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1、优质文本中考热点:三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读“圆是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大局部是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比拟紧密 ，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；假设一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。二、典例精析类型1根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆1.如图，且k，那么是的A2倍
2、 Bk倍 C2k D1【分析】由，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，那么2，2，而k，即可得到k【解答】，A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，2，2，而k，即2k2，k应选：B2.如图，在中，C90，6，8，点F在边上，并且2，点E为边上的动点，将沿直线翻折，点C落在点P处，那么点P到边距离的最小值是A1.5 B1.2 C2.4 D以上都不对【分析】先依据勾股定理求得的长，然后依据翻折的性质可知，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当时，点P到的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可【解答】如下图：当在中，C90，6，8，由勾股定理
3、可求得10，由翻折的性质可知：2，C90，90由垂线段最短可知此时有最小值又为定值，有最小值又AA，即4/108，解得：3.221.2应选：B3.如图2所示,在凸四边形中,80,那么的度数为度【解析】，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，1/2, 1/2, + =80,1/21/21/2()= 1/280=40,18018040140故答案为：1404. 如图，在四边形中，假设25，75，那么 度，度【解析】法一：，点B，C，D在以A为圆心的圆上，25，1/2，75，1/2故答案为：12.5，37.5法二：，25，75，18025，100，18075，180100240，40，130，18
4、0180130，类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题5. 如下图，矩形与矩形全等，点在一条直线上，的顶点P在线段上移动，使得为直角的点P的个数是个【分析】的顶点P在线段上移动，且为直角，点P也在以为直径的O的圆上运动；以为直径作O，O与的交点即为所求【解答】点在一条直线上，的顶点P在线段上移动，为直角，点P在以为直径的O的圆上运动，点P就是O与的交点，由图示知，与O有2个交点故答案为：2【点评】此题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角解答该题时，采用了“数形结合的数学思想6. ：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，6，C、D两点在直尺的另一
5、条边上假设90，那么C、D两点之间的距离为【分析】由90，根据90的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D在以为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为中点，可得是半径为3，然后作交于F，根据垂径定理可得：2，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案【解答】设E为中点，90，A，B，C，D在以为直径的圆上，连接，那么1/23，作交于F，2，2，在和中，5，25故答案为：25【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识此题拿度适中，解题的关键是由90，根据90的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D在以为直径的圆上7. 中，5，12，90，P是边上的动点与点A、B不重合，Q是边
6、上的动点与点B、C不重合1如图，当，且Q为的中点时，求线段的长；2当与不平行时，可能为直角三角形吗？假设有可能，请求出线段的长的取值范围；假设不可能，请说明理由【分析】1根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段的长，只需根据勾股定理求得的长2假设与不平行，那么要使成为直角三角形只需保证90根据直径所对的圆周角是直角，那么分析以为直径的圆和斜边的公共点的情况：一是半圆和相切；二是半圆和相交首先求得相切时的值，即可进一步求得相交时的范围【解答】1在中90，5，12，13；Q是的中点，；又，即P是的中点，中，13/22当与不平行时，只有为直角，才可
7、能是直角三角形以为直径作半圆D，当半圆D与相切时，设切点为M，连接，那么，且5，1358；设x，那么x，12x；在中，即12x8，解之得x10/3，2x20/3；即当20/3且点P运动到切点M位置时，为直角三角形当20/312时，半圆D与直线有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，为直角三角形当020/3时，半圆D与直线相离，即点P在边上运动时，均在半圆D外，90，此时不可能为直角三角形当20/312时，可能为直角三角形8.平面直角坐标系中两定点A(-1,0)(4,0),抛物线2过点,顶点为C,点P()为抛物线上一点,其中n0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当为钝角时,求m的
8、取值范围.【分析】1利用待定系数法求出解析式，再利用x0得出y的值即可得出C点坐标2因为为直径，所以当抛物线上的点P在C的内部时，满足为钝角，进而得出m的取值范围；解:(1) 1抛物线y2a0过点A，B，2=0, 1642=0，解得：1/2, 3/2，抛物线的解析式为：y1/2x3/2x2，当x0时，y2，C0，2；(2)A(-1,0)(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(02),如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0),1+2=5(4+1) =254+2=16+4=20,那么,由勾股定理的逆定理,知是直角三角形,90,以M为圆心,以为半径作圆,那么M经过点D,那么M内抛物线上的
9、所有的点都可以是P点,且使为钝角,根据抛物线及圆的对称性,M与抛物线的另一个交点坐标为(32),那么满足条件的m的取值范围为1m0或3m4.类型3四点共圆模型(1)假设一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；(2)动点对定线段所张的角为定值.9. 如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0，m，点B的坐标为0，n，其中mn0点P为x轴正半轴上的一个动点，当到达最大时，直接写出此时点P的坐标【解析】当以为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解当以为弦的圆与x轴正半轴相切时，作y轴，连接、A的坐标为0，m，点B的坐标为0，n，10. 在平面直角坐标系中，点A4
10、，0、B6，0，点C是y轴上的一个动点，当45时，点C的坐标为【分析】如解答图所示，构造含有90圆心角的P，那么P与y轴的交点即为所求的点C注意点C有两个【解答】设线段的中点为E，点A4，0、B6，0，10，E1，01如答图1所示，过点E在第二象限作，且1/25，那么易知为等腰直角三角形，90，52；以点P为圆心，或长为半径作P，与y轴的正半轴交于点C，为P的圆周角，1/245，即那么点C即为所求过点P作y轴于点F，那么5，1，在中，1，52，由勾股定理得：7，5+712，点C坐标为0，12；2如答图2所示，在第3象限可以参照1作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为0，12综上所述，点C
11、坐标为0，12或0，12故答案为：0，12或0，12【点评】此题难度较大由45的圆周角联想到90的圆心角是解题的突破口，也是此题的难点所在11. 是等腰直角三角形，2，D是边上一中点，将绕C逆时针向旋得到，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点与交于点M；当从90变化到180时，点M运动的路径长为【分析】先证明A、D、M、C四点共圆，得到45，即可推出点M在以为直径的O上，运动路径是弧，利用弧长公式即可解决问题【解答】，2180，2180，A、D、M、C四点共圆，45，180135补充：不用四点共圆的方法：由，推出，推出，即可证明45O是中点，连接、，90，A、D、M、C四点共圆，当从90变
12、化到180时，点M在以为直径的O上，运动路径是弧，【点评】此题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题三、总结提升圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的根本性质和计算常被考察到以外，还可以用作辅助线。除了我们一条线段进行等腰三角形和直角三角形所使用的“两圆一垂和“两垂一圆以外，在涉及到一些动点相关的最值问题时，也特别常用，这时候我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时题目中虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用
13、的圆)，这就需要我们利用条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，画出来。上面讲述了常见的可以添加辅助圆的方法，具体归纳如下：1利用圆的定义添补辅助圆到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最根本方法简而言之，就是三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆。2作三角形的外接圆任意不在同一直线上的三点共圆，但是我们最常见到确实实是利用圆周角定理的推论，直角三角形在以斜边为直径的圆上。3四点共圆(1)假设一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆这是由书上圆内接四边形对角互补的性质拓展出来的一个应用，前者在中考中出现频率特别大，我甚至跟我学生说只要出现了内接和四边形等字眼，一定要想着去应用这条性质。而由此拓展出来的一条判定四点共圆的方法在我们解决线段长度和最值相关的问题时，特别好用。(2)同底同侧有相等顶角的三角形，那么各顶点四点共圆假设能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题。这也是我们非常常见的一类共圆问题，还可以拓展到利用圆来构造相等的角。