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1、2021-2022高考数学模拟试卷含解析注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数f(x)的图象大致为()ABCD2中，角的对边分别为，若，则的面积为（ ）ABCD3已知l，m是两条不同
2、的直线，m平面，则“”是“lm”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD5已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD6已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD7如图，正方体中，分别为棱、的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（ ）A直线B直线C直线D直线8已知.给出下列判断：若，且，则；存在使得的图象向右
3、平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；若在上恰有7个零点，则的取值范围为；若在上单调递增，则的取值范围为.其中，判断正确的个数为（ ）A1B2C3D49我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式）.A2寸B3寸C4寸D5寸10复数的虚部为（）A1B3C1D211甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用
4、.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A丙被录用了B乙被录用了C甲被录用了D无法确定谁被录用了12已知实数x，y满足，则的最小值等于（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则可取到的最大值为_.14已知等比数列满足公比，为其前项和，构成等差数列，则_15函数的极大值为_.16三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有_种（比如：B与D、B与C是相邻的，A与D、C与D是不相邻的）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）直
5、线与抛物线相交于，两点，且，若，到轴距离的乘积为（1）求的方程；（2）设点为抛物线的焦点，当面积最小时，求直线的方程18（12分）如图，椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围19（12分）已知函数.（1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点.（2）若函数在区间上不单调，证明：.20（12分）已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点，点，直线的斜率为1（1）求椭圆的方程；（1）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，是否存在直线使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由21（1
6、2分）已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线 垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.（I）求椭圆C的方程；（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线 交于点Q，且,求点P的坐标.22（10分）如图，三棱柱中，平面，分别为，的中点.（1）求证： 平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值可区分剩余两个选项.【详解】因为f(x)f(x)知f(x)的图象不关于y轴对
7、称，排除选项B，C.又f(2)0.排除A，故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.2A【解析】先求出，由正弦定理求得，然后由面积公式计算【详解】由题意，由得，故选：A【点睛】本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解3A【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m平面时，若l”则“lm”成立，即充分性成立，若lm，则l或l，即必要性不成立，则“l”是“lm”充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查
8、充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题4A【解析】依题意可得即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围；【详解】解：依题意可得如下图象，所以则所以所以所以，即故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.5B【解析】由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.6B【解析】设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率
9、之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，由题意可知，直线与直线垂直，因此，双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.7C【解析】充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据判断A的正误.根据，判断B的正误.根据与 相交，判断C的正误.根据，判断D的正误.【详解】在正方体中，因为 ，所以 平面，故A正确. 因为，所以，所以平面 故B正确.因为，所以平面，故D正确.因为与 相交，所以 与平面 相交，故C错误.故选：C【点睛】本题主要考查正方
10、体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.8B【解析】对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】因为，所以周期.对于，因为，所以，即，故错误；对于，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，所以错误；对于，令，可得，则，因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，所以，即，解得，故正确；对于，因为，且，所以，解得，又，所以，故正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零
11、点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.9B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.10B【解析】对复数进行化简计算，得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.11C【解析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理
12、能力，属基础题.12D【解析】设，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出【详解】因为实数，满足，设，恒成立，故则的最小值等于.故选：【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。134【解析】由于曲线与直线相交，存在相邻两个交点间的距离为，所以函数的周期，可得到的取值范围，再由解出的两类不同的值，然后列方程求出，再结合的取值范围可得的最大值.【详解】，可得，由，则或，即或，由题意得，所以，则或，所以可取到的最大值为4.故答案为：4【点睛】此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角
13、方程的求解，熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.140【解析】利用等差中项以及等比数列的前项和公式即可求解.【详解】由，是等差数列可知因为，所以，故答案为：0【点睛】本题考查了等差中项的应用、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.15【解析】先求函的定义域，再对函数进行求导，再解不等式得单调区间，进而求得极值点，即可求出函数的极大值【详解】函数，令得，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，当时，函数取到极大值，极大值为.故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意定义域优
14、先法则的应用16192【解析】根据题意，分步进行分析：，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，分步进行分析：，在三对父子中任选1对，有3种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，有种安排方法；，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有种安排方法，则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法种；故答案为：【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；
15、（2）【解析】（1）设出两点的坐标，由距离之积为16，可得.利用向量的数量积坐标运算，将转化为.再利用两点均在抛物线上，即可求得p的值，从而求出抛物线的方程；（2）设出直线l的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线l恒过定点，将面积用参数t表示，求出其最值，并得出此时的直线方程.【详解】解：（1）由题设，因为，到轴的距离的积为，所以，又因为，所以抛物线的方程为（2）因为直线与抛物线两个公共点，所以的斜率不为，所以设联立，得，即，即直线恒过定点，所以，当时，面积取得最小值，此时.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直条件的转化，直线过定点均为该题的关键，属于
16、综合性较强的题.18（1）；（2）.【解析】（1）根据坐标和为等边三角形可得，进而得到椭圆方程；（2）当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定的取值范围；利用，代入韦达定理的结论可求得关于的表达式，采用换元法将问题转化为，的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.【详解】（1），为等边三角形，椭圆的标准方程为（2）设四边形的面积为当直线的斜率不存在时，可得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，联立得：，面积令，则，令，则，在定义域内单调递减，综上所述：四边形面积的取值范围是【点睛
17、】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.19（1）为增区间；为减区间.见解析（2）见解析【解析】（1）先求得的定义域，然后利用导数求得的单调区间，结合零点存在性定理判断出有唯一零点.（2）求得的导函数，结合在区间上不单调，证得，通过证明，证得成立.【详解】（1）函数的定义域为，由，解得为增区间；由解得为减区间.下面证明函数只有一个零点：，所以函数在区间内有零点，函数在区间上没有零点，故函数只有一个零点.（2）证明：函数，则当时，不符合题意；当时，令，则，所以在
18、上单调增函数，而，又区间上不单调，所以存在，使得在上有一个零点，即，所以，且，即两边取自然对数，得即，要证，即证，先证明：，令，则在上单调递增，即，在中令，令，即即，.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.20（1） （1）不存在，理由见解析【解析】（1）利用离心率和过点，列出等式，即得解（1）设的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理表示中点N的坐标，用点坐标表示，利用韦达关系代入，得到关于k的等式，即可得解.【详解】（1）由题意，可得解得则，故椭圆的方程为（1）当直线的斜率不存在时，不符
19、合题意当的斜率存在时，设的方程为，联立得，设，则，即设，则，则，即，整理得，此方程无解，故的方程不存在综上所述，不存在直线使得【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了弦长和中点问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.21（I） （II）【解析】（I）写出坐标，利用直线与直线垂直，得到.求出点的坐标代入，可得到的一个关系式，由此求得和的值，进而求得椭圆方程.（II）设出点的坐标，由此写出直线的方程，从而求得点的坐标，代入，化简可求得点的坐标.【详解】（I）椭圆的左焦点，上顶点，直线AF与直线垂直直线AF的斜率，即 又点A是线段BF的中点点的坐标为 又点在直线上 由得： 椭
20、圆的方程为 （II）设 由（I）易得顶点M、N的坐标为 直线MP的方程是： 由 得： 又点P在椭圆上，故 或（舍） 点P的坐标为【点睛】本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.22（1）详见解析；（2）.【解析】（1）连接，则且为的中点，又为的中点，又平面，平面，故平面 （2）由平面，得，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，取平面的一个法向量为，由，得：，令，得同理可得平面的一个法向量为平面平面，解得，得，又，设直线与平面所成角为，则.所以，直线与平面所成角的正弦值是