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1、预备知识函数应用高等数学第1页，共51页，编辑于2022年，星期三学习高等数学的目的、作学习高等数学的目的、作用、内容及方法用、内容及方法一、一、为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？二、二、高等数学主要学些什么？高等数学主要学些什么？三、三、怎样才能学好高等数学？怎样才能学好高等数学？第2页，共51页，编辑于2022年，星期三为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？高等数学是高等学校许多专业学生必修高等数学是高等学校许多专业学生必修的重要基础理论课程。数学主要是研究的重要基础理论课程。数学主要是研究现实世界中的现实世界中的“数量关系数量关系”与与“空间形空间形式式”。世界上任何客观
2、存在都有其。世界上任何客观存在都有其“数数”与与“形形”的属性特征，并且一切事物的属性特征，并且一切事物都发生变化，遵循量变到质变的规律。都发生变化，遵循量变到质变的规律。第3页，共51页，编辑于2022年，星期三为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？凡是研究量的大小、量的变化、量与量凡是研究量的大小、量的变化、量与量之间关系以及这些关系的变化，就少不之间关系以及这些关系的变化，就少不了数学。同样，客观世界存在有各种不了数学。同样，客观世界存在有各种不同的空间形式。因此，宇宙之大，粒子同的空间形式。因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，世事之繁，之微，光速之快，世事之繁，无处无处不用数学。
3、不用数学。第4页，共51页，编辑于2022年，星期三为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？数学不但研究空间形式与数量关系，还数学不但研究空间形式与数量关系，还研究现实世界中的任何形式和关系，只研究现实世界中的任何形式和关系，只要这种形式和关系能抽象出来，用清晰要这种形式和关系能抽象出来，用清晰准确的方式表达，即所谓化为数学模型准确的方式表达，即所谓化为数学模型。第5页，共51页，编辑于2022年，星期三为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学握数学恩格斯恩格斯 数学是打开科学大门的钥匙数学是打开科学大门的钥匙培
4、根培根德国大数学家、天文学家、物理学家德国大数学家、天文学家、物理学家高高斯斯说：说：“数学是科学的皇后，她常常屈数学是科学的皇后，她常常屈尊去为天文学和其它自然科学效劳，但尊去为天文学和其它自然科学效劳，但在所有的关系中，她都堪称第一。在所有的关系中，她都堪称第一。”第6页，共51页，编辑于2022年，星期三为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？一种科学，只有当它成功地运用数学时，一种科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步才能达到真正完善的地步马克思马克思 培根培根曾说：曾说：“数学使人精细数学使人精细”伽里略、惠更斯、牛顿伽里略、惠更斯、牛顿都认为：都认为：“科学科学
5、工作中的演绎数学部分所起的作用比实工作中的演绎数学部分所起的作用比实验部分所起的作用要大验部分所起的作用要大”第7页，共51页，编辑于2022年，星期三为什么要学习高等数学？为什么要学习高等数学？第一个诺贝尔物理奖得主第一个诺贝尔物理奖得主伦琴伦琴在回答在回答“科学家需要什么样的修养科学家需要什么样的修养”这一问题时，这一问题时，说：说：“第一是数学，第二是数学，第三第一是数学，第二是数学，第三还是数学。还是数学。”被誉为被誉为“计算机之父计算机之父”的的冯冯诺伊曼诺伊曼认认为为“数学处于人类智慧的中心领域数学处于人类智慧的中心领域”第8页，共51页，编辑于2022年，星期三高等数学主要学些什
6、么？高等数学主要学些什么？广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学。一般认为，广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学。一般认为，16世世纪以前发展起来的各个数学学科总的是属于初等数学的范畴，因纪以前发展起来的各个数学学科总的是属于初等数学的范畴，因而，而，17世纪以后建立的数学学科基本上都是高等数学的内容。世纪以后建立的数学学科基本上都是高等数学的内容。初等数学：包括小学的算术，中学的代数，平面几何，初等数学：包括小学的算术，中学的代数，平面几何，立体几何，平面三角等。立体几何，平面三角等。大学里开设的高等数学课的内容有微积分学和级数、常微分方程，大学里开设的高等数学课的内容有微积分学和级数
7、、常微分方程，但主要部分是微积分学。但主要部分是微积分学。第9页，共51页，编辑于2022年，星期三高等数学主要学些什么？高等数学主要学些什么？应用高等数学的内容主要是微积分学。应用高等数学的内容主要是微积分学。微积分学研究的对象是函数，而极限则是微积分微积分学研究的对象是函数，而极限则是微积分学的基础，也是最主要的推理方法。学的基础，也是最主要的推理方法。应用高等数学主要内容包括：函数、极限、连应用高等数学主要内容包括：函数、极限、连续、一元函数微分学和一元函数积分学。续、一元函数微分学和一元函数积分学。第10页，共51页，编辑于2022年，星期三怎样才能学好数学？怎样才能学好数学？数学具有
