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1、综合性问题一、选择题1.(2014年山东东营,第 10 题 3 分)如图，四边形 ABCD 为菱形，AB=BD，点 B、C、D、G四个点在同一个圆O 上，连接 BG 并延长交 AD 于点 F，连接 DG 并延长交 AB 于点 E，BD与 CG 交于点 H，连接 FH，下列结论：AE=DF；FHAB；DGHBGE；当 CG 为O 的直径时，DF=AF中其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4考点：圆的综合题菁优网分析：由四边形 ABCD 是菱形，AB=BD，得出ABD 和BCD 是等边三角形，再由 B、C、D、G 四个点在同一个圆上，得出ADE=DBF，由ADEDBF，得出 AE=DF，利用内错
2、角相等FBA=HFB，求证 FHAB，利用DGH=EGB 和EDB=FBA，求证DGHBGE，利用 CG 为O 的直径及 B、C、D、G 四个点共圆，求出ABF=12090=30，在 RTAFB中求出 AF=AB在 RTDFB 中求出 FD=BD，再求得 DF=AF解答：解：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=DC=AD，又AB=BD，ABD 和BCD 是等边三角形，A=ABD=DBC=BCD=CDB=BDA=60，又B、C、D、G 四个点在同一个圆上，DCH=DBF，GDH=BCH，ADE=ADBGDH=60EDB，DCH=BCDBCH=60BCH，ADE=DCH，ADE=DBF，在ADE
3、 和DBF 中，ADEDBF（ASA）AE=DF故正确，由中证得ADE=DBF，EDB=FBA，B、C、D、G 四个点在同一个圆上，BDC=60，DBC=60，BGC=BDC=60，DGC=DBC=60，BGE=180BGCDGC=1806060=60，FGD=60，FGH=120，又ADB=60，F、G、H、D 四个点在同一个圆上，EDB=HFB，FBA=HFB，FHAB，故正确，B、C、D、G 四个点在同一个圆上，DBC=60，DGH=DBC=60，EGB=60，DGH=EGB，由中证得ADE=DBF，EDB=FBA，DGHBGE，故正确，如下图CG 为O 的直径，点 B、C、D、G 四个
4、点在同一个圆O 上，GBC=GDC=90，ABF=12090=30，A=60，AFB=90AF=AB，又DBF=6030=30，ADB=60，DFB=90，FD=BD，AB=BD，DF=AF，故正确，故选：D点评：此题综合考查了圆及菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，运用四点共圆找出相等的角是解题的关键解题时注意各知识点的融会贯通2.（2014甘肃白银、临夏,第 10 题 3 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在 CB延长线上，连接 ED 交 AB 于点 F，AF=x（0.2x），EC=y则在下面函数图象中，大致能反映 y 与 x 之闻函数关系的是（
5、）ABCD考点：动点问题的函数图象分析：通过相似三角形EFBEDC 的对应边成比例列出比例式=，从而得到 y与 x 之间函数关系式，从而推知该函数图象解答：解：根据题意知，BF=1x，BE=y1，且EFBEDC，则=，即=，所以 y=（0.2x），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分A、D 的图象都是直线的一部分，B 的图象是抛物线的一部分，C 的图象是双曲线的一部分故选 C点评：本题考查了动点问题的函数图象解题时，注意自变量 x 的取值范围3（2014甘肃兰州,第 15 题 4 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是边长为 4的正方形，平行于对角线 BD 的直线 l 从 O
6、出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动到直线 l 与正方形没有交点为止设直线 l 扫过正方形 OBCD 的面积为 S，直线 l运动的时间为 t（秒），下列能反映 S 与 t 之间函数关系的图象是（）ABCD考点：动点问题的函数图象分析：根据三角形的面积即可求出 S 与 t 的函数关系式，根据函数关系式选择图象解答：解：当 0t4 时，S=tt=t2，即 S=t2该函数图象是开口向上的抛物线的一部分故 B、C 错误；当 4t8 时，S=16（t4）（t4）=t2，即 S=t2+4t+8该函数图象是开口向下的抛物线的一部分故 A 错误故选：D点评：本题考查了动点问题的函数图象
