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1、二次函数压轴题二次函数压轴题1.如图，抛物线 yax2(a2)x2(a0)与 x 轴交于点 A(4，0)，与 y轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 P(m，0)(0m4)过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 M.(1)求 a 的值；(2)若 PNMN13，求 m 的值；(3)如图，在(2)的条件下，设动点 P 对应的位置是 P1，将线段 OP1绕点 O逆时针旋转得到 OP2，旋转角为(090)，连接 AP2、BP2，求 AP232BP2的最小值图图第 1 题图解：(1)A(4，0)在抛物线上，016a4(a2)2，解得 a12；(2)由(1)可知抛物线解析式为 y12
2、x232x2，令 x0 可得 y2，OB2，OPm，AP4m，PMx 轴，OABPAN，OBOAPNPA，即24PN4m，PN12(4m)，M 在抛物线上，PM12m232m2，PNMN13，PNPM14，12m232m2412(4m)，解得 m3 或 m4(舍去)，即 m 的值为 3；(3)如解图，在 y 轴上取一点 Q，使OQOP232，第 1 题解图由(2)可知 P1(3，0)，且 OB2，OP2OB32，且P2OBQOP2，P2OBQOP2，QP2BP2OP2OB32，当 Q(0，92)时，QP232BP2，AP232BP2AP2QP2AQ，当 A、P2、Q 三点在一条直线上时，AP2
3、QP2有最小值，又A(4，0)，Q(0，92)，AQ42（92）21452，即 AP232BP2的最小值为1452.2.如图，已知二次函数 yax2bx4 的图象与 x 轴交于A(2，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，点 P 是 x轴上方抛物线上的一个动点，过 P 作 PNx 轴于 N，交直线 BC 于 M.(1)求二次函数表达式及顶点 D 的坐标；(2)当 PMMN 时，求点 P 的坐标；(3)设抛物线对称轴与 x 轴交于点 H，连接 AP 交对称轴于 E，连接 BP 并延长交对称轴于 F，试证明 HEHF 的值为定值，并求出这个定值第 2 题图解：(1)A(
4、2，0)，B(4，0)在二次函数的图象上，将 A，B 点代入二次函数表达式中，得4a（2）b4016a4b40，解得a12b1，二次函数的表达式为 y12x2x4，将其化为顶点式为 y12(x1)292，顶点 D 的坐标为(1，92)；(2)由抛物线表达式得点 C 的坐标为(0，4)，设直线 BC 的解析式为 ykxc(k0)，将点 B(4，0)，点 C(0，4)代入得4kc0c4，解得k1c4，直线 BC 的解析式为 yx4，(5 分)点 P 在 x 轴上方的抛物线上，设点 P 的坐标为(t，12t2t4)(2t4)，PNx 轴于 N，点 N 的坐标为(t，0)，PN 交 BC 于 M，点
5、M 的坐标为(t，t4)，(7 分)PMMN，点 P 在点 M 的上方，PN2MN，即12t2t42(t4)，解得 t12，t24(与 B 重合舍去)，当 PMMN 时，点 P 的坐标为(2，4)；(8 分)第 2 题解图(3)如解图，过点 P 作 PGx 轴于点 G，设点 P 的坐标为(t，12t2t4)，DHx 轴于点 H，PGDH，AHEAGP，BGPBHF，EHPGAHAG，PGFHBGBH，EHAHPGAG，FHBHPGBG，(10 分)当点 G 在 BH 上时，AHBH3，AGt2，BG4t，PG12t2t4，EHFH3(PGt2PG4t)3(12)(t2)(t4)4tt2（t2）
6、（4t）9，同理，当点 G 在 AH 上，由抛物线对称性可知，结果相同综上可知，HEHF 的结果为定值，且这个定值为 9.(14 分)3.如图，在平面直角坐标系中，直线 y12x1 与抛物线 yax2bx3 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3.点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点(不与点 A、B 重合)，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C，作 PDAB 于点 D.(1)求 a、b 及 sinACP 的值；(2)设点 P 的横坐标为 m.用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把PDB 分成两
7、个三角形，是否存在适合的 m 值，使这两个三角形的面积之比为 9 10？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，说明理由第 3 题图解：(1)由12x10，得 x2，A(2，0)，由12x13，得 x4，B(4，3)yax2bx3 经过 A、B 两点，（2）2a2b3042a4b33，解得a12b12，如解图，设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则 E(0，1)PCy 轴，ACPAEO.sinACPsinAEOOAAE222122 55；(2)由(1)知，抛物线的解析式为y12x212x3，P(m，12m212m3)，C(m，12m1)，PC12m1(12m212m3)12m2m4.在 RtPC
