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1、1第六单元第六单元圆圆第第 2323 讲讲圆的基本性质圆的基本性质命题点近 8 年的命题形式考查方向垂径定理2016(T25 解)，2014(T25 解)，2013(T14 选)，2012(T5 选)，2011(T25 解)高频考点垂径定理是圆的轴对称性的具体体现，它可以串联弦、弧、角、图形的大小和位置关系，常与圆的相关知识综合，为进一步探索提供数据支持.圆周角定理2011(T16 填)考查的频率较低，常与其他有关“角”的知识内容串联，作为圆大题的补充题型多以选择题和填空题为主.命题点 1 1垂径定理1 1(2012河北 T52 分)如图，CD是O的直径，AB是弦(不是直径)，ABCD于点E，
2、则下列结论正确的是(D)AAEBEB.ADBCCD12AECDADECBE命题点 2 2圆周角定理2 2(2011河北 T163 分)如图，点O为优弧AB所在圆的圆心，AOC108，点D在AB的延长线上，BDBC，则D27重难点 1 1垂径定理及其应用已知 AB 是半径为 5 的O 的直径，E 是 AB 上一点，且 BE2.(1)如图 1，过点 E 作直线 CDAB，交O 于 C，D 两点，则 CD8；图 1图 2图 3图 4探究：如图 2，连接 AD，过点 O 作 OFAD 于点 F，则 OF 5；2(2)过点 E 作直线 CD 交O 于 C，D 两点若AED30，如图 3，则 CD 91；
3、若AED45，如图 4，则 CD 82【思路点拨】由于 CD 是O 的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦【变式训练 1 1】(2018襄阳)如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2 的O 上若 OABC，CDA30，则弦BC 的长为(D)A4B2 2C.3D2 3【变式训练 2 2】【分类讨论思想】(2018孝感)已知O 的半径为 10cm，AB，CD 是O 的两条弦，ABCD，AB16cm，CD12cm，则弦 AB 和 CD 之间的距离是 2_cm或 14_cm方法指导1 1垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平
4、分弦，平分弦所对的优弧与劣弧2 2圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解3 3事实上，过点 E 任作一条弦，只要确定弦与 AB 的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长重难点 2 2圆周角定理及其推论已知O 是ABC 的外接圆，且半径为 4.(1)如图 1，若A30，求 BC 的长；(2)如图 2，若A45：求 BC 的长；若点 C 是AB的中点，求 AB 的长；(3)如图 3，若A135，求 BC 的长图 1图 2图 3【思路点拨】连接 OB，OC，利用同弧所对的
5、圆心角等于圆周角的 2 倍，构建可解的等腰三角形求解【自主解答】解：(1)连接 OB，OC.BOC2A60，OBOC，OBC 是等边三角形BCOB4.(2)连接 OB，OC.BOC2A90，OBOC，OBC 是等腰直角三角形OBOC4，BC4 2.点 C 是AB的中点，ABCA45.ACB90.AB 是O 的直径AB8.3(3)在优弧BC上任取一点 D，连接 BD，CD，连接 BO，CO.A135，D45.BOC2D90.OBOC4，BC4 2.【变式训练 3 3】(2018南充)如图，BC 是O 的直径，A 是O 上的一点，OAC32，则B 的度数是(A)A58B60C64D68【变式训练
6、4 4】(2018秦皇岛海港区一模)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上 点A，B 的读数分别为 88，30，则ACB 的大小为(C)A15B28C29D34方法指导1 1在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧2 2弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决3 3一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补模型建立在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边易错提示注意同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍，避免把数量关系弄颠倒重难点 3 3圆内接四边形(2017潍