7、本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性三、解答题1.（2014上海，第 25 题 14 分）如图 1，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB=45，点 P 是边 BC 上的动点，以 CP 为半径的圆 C 与边 AD 交于点 E、F（点 F 在点 E 的右侧），射线 CE 与射线 BA 交于点 G（1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长；（2）联结 AP，当 APCG 时，求弦 EF 的长；（3）当AGE 是等腰三角形时，求圆 C 的半径长考点：圆的综合题分析：（1）当点 A 在C 上时，点 E 和点 A 重合，过点 A 作
8、 AHBC 于 H，直接利用勾股定理求出 AC 进而得出答案；（2）首先得出四边形 APCE 是菱形，进而得出 CM 的长，进而利用锐角三角函数关系得出 CP 以及 EF 的长；（3）当AEG=B 时，A、E、G 重合，只能AGE=AEG，利用 ADBC，得出GAEGBC，进而求出即可解答：解：（1）如图 1，设O 的半径为 r，当点 A 在C 上时，点 E 和点 A 重合，过点 A 作 AHBC 于 H，BH=ABcosB=4，AH=3，CH=4，AC=5，此时 CP=r=5；（2）如图 2，若 APCE，APCE 为平行四边形，CE=CP，四边形 APCE 是菱形，连接 AC、EP，则 A
9、CEP，AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则ACB=B，CP=CE=，EF=2=；（3）如图 3：过点 C 作 CNAD 于点 N，cosB=45，B45，BCG90，BGC45，AEG=BCGACB=B，当AEG=B 时，A、E、G 重合，只能AGE=AEG，ADBC，GAEGBC，=，即=，解得：AE=3，EN=ANAE=1，CE=点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出AGE 是等腰三角形时只能AGE=AEG 进而求出是解题关键2.（2014四川巴中，第 31 题 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax
10、2+bx4与 x 轴交于点 A（2，0）和点 B，与 y 轴交于点 C，直线 x=1 是该抛物线的对称轴（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点 M，H 分别从点 A，B 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴同时出发相向而行，当点 M 到达原点时，点 H 立刻掉头并以每秒 个单位长度的速度向点 B 方向移动，当点 M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点 M 的直线 lx 轴，交 AC 或 BC于点 P，设点 M 的运动时间为 t 秒（t0）求点 M 的运动时间 t 与APH 的面积 S 的函数关系式，并求出 S 的最大值考点：二次函数综合题分析：（1）根据抛物线 y=ax2+bx4 与
11、 x 轴交于点 A（2，0），直线 x=1 是该抛物线的对称轴，得到方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式；（2）由于点 M 到达抛物线的对称轴时需要 3 秒，所以 t3，又当点 M 到达原点时需要 2秒，且此时点 H 立刻掉头，所以可分两种情况进行讨论：当 0t2 时，由AMPAOC，得出比例式，求出 PM，AH，根据三角形的面积公式求出即可；当2t3 时，过点 P 作 PMx 轴于 M，PFy 轴于点 F，表示出三角形 APH 的面积，利用配方法求出最值即可解答：（1）抛物线 y=ax2+bx4 与 x 轴交于点 A（2，0），直线 x=1 是该抛物线的对称轴，解得：，抛物线的解析式是：y
12、=x2x4，（2）分两种情况：当 0t2 时，PMOC，AMPAOC，=，即=，PM=2t解方程 x2x4=0，得 x1=2，x2=4，A（2，0），B（4，0），AB=4（2）=6AH=ABBH=6t，S=PMAH=2t（6t）=t2+6t=（t3）2+9，当 t=2 时 S 的最大值为 8；当 2t3 时，过点 P 作 PMx 轴于 M，作 PFy 轴于点 F，则COBCFP，又CO=OB，FP=FC=t2，PM=4（t2）=6t，AH=4+（t2）=t+1，S=PMAH=（6t）（t+1）=t2+4t+3=（t）2+，当 t=时，S 最大值为综上所述，点 M 的运动时间 t 与APQ 面