8、D 中，PDPCsinACP(12m2m4)2 5555(m1)29 55.550，当 m1 时，PD 有最大值9 55；存在，m52或329.【解法提示】如解图，分别过点 D、B 作 DFPC，BGPC，垂足分别为点 F、G.第 3 题解图由图中几何关系可知FDPDCPAEO，cosFDPcosAEOOEAE1221255，在 RtPDF 中，DFcosFDPPD55PD15(m22m8)又BG4m，PBCPCDSSDFBG15（m22m8）4mm25.当PBCPCDSSm25910时，解得 m52；当PBCPCDSSm25109时，解得 m329.m52或329.4.如图，在平面直角坐标系
9、中，四边形 OABC 是矩形，OA3，AB4，在 OC 上取一点 E，使 OAOE，抛物线 yax2bxc 过 A，E，B 三点(1)求 B，E 点的坐标及抛物线表达式；(2)若 M 为抛物线对称轴上一动点，则当|MAME|最大时，求 M 点的坐标；(3)若点 D 为 OA 中点，过 D 作 DNBC 于点 N，连接 AC，若点 P 为线段OC 上一动点且不与 C 重合，PFDN 于 F，PGAC 于 G，连接 GF，是否存在点 P，使PGF 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的 P 点坐标；若不存在，请说明理由第 4 题图解：(1)OA3，AB4,OAOE，A(0，3)，B(4，3),E
10、(3，0)将 A，B，E 三点坐标代入 yax2bxc 中，得c316a4bc39a3bc0，解得a1b4c3，抛物线的表达式为 yx24x3；(3 分)(2)抛物线 yx24x3 的对称轴为直线 x2，点 A 关于对称轴的对称点为点 B，当|MAME|最大时，M 在直线 BE 与直线 x2 的交点处，即连接 BE并延长交直线 x2 于点 M，M 点即为所求，如解图，(5 分)第 4 题解图设直线 BE 的解析式为 ykxb(k0)，直线过 B(4，3)，E(3，0)，4kb33kb0，k3b9，直线 BE 的解析式为 y3x9.当 x2 时，y3，M(2，3)；(7 分)(3)设 P(x，0
11、)(x0)，如解图，过点 P 分别作 PFDN 于点 F，PGAC于点 G，过点 G 作 GHOC 于点 H，交 DN 于点 Q，连接 GF，第 4 题解图OA3，AB4，AOC90，AC5，D 为 OA 的中点，DNBC，PF32，sin1PGPCOAAC，PGx435，PG3（x4）5，cos1CGPCOCAC，CGx445，CG4（x4）5.CGHCAO，GHAOCGCACHCO，GH3CG5CH4，GH35CG354（x4）512（x4）25，CH45CG454（x4）516（x4）25，(9 分)PHQFOCCHOP416（x4）25x9（x4）25，GQGHQH12（x4）2532
12、，在 RtGQF 中，GF212（x4）2532281（4x）26259（x4）22536（x4）2594.要使PGF 为等腰三角形，可分三种情况讨论：()当 GFGP 时，GF2GP2，9（x4）22536（x4）25949（x4）225，x3916，P1(3916，0)；(11 分)()当 FGFP 时，FG2FP2，9（x4）22536（x4）259494，x14，x20.点 P 不与 C 重合，x4(舍去)，P2(0，0)；(12 分)()当 PGPF 时，3（x4）532，x32，P3(32，0)(13 分)综上所述，存在 P1(3916，0)，P2(0，0)，P3(32，0)使PF
13、G 为等腰三角形(14分)5.已知：直线 y12x3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，抛物线 y13x2bxc 经过点 A、B，且交 x 轴于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 为抛物线上一点，且点 P 在 AB 的下方，设点 P 的横坐标为 m.试求当 m 为何值时，PAB 的面积最大；当PAB 的面积最大时，过点 P 作 x 轴的垂线 PD，垂足为点 D，问在直线 PD 上是否存在点 Q，使QBC 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的 Q 点的坐标，若不存在，请说明理由第 5 题图备用图解：(1)直线 y12x3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，则 A(6，0)，B(
