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2、机事件的概率等可能性事件的概率互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发生的概率独立重复试验数学探索版权所有考试要求：数学探索版权所有1了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义数学探索版权所有2了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的根本公式计算一些等可能性事件的概率。数学探索版权所有3了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率数学探索版权所有4会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生次的概率知识要点1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结
3、果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个根本领件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率.3. 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从152张扑克牌中任取一张抽到“红桃与抽到“黑桃互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.注意：i.对立事件
4、的概率和等于1：. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率PAB等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌52张中任抽一张设A：“抽到老K；B：“抽到红牌那么 A应与B互为独立事件看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K对抽到红牌即“抽到红桃老K或方块老K有，因此有.推广：假
5、设事件相互独立，那么.注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与与B，与也都相互独立.ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.独立重复试验：假设n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，那么称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：.4. 对任何两个事件都有概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计数学探索版权所有总体期望值和
6、方差的估计数学探索版权所有考试要求：数学探索版权所有1了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样数学探索版权所有2会用样本频率分布估计总体分布数学探索版权所有3会用样本估计总体期望值和方差知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.也是一个随机变量.一般地，假设是随机变量，是连续函数或单调函数，那么也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变
7、量.设离散型随机变量可能取的值为：取每一个值的概率，那么表称为随机变量的概率分布，简称的分布列.P有性质； .注意：假设随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取05之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：其中 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作Bnp，其中n，p为参数，并记.二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随
8、机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量的概率分布列.123kPq qp 我们称服从几何分布，并记，其中5. 超几何分布：一批产品共有N件，其中有MMN件次品，今抽取件，那么其中的次品数是一离散型随机变量，分布列为.分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定时，那么k的范围可以
9、写为k=0，1，n.超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件1na+b，那么次品数的分布列为.超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数服从超几何分布.假设放回式抽取，那么其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，那么抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即.我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，假设离散
10、型随机变量的概率分布为P那么称为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. 随机变量的数学期望： 当时，即常数的数学期望就是这个常数本身.当时，即随机变量与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和.当时，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.01Pqp单点分布：其分布列为：. 两点分布：，其分布列为：p + q = 1二项分布： 其分布列为.P为发生的概率几何分布： 其分布列为.P为发生的概率3.方差、标准差的定义：当随机变量的分布列为时，那么称为的方差. 显然，故为的根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量
11、取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.随机变量的方差.a、b均为常数01Pqp单点分布： 其分布列为两点分布： 其分布列为：p + q = 1二项分布：几何分布： 5. 期望与方差的关系.如果和都存在，那么设和是互相独立的两个随机变量，那么期望与方差的转化： 因为为一常数.三、正态分布.根本不列入考试范围1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量，位于x轴上方，落在任一区间与直线所围成的曲边梯形的面积如图阴影局部的曲线叫的密度曲线，以其作为图像的函数叫做的密度函数，由于“是必然事件，故密度曲线与x轴所夹局部面积等于1.2. 正态分布与正态曲线：如果随机
12、变量的概率密度为：. 为常数，且，称服从参数为的正态分布，用表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望与方差：假设，那么的期望与方差分别为：.正态曲线的性质.曲线在x轴上方，与x轴不相交.曲线关于直线对称.当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低的钟形曲线.当时，曲线上升；当时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高，表示总体的分布越集中.3. 标准正态分布：如果随机变量的概率函数为，那么称服从标准正态
13、分布. 即有，求出，而Pab的计算那么是.注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比方那么必然小于0，如图. 正态分布与标准正态分布间的关系：假设那么的分布函数通常用表示，且有. 4.“3原那么.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.确定一次试验中的取值是否落入范围.做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“3原那么的应用：假设随机变量服从正态分布那么 落在内的概率为99.7 亦即落在之外的概率为0.3，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格即不服从正态分布.
14、第三步：例题精讲必考题型、常考题型、典型题型(全国卷19. 本小题总分值12分注意：在试题卷上作答无效乒乓球比赛规那么规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。(新课标卷18.本小题总分值12分某花店每天以每枝5元的价格从农场购进假设干只玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，乳沟当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。看花
15、店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n单位：枝，的函数解析式。 花点记录了100天玫瑰花的日需求量单位：枝，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i） 假设花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润单位：元，求x的分布列，数学期望及方差；（ii） 假设花店方案一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？天津卷16本小题总分值13分现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去
16、参加乙游戏.求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.四川卷17本小题总分值12分某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶或“谢谢购置字样，购置一瓶假设其瓶盖内印有“奖励一瓶字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购置了一瓶该饮料。求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；求中奖人数的分布列及数学期望E.重庆卷17本小题总分值13分，I小问5分，II小问8分在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，假设采用抽签的方式
17、随机确定各单位的演出顺序序号为1,2,6，求：I甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；II甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。山东卷20本小题总分值12分某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规那么如下： 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分； 每答复一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍缺乏14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍缺乏14分时，答题
18、结束，淘汰出局； 每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题答复正确的概率依次为，且各题答复正确与否相互之间没有影响.()求甲同学能进入下一轮的概率；用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学的.陕西19 本小题总分值12分为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：估计该小男生的人数；估计该校学生身高在170185cm之间的概率；从样本中身高在165180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170180cm之间的概率。设A表示事件“从样本中身高在165180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170180cm之间浙江19(此题总分值l4分)如图一个小球从M处投入，通过管道自 上而下落A或B或C小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式进行促销活动，假设投入的小球落到A，B，c那么分别设为l，2，3等奖(I)获得l，2，3等奖的折扣率分别为507090记 随变量为获得(k=I,2,3)等奖的折扣率求随变量的分布列及期望；(II)假设有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次。求答案：