13、积 S 的函数关系式是S=，S 的最大值为点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识，综合性较强，难度适中运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键3.（2014山东威海，第 25 题 12 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过 A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）E 为抛物线上一动点，是否存在点 E 使以 A、B、E 为顶点的三角形与COB 相似？若存在，试求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线 BC 平移，使其经过点 A，且与抛物线相交于点 D
14、，连接 BD，试求出BDA的度数考点：二次函数综合题分析：（1）本题需先根据已知条件，过 C 点，设出该抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2，再根据过 A，B 两点，即可得出结果；（2）由图象可知，以 A、B 为直角顶点的ABE 不存在，所以ABE 只可能是以点 E 为直角顶点的三角形由相似关系求出点 E 的坐标；（3）如图 2，连结 AC，作 DEx 轴于点 E，作 BFAD 于点 F，由 BCAD 设BC 的解析式为 y=kx+b，设 AD 的解析式为 y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出 D 坐标，由勾股定理就可以求出 BD 的值，由勾股定理的逆定理就可以得出AC
15、B=90，由平行线的性质就可以得出CAD=90，就可以得出四边形 ACBF 是矩形，就可以得出 BF 的值，由勾股定理求出 DF 的值，而得出 DF=BF 而得出结论解答：解：（1）该抛物线过点 C（0，2），可设该抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2将 A（1，0），B（4，0）代入，得，解得，抛物线的解析式为：y=x2+x+2（2）存在由图象可知，以 A、B 为直角顶点的ABE 不存在，所以ABE 只可能是以点 E为直角顶点的三角形在 RtBOC 中，OC=2，OB=4，BC=在 RtBOC 中，设 BC 边上的高为 h，则 h=24，h=BEACOB，设 E 点坐标为（x，y），=，y
16、=2将 y=2 代入抛物线 y=x2+x+2，得 x1=0，x2=3当 y=2 时，不合题意舍去E 点坐标为（0，2），（3，2）（3）如图 2，连结 AC，作 DEx 轴于点 E，作 BFAD 于点 F，BED=BFD=AFB=90设 BC 的解析式为 y=kx+b，由图象，得，yBC=x+2由 BCAD，设 AD 的解析式为 y=x+n，由图象，得0=（1）+nn=，yAD=x x2+x+2=x，解得：x1=1，x2=5D（1，0）与 A 重合，舍去，D（5，3）DEx 轴，DE=3，OE=5由勾股定理，得 BD=A（1，0），B（4，0），C（0，2），OA=1，OB=4，OC=2AB=
17、5在 RtAOC 中，RtBOC 中，由勾股定理，得AC=，BC=2，AC2=5，BC2=20，AB2=25，AC2+BC2=AB2ACB 是直角三角形，ACB=90BCAD，CAF+ACB=180，CAF=90CAF=ACB=AFB=90，四边形 ACBF 是矩形，AC=BF=，在 RtBFD 中，由勾股定理，得 DF=，DF=BF，ADB=45点评：本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式和一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键4.（2014山东枣庄，第 25 题 10 分）如图，在平
18、面直角坐标系中，二次函数 y=x22x3的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 D 为抛物线的顶点，点 P 是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点 D 重合）（1）求OBC 的度数；（2）连接 CD、BD、DP，延长 DP 交 x 轴正半轴于点 E，且 SOCE=S四边形OCDB，求此时 P 点的坐标；（3）过点 P 作 PFx 轴交 BC 于点 F，求线段 PF 长度的最大值考点：二次函数综合题分析：（1）由抛物线已知，则可求三角形 OBC 的各个顶点，易知三角形形状及内角（2）因为抛物线已固定，则 S四边形OCDB固定，对于坐标系中的不规则图形常用分割求和