8、三个显著的特点：数学具有三个显著的特点：（1）高度的抽象性）高度的抽象性（2）严谨的逻辑性）严谨的逻辑性（3）广泛的应用性）广泛的应用性第11页，共51页，编辑于2022年，星期三怎样才能学好大学数学？怎样才能学好大学数学？大学数学的教学与中学数学的教学相比，大学数学的教学与中学数学的教学相比，有以下三个显著的差别：有以下三个显著的差别：1、课时少、课时少。每周一次课，一般不可能。每周一次课，一般不可能课堂提问和课堂练习。课堂提问和课堂练习。2、时间长、时间长。每一次课是连续讲授两节。每一次课是连续讲授两节课。课。3、进度快、进度快。由于高等数学的内容极为。由于高等数学的内容极为丰富，而学时又
9、有限，因此，每次上课丰富，而学时又有限，因此，每次上课内容较多。内容较多。第12页，共51页，编辑于2022年，星期三基本要求基本要求预习预习听课（适当记笔记）听课（适当记笔记）总结复习（做作业，看课外书）总结复习（做作业，看课外书）第13页，共51页，编辑于2022年，星期三预备知识预备知识函数函数第14页，共51页，编辑于2022年，星期三在某过程中数值保持不变的量称为常量,通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.用字母x,y,t等表示变量.预备知识预备知识函数函数常量与变量常量与变量常量与变量常量与变量一、函数的有关概念一、函数的有关概念逻辑符号逻辑符号逻辑符号逻辑符号第
10、15页，共51页，编辑于2022年，星期三定义定义11、函数的定义、函数的定义记作记作一、函数的有关概念一、函数的有关概念第16页，共51页，编辑于2022年，星期三一、函数的有关概念一、函数的有关概念2 2、函数的三要素、函数的三要素定义域对应法则值域两个函数相同两个函数相同：定义域和对应法则都相同定义域和对应法则都相同两个基本要素第17页，共51页，编辑于2022年，星期三在考虑实际问题时，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域。对于用函数解析式表示的函数，它的定义域应使函数表达式本身有意义.（1）在分式中，分母不能为零；（2）在根式中，负数不能开偶次方根；（3）在对数式中，真数不能为零和
11、负数；（4）在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；（5）如果函数表达式中含有分式、根式、对数式及反三角函数式，则应取各部分定义域的交集.一、函数的有关概念一、函数的有关概念函数定义域的求法函数定义域的求法第18页，共51页，编辑于2022年，星期三一、函数的有关概念一、函数的有关概念3 3、函数记号、函数记号第19页，共51页，编辑于2022年，星期三一、函数的有关概念一、函数的有关概念4 4、函数的表示方法、函数的表示方法表格法、图示法和解析法（公式法）表格法、图示法和解析法（公式法）.公式法（解析法）公式法（解析法）:抽象，简明，便于研究函数抽象，简明，便于研究函数的性质的性质图示法
12、：形象、直观、粗略图示法：形象、直观、粗略表格法：便于查找函数值表格法：便于查找函数值第20页，共51页，编辑于2022年，星期三一、函数的有关概念一、函数的有关概念5 5、分段函数、分段函数定义定义2在自变量不同的取值范围内用不同的解析式在自变量不同的取值范围内用不同的解析式来表示的函数称为来表示的函数称为分段函数。分段函数。注意：注意：1.分段函数的定义域是其各段子区间的并集；分段函数的定义域是其各段子区间的并集；2.分段函数在其整个定义域上是一个函数，而不是几分段函数在其整个定义域上是一个函数，而不是几个函数个函数.第21页，共51页，编辑于2022年，星期三一、函数的有关概念一、函数的
13、有关概念6 6、显函数与隐函数、显函数与隐函数定义定义3例如：例如：注：不是任意方程都能确定隐函数注：不是任意方程都能确定隐函数第22页，共51页，编辑于2022年，星期三定义定义4且有且有若若则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若则称则称f(x)为为奇函数奇函数.说明说明:在在x=0有定义有定义,则当则当必有必有(1)奇、偶函数的定义域必须对称于坐标原点奇、偶函数的定义域必须对称于坐标原点.为奇函数时为奇函数时,二、函数的基本性质二、函数的基本性质1 1、奇偶性、奇偶性第23页，共51页，编辑于2022年，星期三奇函数奇函数偶函数偶函数几何特征几何特征yxOyxO二、函数的基本性质二、函数
14、的基本性质1 1、奇偶性、奇偶性奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。如图第24页，共51页，编辑于2022年，星期三二、函数的基本性质二、函数的基本性质2 2、周期性、周期性定义定义5注：(1)T为周期。(2)如果在所有的周期中存在一个最小的正数，那么就把这个正数称为最小正周期。第25页，共51页，编辑于2022年，星期三当当时时,称称为为D上的上的单调递增函数单调递增函数;称称为为D上的上的 单调递减函数单调递减函数；的单调增区间。的单调增区间。区间区间D称为称为的单调减区间。的单调减区间。区间区间D称为称为二、函数的基本性质二、函数的基本性质3 3、单调性、单调性定义定义6