14、0，3)，又抛物线 y13x2bxc 经过点 A、B，则013626bc3c，解得b32c3，抛物线的解析式为 y13x232x3；(2)点 P 的横坐标为 m，P(m，13m232m3)，点 P 在直线 AB 下方，0m6，第 5 题解图如解图，过点 P 作 x 轴的垂线，交 AB 于点 E，交 x 轴于点 D，则 E(m，12m3)，PE12m3(13m232m3)13m22m，SPABSBPESPEA12PEOA12(13m22m)6(m3)29，当 m3 时，PAB 的面积最大；在直线 PD 上存在点 Q，使QBC 为直角三角形；点 Q 的坐标为(3，94)或(3，32)【解法提示】直
15、线 PD 的解析式为：x3，易得 C(32，0)，D(3，0)，当BCQ90时，如解图，易证COBQDC，则COOBQDDC，可得 Q(3，94)；第 5 题解图当CBQ90时，如解图，易知 Q 在 AB 上，将 x3 代入直线 y12x3，得 y32，Q(3，32)；第 5 题解图当BQC90时，如解图，易证CDQQRB，则CDQRDQBR，即923DQDQ3，无解第 5 题解图综上所述，在直线 PD 上存在点 Q，使QBC 为直角三角形，点 Q 的坐标为(3，94)或(3，32)6.如图，抛物线 yx24x5 与 x 轴交于 A，B 两点(点 B 在点 A 的右侧)，与 y 轴交于点 C，
16、抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D.(1)求 A，B，C 三点的坐标及抛物线的对称轴；(2)如图，点 E(m，n)为抛物线上一点，且 2m5，过点 E 作 EFx 轴，交抛物线的对称轴于点 F，作 EHx 轴于点 H，求四边形 EHDF 周长的最大值；(3)如图，点 P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 P，使以点 P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图图第 6 题图解：(1)把 y0 代入 yx24x5，得 x24x50，解得 x11，x25，点 B 在点 A 的右侧，A，B 两点的坐标分别为(1，0)，(5，0)，把 x0 代入 yx24
17、x5，得 y5，点 C 的坐标为(0，5)，yx24x5(x2)29，抛物线的对称轴为直线 x2；(4 分)(2)由题意可知，四边形 EHDF 是矩形，抛物线的对称轴为直线 x2，点 E 坐标为(m，m24m5)，EHm24m5，EFm2，矩形 EHDF 的周长为 2(EHEF)2(m24m5m2)2(m25m3)2(m52)2372，20，2m5，当 m52时，矩形 EHDF 的周长最大，最大值为372；(8 分)第 6 题解图(3)存在点 P，使以点 P，B，C 为顶点的三角形是直角三角形如解图，设点 P 的坐标为(2，k)，B 和 C 两点的坐标分别为(5，0)，(0，5)，BC 525
18、25 2，当CBP90时，BC2BP2CP2，(5 2)2(52)2(k)222(k5)2，解得 k3，P1(2，3)；(10 分)当PCB90，BC2PC2BP2，(5 2)222(k5)2(52)2(k)2，解得 k7，P2(2，7)；(12 分)当CPB90时，PC2PB2BC2，22(k5)2(52)2k2(5 2)2，解得 k1 或 k6，P3(2，1)，P4(2，6)，综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(2，3)，(2，7)，(2，1)或(2，6)(14分)7.如图，抛物线 y14x2bxc 经过 A(2，0)，B(4，0)两点，直线 y2x2 交 y 轴于点 D，过点 B 作
19、BCx 轴交直线 CD 于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)求点B关于直线y2x2对称的点E的坐标，判断点E是否在抛物线上，并说明理由；(3)点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 CE 于点 F，是否存在这样的点 P，使以点 P、B、C、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 7 题图解：(1)抛物线 y14x2bxc 的图象经过点 A(2，0)，B(4，0)两点，1442bc014164bc0，解得b12c2，抛物线的解析式为 y14x212x2；(2)点 E 在抛物线上，理由如下：如解图，设直线 CD：y2x2
20、与 x 轴交于点 N，过点 E 作 EMx 轴，垂足为点 M，令 y2x20，解得 x1，点 N 的坐标为(1，0)，点 D 的坐标为(0，2)，BN225，BD220，DN25，BN2BD2DN2，BDCD，点 B 和点 E 关于点 D 对称，BE2BD，BE4 5，当 x4 时，y2x210，点 C 的坐标为(4，10)，BN5，BC10，CN5 5，又MBEBCN，CBNBME，CBNBME，BECNMEBN，即4 55 5ME5，ME4，根据勾股定理得 BM BE2ME2 80168，BM8，OM4，点 E 的坐标为(4，4)，当 x4 时，y14x212x2141612424，点 E