19、、填补求差等方法求面积，本图形过顶点作 x 轴的垂线及可将其分为直角梯形及直角三角形，面积易得由此可得 E 点坐标，进而可求 ED直线方程，与抛物线解析式联立求解即得 P 点坐标（3）PF 的长度即为 yFyP由 P、F 的横坐标相同，则可直接利用解析式作差由所得函数为二次函数，则可用二次函数性质讨论最值，解法常规解答：解：（1）y=x22x3=（x3）（x+2），由题意得，A（1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）在 RtOBC 中，OC=OB=3，OBC 为等腰直角三角形，OBC=45（2）如图 1，过点 D 作 DHx 轴于 H，此时 S四边形OCDB=S梯形OCDH+SHB
20、D，OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，S梯形OCDH=（OC+HD）OH=，SHBD=HDHB=4，S四边形OCDB=SOCE=S四边形OCDB=，OE=5，E（5，0）设 lDE：y=kx+b，D（1，4），E（5，0），解得，lDE：y=x5DE 交抛物线于 P，设 P（x，y），x22x3=x5，解得 x=2 或 x=1（D 点，舍去），xP=2，代入 lDE：y=x5，P（2，3）（3）如图 2，设 lBC：y=kx+b，B（3，0），C（0，3），解得，lBC：y=x3F 在 BC 上，yF=xF3，P 在抛物线上，yP=xP22xP3，线段 PF 长度=yFyP=xF3（xP
21、22xP3），xP=xF，线段 PF 长度=xP2+3xP=（xP）2+，（1xP3），当 xP=时，线段 PF 长度最大为 点评：本题考查了抛物线图象性质、已知两点求直线解析式、直角三角形性质及二次函数最值等基础知识点，题目难度适中，适合学生加强练习5.（2014山东潍坊，第 22 题 12 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE、BF，交点为 G(1)求证：AEBF；(2)将BCF 沿 BF 对折，得到BPF（如图 2），延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q，求 sinBQP的值；(3)将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转，使边 AB 正好落在
22、 AE 上，得到AHM（如图 3），若AM 和 BF 相交于点 N，当正方形 ABCD 的面积为 4 时，求四边形 GHMN 的面积考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：（1）由四边形 ABCD 是正方形，可得ABE=BCF=90，AB=BC，又由 BE=CF，即可证得ABEBCF,可得BAE=CBF，由ABF+CBF=900可得ABF+BAE=900，即 AEBF；（2）由BCFBPF,可得 CF=PF,BC=BP,BFE=BFP，由 CDAB 得BFC=ABF,从而 QB=QF，设 PF 为 x,则 BP 为 2x,在 RtQBF 中可求 Q
23、B 为25x，即可求得答案；（3）由2)(AMANAHMAGN可求出AGN 的面积，进一步可求出四边形 GHMN 的面积解答：(1)证明：E、F 分别是正方形 ABCD 边 BC、CD 的中点，CF=BE，RtABERtBCFBAE=CBF又BAE+BEA=900，CBF+BEA=900，BGE=900，AEBF(2)根据题意得：FP=FC，PFB=BFC，FPB=900，CDAB,CFB=ABF，ABF=PFBQF=QB令 PF=k（kO），则 PB=2k，在 RtBPQ 中，设 QB=x，x2=(xk)2+4k2,x=25k，sinBQP=54252kkQPBP(3)由题意得：BAE=EA
24、M,又 AEBF,AN=AB=2,AHM=900,GN/HM,2)(AMANAHMAGN54)52(12AGN 四边形 GHMN=SAHMSAGN=1 一54=54答：四边形 GHMN 的面积是54.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用6.（2014山东潍坊，第 24 题 13 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（aO）与 y 轴交于点 C(O，4)，与 x 轴交于点 A 和点 B，其中点 A 的坐标为（2,0），抛物线的对称轴 x=1 与抛物线交于点
25、D，与直线 BC 交于点 E(1)求抛物线的解析式；(2)若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积为 17，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于 DE 的一条动直线 Z 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标。考点：二次函数综合题分析：（1）把三点坐标代入函数式，列式求得 a，b，c 的值，即求出解析式；（2）设存在点 K，使得四边形 ABFC 的面积为 17，根据点 K 在抛物线 y=x2+2x+3 上设点 K的坐标为：（x，x2+2x+
