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1、第二篇函数及其性质专题2.9函数与数学模型【考试要求】1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.【知识梳理】1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递
2、增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行随 n 值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a、b 为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0)与指数函数相关模型f(x)baxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)与对数函数f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)相关模型与幂函数相关模型f(x)axnb(a，b，n 为常数，a0)【微点提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后
3、快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数 y2x的函数值比 yx2的函数值大.()(3)不存在 x，使 ax xn1)的增长速度会超过并远远大于 yxa(a0)的增长速度.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解
4、析】(1)9 折出售的售价为 100(110%)999 元.10每件赔 1 元，(1)错.(2)中，当 x2 时，2xx24.不正确.(3)中，如 ax01，n1，不等式成立，(3)错.24【教材衍化】2.(必修 1P107A1 改编)在某个物理实验中，测得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00 x则对 x，y 最适合的拟合函数是()A.y2xB.yx21C.y2x2D.ylog2x【答案】D【解析】根据 x0.50，y0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x2.01，y0.98，代入计算，可以排除 B，C；将各数据代入
5、函数 ylog2x，可知满足题意.3.(必修 1P59A6 改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2017 年全年投入研发资金130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2020 年B.2021 年C.2022 年D.2023 年【答案】B【解析】设经过 n 年资金开始超过 200 万元，即 130(112%)n200.两边取对数，得 nlg1.12lg 2lg 1.3，lg 2lg 1.3 0.300.1119n
6、lg 1.120.05，n4，5从 2021 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元.【真题体验】4.(2019上海静安区月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x万件时的生产成本为 C(x)122x20(万元).一万件售价是 20 万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该2商品数量为()A.36 万件B.18 万件C.22 万件D.9 万件【答案】B【解析】利润 L(x)20 xC(x)1(x18)2142，当 x18 万件时，L(x)有最大值.25.(2019天津和平区质检)已知f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，
7、对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.f(x)g(x)h(x)B.g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x)D.f(x)h(x)g(x)【答案】B【解析】在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x(4，)时，增长速度由大到小依次g(x)f(x)h(x).6.(2019枣庄调研)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额 x 为 8 万元时，奖励1万元.销售额 x 为 64 万元时，奖励 4 万元.若公司拟定的奖励模型为 yalog4xb.某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为万元.【答案】1 024【解析】依题意y2log4x2，alog4
8、8b1，解得alog464b4.a2，b2，令 2log4x28，得 x451 024.【考点聚焦】考点一利用函数的图象刻画实际问题【例 1】(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，2014 年 8 月到
9、9 月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误.【规律方法】1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.【训练 1】高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 vf(h)的大致图象是()【答案】B【解析】vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选 B.考点二已知函数模型求解实际问题【例 2】为了降低能源损耗，某体
10、育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)k(0 x10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建3x5造费用与 20 年的能源消耗费用之和.(1)求 k 的 值 及 f(x)的 表 达 式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值.【答案】见解析【解析】(1)当 x0 时，C8，k40，C(x)40(0 x10)，3x5f(x)6x20403x56x800(0 x10).3x5(2)
11、由(1)得 f(x)2(3x5)80010.3x5令 3x5t，t5，35，则 y2t8001022t8001070(当且仅当 2t800，即 t20 时等号成立)，ttt此时 x5，因此 f(x)的最小值为 70.隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元.【规律方法】1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.【训练 2】(2019日照月考)已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 q(x)(单位：
12、百件)关于每件衣服的利1 260，0 x20，润 x(单位：元)的函数解析式为 q(x)【答案】见解析x1903 5 x，20 x180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？【解析】设该服装厂所获效益为 f(x)元，126 000 x，0 x20，则 f(x)100 xq(x)x1100 x（903 5 x），20 x180.当 0 x20 时，f(x)126 000 x126 000126 000，f(x)在区间(0，20上单调递增，所以当 x20 时，f(x)有最大值 120 000.x1x1当 20 x180 时，f(x)9 000 x300 5x x，则 f(x)9 000450 5
13、x，令 f(x)0，x80.当 20 x0，f(x)单调递增，当 80 x180 时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当 x80 时，f(x)有极大值，也是最大值 240 000.由于 120 000240 000.故该服装厂所获得的最大效益是 240 000 元.考点三构造函数模型求解实际问题多维探究角度 1二次函数、分段函数模型【例 31】(2019锦州模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度 x(单位：尾/立方米)的函数.当 x 不超过 4 尾/立方米时，v 的值
14、为 2 千克/年；当 4x20 时，v 是 x 的一次函数，当 x 达到 20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为 0 千克/年.(1)当 0 x20 时，求函数 v 关于 x 的函数解析式；(2)当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.【答案】见解析【解析】(1)由题意得当 0 x4 时，v2，当 4x20 时，设 vaxb，显然 vaxb 在(4，20内是减函数，a1，20ab0，8由已知得4ab2，解得b5，22，0 x4，所以 v1x5.故函数 v1582x，4x20.82(2)设年生长量为 f(x)千克/立方米，依题意，2x，0 x4
15、，由(1)得 f(x)1x25x，4x20.82当 0 x4 时，f(x)为增函数，故 f(x)maxf(4)428；当 4x20 时，f(x)1x25x1(x220 x)1(x10)225，f(x)maxf(10)12.5.82882所以当 0 x20 时，f(x)的最大值为 12.5.故当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米.角度 2构建指数(对数)型函数模型【例 32】一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积110211021102的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少