21、 在抛物线上；第 7 题解图(3)存在，点 P 的坐标为(1，94)或(5 3292，3 3291518)或(5 3292，3 3291518)【解法提示】如解图，设直线 CE 的解析式为 ykxb，由(2)得点 C(4，10)，E(4，4)，4kb104kb4，解得k34b7，第 7 题解图直线 CE 的解析式为 y34x7.PFx 轴，设点 P 的坐标为(a，14a212a2)，则点 F 的坐标为(a，34a7)，PF|14a212a2(34a7)|14a254a9|，要使以点 P、B、C、F 为顶点的四边形为平行四边形，PFBC，PFBC10.当14a254a910 时，解得 a14(舍
22、去)，a21，点 P 的坐标为(1，94)，当14a254a910 时，解得 a15 3292，a25 3292，点 P 的坐标为(5 3292，3 3291518)或(5 3292，3 3291518)，综上所述，存在点 P，使以点 P、B、C、F 为顶点的四边形为平行四边形，点 P 的坐标为(1，94)或(5 3292，3 3291518)或(5 3292，3 3291518)8.如图，已知抛物线 yax2bx(a0)过点 A(3，3)和点 B(3 3，0)，过点 A 作直线 ACx 轴，交 y 轴于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点 P，过点 P 作直线 AC 的垂线
23、，垂足为 D.连接 OA，使得以 A，D，P 为顶点的三角形与AOC 相似，求出相应点 P 的坐标；(3)抛物线上是否存在点 Q，使得 SAOC13SAOQ？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 8 题图解：(1)将点 A(3，3)，B(3 3，0)分别代入 yax2bx 中，得33a 3b027a3 3b，解得a12b3 32，抛物线的解析式为 y12x23 32x；(2)设 P 点的坐标为 P(m，12m23 32m)，则 D(m，3)，PD|12m23 32m3|，AD|m 3|，ACOADP90，当ACOADP 时，有ACOCADPD，即33|m 3|12m23 32m3
24、|，3|m 3|12m23 32m3|，3(m 3)12m23 32m3 或 3(m 3)12m23 32m3，整理得 m25 3m120 或 m2 3m0，解方程 m25 3m120 得：m14 3，m2 3(点 P 与 A 点重合，APD不存在，舍去)；解方程 m2 3m0 得：m30，m4 3(点 P 与 A 点重合，APD 不存在，舍去)；此时 P 点的坐标为 P(0，0)或 P(4 3，6)；当ACOPDA 时，有ACOCPDAD，即33|12m23 32m3|m 3|，3|12m23 32m3|m 3|，3(12m23 32m3)m 3或 3(12m23 32m3)m 3，整理得3
25、m211m8 30 或3m27m4 30，解方程3m211m8 30，得：m18 33，m2 3(点 P 与 A 点重合，APD 不存在，舍去)；解方程3m27m4 30，得：m1433，m2 3(点 P 与 A 点重合，APD 不存在，舍去)；此时 P 点的坐标为 P(8 33，43)或 P(4 33，103)，综上可知：以点 A、D、P 为顶点的三角形与AOC 相似时，点 P 的坐标为：P(0，0)或 P(4 3，6)或 P(8 33，43)或 P(4 33，103)；(3)存在在 RtAOC 中，OC3，AC 3，根据勾股定理得 OA2 3，SAOC12OCAC3 32，SAOC13SA
26、OQ，SAOQ9 32，OA2 3，AOQ 边 OA 上的高为92，如解图，过点 O 作 OMOA，截取 OM92，第 8 题解图过点 M 作 MNOA 交 y 轴于点 N，AC 3，OA2 3，AOC30，又MNOAMNOAOC30，在 RtOMN 中，ON2OM9，即 N(0，9)，过点 M 作 MHx 轴交 x轴于点 H，MNO30，MOH30，MH12OM94，OH9 34，即 M(9 34，94)，设直线 MN 的解析式为 ykx9(k0)，把点 M 的坐标代入得949 34k9，即 k 3，y 3x9，联立得y 3x9y12x23 32x，解得x3 3y0或x2 3y15，即 Q(
27、3 3，0)或(2 3，15)9.如图，抛物线经过原点 O(0，0)，与 x 轴交于点 A(3，0)，与直线 l 交于点 B(2，2)(1)求抛物线的解析式；(2)点 C 是 x 轴正半轴上一动点，过点 C 作 y 轴的平行线交直线 l 于点 E，交抛物线于点 F，当 EFOE 时，请求出点 C 的坐标；(3)点 D 为抛物线的顶点，连接 OD，在抛物线上是否存在点 P，使得BODAOP？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由第 9 题图备用图解：(1)由题意可设抛物线的解析式为 yax2bx，将 A(3，0)，B(2，2)代入 yax2bx 中，得9a3b04a2b2，解