26、3），根据 S四边形ABKC=SAOC+S梯形ONKC+SBNK得到有关 x 的一元二次方程求出 x 即可.（3）将 x=1 代入抛物线解析式，求出 y 的值，确定出 D 坐标，将 x=1 代入直线 BC 解析式求出 y 的值，确定出 E 坐标，求出 DE 长，将 x=m 代入抛物线解析式表示出 F 纵坐标，将 x=m代入直线 BC 解析式表示出 P 纵坐标，两纵坐标相减表示出线段 PQ，由 DE 与 QP 平行，要使四边形 PEDQ 为平行四边形，只需 DE=PQ，列出关于 m 的方程，求出方程的解得到 m 的值，检验即可解：(1)由抛物线经过点 C(O，4)可得 c=4,对称轴 x=ab2
27、=1，b=2a，又抛物线过点 A（一 2，O）0=4a2b+c，由 解得：a=21,b=1,c=4所以抛物线的解析式是 y=21x+x+4(2)假设存在满足条件的点 F，如图如示，连接 BF、CF、OF过点 F 分别作 FHx 轴于 H,FGy 轴于 G设点 F 的坐标为（t,21t2+t+4），其中 Ot4，则 FH=21t2+t+4FG=t,OBF=21OB.FH=214（21t2+4t+4）=一 t2+2t+8,SOFC=21OC.FC=214t=2tS 四边形 ABFCSAOC+SOBF+SOFC=4t2+2t+8+2t=t2+4t+12令一 t2+4t+12=17，即 t24t+5=
28、0，则=(一 4)245=一 40,方程 t24t+5=0 无解，故不存在满足条件的点 F(3)设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（kO），又过点 B(4,0，),C(0,4)所以404bbk，解得：41bk，所以直线 BC 的解析式是 y=一 x+4 由 y=21x2+4x+4=一21（x 一 1)2+29，得 D（1，29），又点 E 在直线 BC 上，则点 E(1，3)，于是 DE=29一 3=23.若以 D.E.P.Q 为顶点的四边形是平行四边形，因为 DEPQ，只须 DE=PQ,设点 P 的坐标是（m，一 m+4），则点 Q 的坐标是（m，一21t2+m+4）当 Om4 时，PQ
29、=（一21t2+m+4）一（一 m+4）=一21m2+2m由一21m2+2m=23，解得：m=1 或 3当 m=1 时，线段 PQ 与 DE 重合,m=1 舍去,m=3，此时 P1(3,1)当 m4 时，PQ=（一 m+4）一（一21m2+m+4)=21m22m,由21m22m=23，解得 m=27，经检验适合题意，此时 P2（2+7，2 一7），P3（2 一7，2+7）综上所述，满足条件的点 P 有三个，分别是 P1(3,1)，P2（2+7，27），P3（27，2 十7）.点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的
30、判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题7.（2014山东烟台，第 26 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的顶点 A，C 分别在 y 轴，x 轴上，ACB=90，OA=，抛物线 y=ax2axa 经过点 B（2，），与 y 轴交于点 D（1）求抛物线的表达式；（2）点 B 关于直线 AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长 BA 交抛物线于点 E，连接 ED，试说明 EDAC 的理由考点：二次函数综合题.分析：（1）把点 B 的坐标代入抛物线的表达式即可求得（2）通过AOCCFB 求得 O
31、C 的值，通过OCDFCB 得出 DC=CB，OCD=FCB，然后得出结论（3）设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，求得与抛物线的交点 E 的坐标，然后通过解三角函数求得结果解答：（1）把点 B 的坐标代入抛物线的表达式，得=a222aa，解得 a=，抛物线的表达式为 y=x2x（2）连接 CD，过点 B 作 BFx 轴于点 F，则BCF+CBF=90ACB=90，ACO+BCF=90，ACO=CBF，AOC=CFB=90，AOCCFB，=，设 OC=m，则 CF=2m，则有=，解得 m=m=1，OC=OF=1，当 x=0 时 y=，OD=，BF=OD，DOC=BFC=90，OCDFCB，