16、要保留原面积的1，已知到今年为止，森林4剩余面积为原来的22(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【答案】见解析【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0 x1)，则 a(1x)101a，即(1x)101，221解得 x1.1故每年砍伐面积的百分比为 1.(2)设经过 m 年剩余面积为原来的2，211则 a(1x)m2a，把 x1 210代入，2m11即 22，即m1，解得 m5.102故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年.【规律方法】1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，
17、灵活进行指数与对数的互化.2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：分段要简洁合理，不重不漏；分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.【训练 3】(1)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 m3的，按每立方米 m 元收费；用水超过 10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费 16m 元，则该职工这个月实际用水 为()A.13 m3B.14 m3C.18 m3D.26 m3.总数 N 约为 1080.则下列各数中与M最接近的是
18、()N(参考数据：lg 30.48)A.1033B.1053C.1073D.1093【答案】(1)A(2)D【解析】(1)设该职工用水 x m3时，缴纳的水费为 y 元，由题意得 y则 10m(x10)2m16m，解得 x13.mx（0 x10），10m（x10）2m（x10），(2)M3361，N1080，M 3361，则lgMlg3361lg 3361lg1080361lg 38093.M1093.【反思与感悟】N 1080N1080N解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利
19、用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下：【易错防范】1.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.2.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.3.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40 分钟)一、选择题1.一根蜡烛长 20 cm，点燃
20、后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(小时)的函数关系用图象表示为图中的()【答案】B【解析】由题意得关系式为 h205t(0t4).图象应为 B 项.2.设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产，平均每人每年创造产值 t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流 x(0 x100，xN*)人去进行新开发的产品 B 的生产.分流后，继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 1.2x%.若要保证产品 A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.18【答案】B【解析】由题意，分流前每年创造的产值为1
21、00t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100 x)(11.2x%)t，0 x100，xN*，则由解得 0 x50（100 x）（11.2x%）t100t，3因为 xN*，所以 x 的最大值为 16.3.某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(单位：万元)为 y14.1x0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y22x，其中 x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是().12A.10.5 万元B.11 万元C.43 万元D.43.025 万元【答案】C【解析】设公司在 A 地销售该品牌的汽车
22、x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润 y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1x21220.1212432.因为 x0，16且 xN，所以当x10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元.4.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为 I 的声波，其音量的大小可由如下公式计算：10lgI(其中 I0是人耳能听到声音的最低声波强I0度)，则 70 dB 的声音的声波强度 I1是 60 dB 的声音的声波强度 I2的()A.7倍B.107倍C.10 倍D.ln7倍666【答案】C【解
23、析】由10lgI得 II010，所以 I1I0107，I2I0106，所以I110，所以 70 dB 的声音的声波强度I010I2I1是 60 dB 的声音的声波强度 I2的 10 倍.5.当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳 14 用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】设该死亡生物体内原有的碳 14 的含量为 1，则经过 n 个“半衰期”后的含量n
24、为，由n1，得 n10.1 000所以，若某死亡生物体内的碳 14 用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过 10 个“半衰期”.二、填空题6.(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为123 6004xxa4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是.【答案】30【解析】一年的总运费与总存储费用之和为 y6003 60064x4x2240，当且仅当3 600 xxx4x，即 x30 时，y 有最小值 240.7.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的
25、收入 R与广告费 A 之间满足关系 Ra A(a 为常数)，广告效应为 Da AA.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为(用常数 a 表示).【答案】1a24t12111【解析】令 t A(t0)，则 At2，所以 Datt22 a2.所以当 t4a，即 A2a2时，D 取得4最大值.8.一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.【答案】16【解析】当t8时，yae8b12，所以e8b1.2容器中的沙子只有开
26、始时的八分之一时，即yaebt1a，ebt1(e8b)3e24b，则t24.88所以再经过 16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一.三、解答题9.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 ya10(x6)2，其中 3x6，a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克.x3(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【答案】见解析a【解析】(1)因为 x5 时，y11，所以a1011，a2.2(2)由(1)可知，该商
27、品每日的销售量为 y210(x6)2，x3所以商场每日销售该商品所获得的利润为210（x6）f(x)(x3)x3210(x3)(x6)2，3x底数，k，b 为常数).若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在33 的保鲜时间是小时.【答案】24【解析】由已知条件，得 192eb，又48e22kbeb(e11k)2，11481e11k 1922 421.2设该食品在 33 的保鲜时间是 t 小时，则te33kb192 e33k192(e11k)3192324.14.某企业去年年底给全部的 800 名员工共发放 2 000 万元年终奖，该企业计划从今
28、年起，10 年内每年发放的年终奖都比上一年增加 60 万元，员工每年净增 a 人(aN*).(1)若 a10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过 3 万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？【答案】见解析【解析】设从今年起的第 x 年(今年为第 1 年)该企业人均发放年终奖为 y 万元.则 y2 00060 x*800ax(aN，1x10，xN).(1)当 a10 时，假设该企业的人均年终奖会超过 3 万元，则2 00060 x80010 x，解得x4010.3所以，10 年内该企业的人均年终奖不会超过 3 万元.(2)任取 x1，x2N*，且 1x10，所以 608002 000a0，解得 a3