28、得a1b3，抛物线的解析式为 yx23x；(2)设直线 l 的解析式为 ykx，将 B(2，2)代入 ykx 中，得22k，解得 k1，直线 l 的解析式为 yx，设点 C 的坐标为(n，0)，则点 E 的坐标为(n，n)，点 F 的坐标为(n，n23n)当点 C 在点 A 的左侧时，如解图所示，EFn(n23n)n22n，OE n2（n）2 2n，EFOE，n22n 2n，解得 n10(C，E，F 三点均与原点重合，舍去)，n22 2，点 C 的坐标为(2 2，0)；当点 C 在点 A 的右侧时，如解图所示，EFn23n(n)n22n，OE n2（n）2 2n，EFOE，n22n 2n，解得
29、 n10(C，E，F 均与原点重合，舍去)，n22 2，点 C 的坐标为(2 2，0)；综上所述，当 EFOE 时，点 C 的坐标为(2 2，0)或(2 2，0)；(3)存在点 P 使得BODAOP，点 P 的坐标为(145，1425)或(165，1625)【解法提示】抛物线的解析式为 yx23x(x32)294，顶点 D 的坐标为(32，94)，设抛物线的对称轴交直线 l 于点 M，交 x 轴正半轴于点 N，过点 D 作 DGOB 于点 G，过点 P 作 PHx 轴于点 H，如解图所示，直线 l 的解析式为 yx，MON45，ONM 为等腰直角三角形，ONMN32，OM 2ON3 22，DM
30、943234，在 RtDGM 中，DMGNMO45，RtDGM 为等腰直角三角形，MGDG34223 28，OGOMMG3 223 2815 28.设点 P 的坐标为(c，c23c)，当点 P 在 x 轴下方时，如解图所示，OHc，HP3cc2，第 9 题解图HOPBOD，tanHOPtanBOD，HPOHDGOG，即3cc2c3 2815 28，解得 c10(P 点与 O 点重合，舍去)，c2145，点 P 的坐标为(145，1425)；当点 P 在 x 轴上方时，如解图所示，OHc，HPc23c，第 9 题解图同理可得c23cc3 2815 28，解得 c10(P 点与 O 点重合，舍去)
31、，c2165，P 点的坐标为(165，1625)综上所述，存在点 P 使得BODAOP，点 P 的坐标为(145，1425)或(165，1625)10.在平面直角坐标系中，直线 y12x2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数 y12x2bxc 的图象经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点A，动点 D 在直线 BC 下方的二次函数图象上(1)求二次函数的表达式；(2)如图，连接 DC，DB，设BCD 的面积为 S，求 S 的最大值；(3)如图，过点 D 作 DMBC 于点 M，是否存在点 D，使得CDM 中的某个角恰好等于ABC 的 2 倍？若存在，直接写出点 D 的横
32、坐标；若不存在，请说明理由图图第 10 题图解：(1)直线 y12x2 中，令 y0，解得 x4，令 x0，解得 y2，点 B(4，0)，C(0，2)，将点B(4，0)，C(0，2)代入y12x2bxc中，得84bc0c2，解得b32c2，二次函数的表达式为 y12x232x2；第 10 题解图(2)如解图，过点 D 作 DEy 轴，交 BC 于点 E，设点 D 的坐标为(x，12x232x2)(1x4)，则点 E(x，12x2)，DE12x2(12x232x2)12x22x，SSCDESBDE12(12x22x)4x24x(x2)24，当 x2 时，S 有最大值，S 的最大值为 4；(3)存
33、在，满足条件的点 D 的横坐标为 2 或2911.【解法提示】令 y0，则12x232x20，解得 x11，x24，A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)，AB25225，AC212(2)25，BC2422220，AB2AC2BC2，ABC 是以ACB 为直角的直角三角形，如解图，取 AB 的中点 P，第 10 题解图P(32，0)，PAPCPB52，CPO2ABC，tanCPOOCOPtan2ABC43，过点 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 R，交 BC 的延长线于点 G，连接 CR，当DCM2ABCDGCCDG，DGx 轴，DGCABC，CDGABC，tanCDGtanABCOCO
34、B12，即CRDR12，设点 D(x，12x232x2)，DRx，RC12x232x，12x232xx12，解得 x10(舍去)，x22，点 D 的横坐标为 2；当MDC2ABC，tanMDC43，设 MC4k，DM3k，DC5k，tanDGC3kMG12，MG6k，CG2k，DG3 5k，MGDRGC，DMGCRG90，DMGCRG，DMCRDGCG，CR2 55k，RG2CR4 55k，即3kCR3 5k2k，DR3 5k4 55k11 55k，DRCR11 55k2 55kx12x232x，解得 x10(舍去)，x22911，点 D 的横坐标为2911，综上所述，满足条件的点 D 的横坐标为 2 或2911.