32、DC=CB，OCD=FCB，点 B、C、D 在同一直线上，点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，点 B 关于直线 AC 的对称点在抛物线上（3）过点 E 作 EGy 轴于点 G，设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，则，解得 k=，y=x+，代入抛物线的表达式x+=x2x解得 x=2 或 x=2，当 x=2 时 y=x+=（2）+=，点 E 的坐标为（2，），tanEDG=，EDG=30tanOAC=，OAC=30，OAC=EDG，EDAC点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握8.（2014 山东济南，第 26 题，9 分
33、）如图 1，反比例函数)0(xxky的图象经过点 A（32，1），射线 AB 与反比例函数图象交与另一点 B（1，a），射线 AC 与y轴交于点 C，yADBAC,75轴，垂足为 D（1）求k的值；（2）求DACtan的值及直线 AC 的解析式；（3）如图 2，M 是线段 AC 上方反比例函数图象上一动点，过 M 作直线xl 轴，与 AC 相交于 N，连接 CM，求CMN面积的最大值第 26 题图 1ABCDOxy第 26 题图 2ABCDOxyMNl【解析】（1）由反比例函数)0(xxky的图象经过点 A（32，1），得32132k；（2）由反比例函数)0(32xxy得点 B 的坐标为（1，
34、32），于是有30,45DACBAD，33tanDAC，AD=32，则由33tanDAC可得 CD=2，C 点纵坐标是-1，直线 AC 的截距是-1，而且过点 A（32，1）则直线解析式为133xy（3）设点 M 的坐标为)1)(,32(mmm，则点 N 的坐标为)12,32(mm，于是CMN面积为)12(3221mmmSCMN)422(893)112(322mmm，所以，当4m时，CMN面积取得最大值8399（2014山东聊城，第 25 题，12 分）如图，在平面直角坐标系中，AOB 的三个顶点的坐标分别是 A（4，3），O（0，0），B（6，0）点 M 是 OB 边上异于 O，B 的一动点
35、，过点M 作 MNAB，点 P 是 AB 边上的任意点，连接 AM，PM，PN，BN设点 M（x，0），PMN 的面积为 S（1）求出 OA 所在直线的解析式，并求出点 M 的坐标为（1，0）时，点 N 的坐标；（2）求出 S 关于 x 的函数关系式，写出 x 的取值范围，并求出 S 的最大值；（3）若 S：SANB=2：3 时，求出此时 N 点的坐标考点：一次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）作 AGOB 于 G，NHOB 于 H，利用勾股定理先求得 AG 的长，然后根据三角形相似求得 NH：AG=OM：OB，得出 NH 的长，因为MBN 的面积=PMN 的面积=S，即
36、可求得 S 与 x 的关系式（3）因为AMB 的面积=ANB 的面积=SANB，NMB 的面积=NMP 的面积=S，所以 NH；AG=2：3，因为 ON：OA=NH：AG，OM：OB=ON：OA，所以 OM：OB=ON：OA=2：3，进而求得 M 点的坐标，求得 MN 的解析式，然后求得直线 MN 与直线 OA的交点即可解答：解：（1）设直线 OA 的解析式为 y=k1x，A（4，3），3=4k1，解得 k1=，OA 所在的直线的解析式为：y=x，同理可求得直线 AB 的解析式为；y=x+9，MNAB，设直线 MN 的解析式为 y=x+b，把 M（1，0）代入得：b=，直线 MN 的解析式为
37、y=x+，解，得，N（，）（2）如图 2，作 NHOB 于 H，AGOB 于 G，则 AG=3MNAB，MBN 的面积=PMN 的面积=S，OMNOBA，NH：AG=OM：OB，NH：3=x：6，即 NH=x，S=MBNH=（6x）x=（x3）2+（0 x6），当 x=3 时，S 有最大值，最大值为（3）如图 2，MNAB，AMB 的面积=ANB 的面积=SANB，NMB 的面积=NMP 的面积=SS：SANB=2：3，MBNH：MBAG=2：3，即 NH；AG=2：3，AGOB 于 G，NHOB，NHAG，ON：OA=NH：AG=2：3，MNAB，OM：OB=ON：OA=2：3，OA=6，=
38、，OM=4，M（4，0）直线 AB 的解析式为；y=x+9，设直线 MN 的解析式 y=x+b代入得：0=4+b，解得 b=6，直线 MN 的解析式为 y=x+6，解得，N（，2）点评：本题考查了待定系数法求解析式，直线平行的性质，三角形相似判定及性质，同底等高的三角形面积相等等，相等面积的三角形的转化是本题的关键10.（2014浙江杭州，第 21 题，10 分）在直角坐标系中，设 x 轴为直线 l，函数 y=x，y=x 的图象分别是直线 l1，l2，圆 P（以点 P 为圆心，1 为半径）与直线 l，l1，l2中的两条相切例如（，1）是其中一个圆 P 的圆心坐标（1）写出其余满足条件的圆 P