7、坊)如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形延长 AB 与 DC 相交于点 G，AOCD，垂足为 E，连接 BD，GBC50，则DBC 的度数为(C)A50B60C80D90【思路点拨】延长 AE 交O 于点 M，由垂径定理可得CD2DM，所以CBD2EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得ADEGBC，而ADE 与EAD 互余，由此得解【变式训练 5 5】(2018邵阳)如图所示，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，BCD120，则BOD 的大小是(B)4A80B120C100D90【变式训练 6 6】(2018曲靖)如图，四边形 ABCD 内接于O，E 为 BC 延长线上一点若An，则
8、DCEn方法指导1 1找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质2 2在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍1 1如图，在O 中，如果AB2AC，那么(C)AABACBAB2ACCAB2ACDAB2AC2 2(2018邯郸模拟)如图，在半径为 4 的O 中，弦 ABOC，BOC30，则 AB 的长为(D)A2B2 3C4D4 33 3(2017承德模拟)如图，在平面直角坐标系中，O经过原点 O，并且分别与 x 轴、y 轴交
9、于点 B，C，分别作OEOC 于点 E，ODOB 于点 D.若 OB8，OC6，则O的半径为(C)A7B6C5D454 4(2018聊城)如图，在O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC.若A60，ADC85，则C的度数是(D)A25B27.5C30D355 5(2018陕西)如图，ABC 是O 的内接三角形，ABAC，BCA65，作 CDAB，并与O 相交于点 D，连接BD，则DBC 的大小为(A)A15B35C25D456 6(2018河北模拟)如图，分别延长圆内接四边形 ABDE 的两组对边，延长线相交于点 F，C.若F27，A53，则C 的度数为(C)A30B43
10、C47D537 7(2018玉林)如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为 2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是 10cm.8 8(2017临沂)如图，BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点 D，ABC 的平分线交 AD 于点 E.(1)求证：DEDB；(2)若BAC90，BD4，求ABC 外接圆的半径解：(1)证明：AD 平分BAC，BE 平分ABC，6BAECAD，ABECBE.BDCD.DBCBAE.DBECBEDBC，DEBABEBAE,DBEDEB.DEDB.(2)连接 C
11、D.BDCD，CDBD4.BAC90，BC 是直径BDC90.BC BD2CD24 2.ABC 外接圆的半径为 2 2.9 9(2018遵义)如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC90，AB5，BC10，连接 AC，BD，以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E.若 DE3，则 AD 的长为(D)A5B4C3 5D2 5提示：过点 D 作 DFAC 于点 F，利用ADFCAB，DEFDBA 可求解1010(2018宜宾)如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC的中点，DEAB 于点 E，且 DE 交 AC 于点 F，DB交 AC 于点 G.若EFAE34，则CGGB551111
12、(2018金华)如图 1 是小明制作的一副弓箭，点 A，D 分别是弓臂 BAC 与弓弦 BC 的中点，弓弦 BC60cm.沿AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长如图 2，当弓箭从自然状态的点 D 拉到点D1时，有 AD130cm，B1D1C1120.(1)图 2 中，弓臂两端 B1，C1的距离为 30 3cm；(2)如图 3，将弓箭继续拉到点 D2，使弓臂 B2AC2为半圆，则 D1D2的长为(10 510)cm.71212如图所示，AB 为O 的直径，CD 为弦，且 CDAB，垂足为 H.(1)如果O 的半径为 4，CD4 3，求BAC 的度数；(2)若点
13、 E 为ADB的中点，连接 OE，CE.求证：CE 平分OCD；(3)在(1)的条件下，圆周上到直线 AC 的距离为 3 的点有多少个？并说明理由解：(1)AB 为O 的直径，CDAB，CH12CD2 3.在RtCOH 中，sinCOHCHOC32，COH60.BAC12COH30.(2)证明：点 E 是ADB的中点，OEAB.又CDAB，OECD.ECDOEC.又OEOC，OECOCE.OCEDCE，即 CE 平分OCD.(3)圆周上到直线 AC 的距离为 3 的点有 2 个因为AC上的点到直线 AC 的最大距离为 2，ADC上的点到直线 AC 的最大距离为 6，236，根据圆的轴对称性，ADC到直线 AC 的距离为 3 的点有 2 个