15、单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数；单调增区间与单调减区间统称为单调区间。第26页，共51页，编辑于2022年，星期三二、函数的基本性质二、函数的基本性质4 4、有界性、有界性都有定义定义7(1)若使得则称函数在I上有界，或称函数是有界函数。使得(2)若都则称函数在I上无界，或称函数是无界函数。第27页，共51页，编辑于2022年，星期三几何特征几何特征二、函数的基本性质二、函数的基本性质4 4、有界性、有界性第28页，共51页，编辑于2022年，星期三三、反函数三、反函数1 1、反函数的定义、反函数的定义定义定义8习惯上将x作为自变量矫形反函数矫形反函数直接反函数直接反函数第29页，共
16、51页，编辑于2022年，星期三三、反函数三、反函数2 2、反函数的求法、反函数的求法求反函数的过程求反函数的过程直接直接反函反函数数矫矫形形反反函函数数第30页，共51页，编辑于2022年，星期三三、反函数三、反函数3 3、反函数的性质、反函数的性质性质1 反函数的图形与原函数的图形关于直线y=x对称。性质2 反函数的定义域与原函数的值域相同，反函数的值域与原函数的定义域相同。性质3 单调函数一定有反函数。注：不是所有函数都存在反函数。一一对应函数有反函数。第31页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初等函数定义定义9以下六种函数统称为基本初等函数（2）幂函数（5）三
17、角函数（3）指数函数（6）反三角函数（4）对数函数（1）常数函数第32页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初等函数（1）常数函数第33页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初等函数（2）幂函数第34页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初等函数（2）幂函数第35页，共51页，编辑于2022年，星期三2022/10/736同一坐标系中幂函数的图象四、基本初等函数四、基本初等函数（2）幂函数第36页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初等函数（3）指数函数第37页，共51页，编辑于2022年，星期三四
18、、基本初等函数四、基本初等函数指数运算性质第38页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初等函数（4）对数函数第39页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初等函数对数运算性质自然对数第40页，共51页，编辑于2022年，星期三正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数四、基本初等函数四、基本初等函数（5）三角函数第41页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初等函数（5）三角函数第42页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初等函数（5）三角函数第43页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初
19、等函数（6）反三角函数第44页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初等函数（6）反三角函数第45页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初等函数（6）反三角函数第46页，共51页，编辑于2022年，星期三四、基本初等函数四、基本初等函数（6）反三角函数第47页，共51页，编辑于2022年，星期三五、复合函数五、复合函数1 1、复合函数、复合函数定义定义10由函数可构成复合函数例函数复合后一般应重新验证它的定义域第48页，共51页，编辑于2022年，星期三五、复合函数五、复合函数1 1、复合函数、复合函数是由哪几个函数复合而成?函数 )1ln(arc
20、cos 2-=xy复合函数的分解：分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.2 2、简单函数、简单函数定义定义11由基本初等函数经过有限次四则运算所得到的的函数，通常称为简单函数。第49页，共51页，编辑于2022年，星期三六、初等函数六、初等函数定义定义12由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成，且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数，否则就是非初等函数。注：注：分段函数一定不是初等函数。分段函数一定不是初等函数。都是初等函数都是初等函数第50页，共51页，编辑于2022年，星期三所以幂指函数也是初等函数所以幂指函数也是初等函数六、初等函数六、初等函数第51页，共51页，编辑于2022年，星期三