39、的圆心坐标；（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长考点：圆的综合题；切线长定理；轴对称图形；特殊角的三角函数值专题：计算题；作图题分析：（1）对圆 P 与直线 l 和 l2都相切、圆 P 与直线 l 和 l1都相切、圆 P 与直线 l1和 l2都相切三种情况分别考虑，利用切线长定理和特殊角的三角函数值即可求出点 P 的坐标（2）由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，它的所有的边都相等 只需求出其中的一条边就可以求出它的周长解答：解：（1）若圆 P 与直线 l 和 l2都相切，当点 P 在第四象限时，过点 P 作 PHx 轴，垂足为 H，连接 OP，
40、如图 1 所示设 y=x 的图象与 x 轴的夹角为当 x=1 时，y=tan=60由切线长定理得：POH=（18060）=60PH=1，tanPOH=OH=点 P 的坐标为（，1）同理可得：当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为（，1）；当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（，1）；若圆 P 与直线 l 和 l1都相切，如图 2 所示同理可得：当点 P 在第一象限时，点 P 的坐标为（，1）；当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为（，1）；当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（，1）；当点 P 在第四象限时，点 P 的坐标为（，1）若圆 P 与直线 l1和 l2都相切，如图 3 所
41、示同理可得：当点 P 在 x 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为（，0）；当点 P 在 x 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（，0）；当点 P 在 y 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为（0，2）；当点 P 在 y 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（0，2）综上所述：其余满足条件的圆 P 的圆心坐标有：（，1）、（，1）、（，1）、（，1）、（，1）、（，1）、（，1）、（，0）、（，0）、（0，2）、（0，2）（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图 4 所示由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等该图形的周长=12（）=8点评：本题考查
42、了切线长定理、特殊角的三角函数值、对称性等知识，考查了作图的能力，培养了学生的审美意识，是一道好题11.（2014遵义 27（14 分）如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0），B（1，0），与 y 轴交于点 C若点 P，Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点 C 的坐标；（2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E，使得以 A，E，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由
43、（3）当 P，Q 运动到 t 秒时，APQ 沿 PQ 翻折，点 A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定此时四边形 APDQ 的形状，并求出 D 点坐标考点：二次函数综合题分析：（1）将 A，B 点坐标代入函数 y=x2+bx+c 中，求得 b、c，进而可求解析式及 C 坐标（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ借助垂直平分线，画圆易得 E 大致位置，设边长为 x，表示其他边后利用勾股定理易得 E 坐标（3）注意到 P，Q 运动速度相同，则APQ 运动时都为等腰三角形，又由 A、D 对称，则 AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形利用菱形对边平行且相等等性质
44、可用 t 表示 D 点坐标，又 D 在 E 函数上，所以代入即可求 t，进而 D 可表示解答：解：（1）二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0），B（1，0），解得，y=x2 x4C（0，4）（2）存在如图 1，过点 Q 作 QDOA 于 D，此时 QDOC，A（3，0），B（1，0），C（0，4），O（0，0）AB=4，OA=3，OC=4，AC=5，AQ=4QDOC，QD=，AD=作 AQ 的垂直平分线，交 AO 于 E，此时 AE=EQ，即AEQ 为等腰三角形，设 AE=x，则 EQ=x，DE=ADAE=x，在 RtEDQ 中，（x）2+（）2=x2，解得 x=，O
