?，的最大值与最小值的差为：4（?）?；（3）y（2m）x+2m 与二次函数 yx2x2 图象交点的横坐标为 a 和 b，x2x2（2m）x+2m，整理得x2+（m3）x+m40a3bab（m3）24（m4）（m5）20m5a3b当 x3 时，（2m）x+2mx2x2，把 x3 代入（2m）x+2mx2x2，解得 m?m 的取值范围为 m?40（2020贵阳）2020 年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数 y（人）与时间 x（分钟）的变化情况，数据如
48、下表：（表中 915 表示 9x15）时间 x（分钟）0123456789915人数 y（人）0170320450560650720770800810810（1）根据这 15 分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出 y 与 x之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有 2 个，每个检测点每分钟检测 20 人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在 12 分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【分析】（1）分两种情况讨论，利用待定系数法可求
49、解析式；（2）设第 x 分钟时的排队人数为 w 人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当 x7 时，w 的最大值490，当 9x15 时，210w450，可得排队人数最多时是 490 人，由全部考生都完成体温检测时间每分钟检测的人数总人数，可求解；（3）设从一开始就应该增加 m 个检测点，由“在 12 分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求解【解析】（1）由表格中数据的变化趋势可知，当 0 x9 时，y 是 x 的二次函数，当 x0 时，y0，二次函数的关系式可设为：yax2+bx，由题意可得：?t?t?t?t，解得：t?t?，二次函数关系式为：y10 x2+180 x，当 9x1
50、5 时，y810，y 与 x 之间的函数关系式为：y?；（2）设第 x 分钟时的排队人数为 w 人，由题意可得：wy40 x?，当 0 x9 时，w10 x2+140 x10（x7）2+490，当 x7 时，w 的最大值490，当 9x15 时，w81040 x，w 随 x 的增大而减小，210w450，排队人数最多时是 490 人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：81040 x0，解得：x20.25，答：排队人数最多时有 490 人，全部考生都完成体温检测需要 20.25 分钟；（3）设从一开始就应该增加 m 个检测点，由题意得：1220（m+2）810，解得 m?，m 是整数，m?的