45、AAE=3=，E（，0）以 Q 为圆心，AQ 长半径画圆，交 x 轴于 E，此时 QE=QA=4，ED=AD=，AE=，OAAE=3=，E（，0）当 AE=AQ=4 时，OAAE=34=1，E（1，0）综上所述，存在满足条件的点 E，点 E 的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）（3）四边形 APDQ 为菱形，D 点坐标为（，）理由如下：如图 2，D 点关于 PQ 与 A 点对称，过点 Q 作，FQAP 于 F，AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，AP=AQ=QD=DP，四边形 AQDP 为菱形，FQOC，AF=，FQ=，Q（3，），DQ=AP=t，D（3t，），D 在二次函数 y=x2
46、x4 上，=（3 t）2（3 t）4，t=，或 t=0（与 A 重合，舍去），D（，）点评：本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目12.（2014十堰 25（12 分）已知抛物线 C1：y=a（x+1）22 的顶点为 A，且经过点 B（2，1）（1）求 A 点的坐标和抛物线 C1的解析式；（2）如图 1，将抛物线 C1向下平移 2 个单位后得到抛物线 C2，且抛物线 C2与直线 AB 相交于 C，D 两点，求 SOAC：SOAD的值；（3）如图 2，若过 P（4，0），Q（0，2）的直线为 l，点 E 在（2）中抛
47、物线 C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线 m 过点 C 和点 E问：是否存在直线 m，使直线 l，m 与 x 轴围成的三角形和直线 l，m 与 y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 m 的解析式；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性专题：压轴题；存在型分析：（1）由抛物线的顶点式易得顶点 A 坐标，把点 B 的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题（2）根据平移法则求出抛物线 C2的解析式，用待定系数法求出直线 AB 的解析式，再通过解方程组求出抛物线 C2与直线 AB 的交点 C、D
48、的坐标，就可以求出 SOAC：SOAD的值（3）设直线 m 与 y 轴交于点 G，直线 l，m 与 x 轴围成的三角形和直线 l，m 与 y 轴围成的三角形形状、位置随着点 G 的变化而变化，故需对点 G 的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点 G 的坐标，从而求出相应的直线 m 的解析式解答：解：（1）抛物线 C1：y=a（x+1）22 的顶点为 A，点 A 的坐标为（1，2）抛物线 C1：y=a（x+1）22 经过点 B（2，1），a（2+1）22=1解得：a=1抛物线 C1的解析式为：y=（x+1）22（2）抛物线 C2是由抛物线 C1向下平
49、移 2 个单位所得，抛物线 C2的解析式为：y=（x+1）222=（x+1）24设直线 AB 的解析式为 y=kx+bA（1，2），B（2，1），解得：直线 AB 的解析式为 y=x3联立解得：或C（3，0），D（0，3）OC=3，OD=3过点 A 作 AEx 轴，垂足为 E，过点 A 作 AFy 轴，垂足为 F，A（1，2），AF=1，AE=2SOAC：SOAD=（OCAE）：（ODAF）=（32）：（31）=2SOAC：SOAD的值为 2（3）设直线 m 与 y 轴交于点 G，与直线 l 交于点 H，设点 G 的坐标为（0，t）当 ml 时，CGPQOCGOPQ=P（4，0），Q（0，2）
50、，OP=4，OQ=2，=OG=t=时，直线 l，m 与 x 轴不能构成三角形t=0 时，直线 m 与 x 轴重合，直线 l，m 与 x 轴不能构成三角形t0 且 t t0 时，如图 2所示PHCPQG，PHCQGH，PHCPQG，PHCQGH当PHC=GHQ 时，PHC+GHQ=180，PHC=GHQ=90POQ=90，HPC=90PQO=HGQPHCGHQQPO=OGC，tanQPO=tanOGC=OG=6点 G 的坐标为（0，6）设直线 m 的解析式为 y=mx+n，点 C（3，0），点 G（0，6）在直线 m 上，解得：直线 m 的解析式为 y=2x6，联立，解得：或E（1，4）此时点