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1、趋势曲线模型预测第1页，共37页，编辑于2022年，星期二第一节 多次式曲线模型预测法 第三章所谈及的回归分析，是在已知统计资料基础上，利用线性或非线性回归技术进行模拟，利用趋势外推进行预测，而模型的项数均为常数项加一次项或非线性构成。事实上，若采用多项式进行模拟，也是一种行之有效的方法。第2页，共37页，编辑于2022年，星期二一正规方程组所谓多项式回归，就是已知统计资料给出，当预测变量y与自变量x可用一个多项式进行模拟时，利用一元非线性回归技术，来作出模拟并用于预测。设实际值为（xi,yi）,为方便多项式次数测定，数据选取xixi1=x=C，模型模拟值为(xi,)就有=f(x)=a0+a1
2、x+a2x+amx.显然，这是一个m次多项式，同时假定已知数据为n组：(xi,yi)i=1,2,n.2m第3页，共37页，编辑于2022年，星期二假定y与x是相关的，对应任意的yi，都有yi且ei=yi由回归分析，最佳拟合为Q=ei2=Qmin利用最小二乘法，对系数求偏导数，有(Q/ak)=02ei(ei)ak=0其中k=0,1,2,3,m因为ei=yiyi=yia0a1xakxikamxim所以有：(yia0a1x1-amxim)(-xik)=0得yixik=a0 xik+a1xi(k+1)+amxik+m第4页，共37页，编辑于2022年，星期二l令l第5页，共37页，编辑于2022年，星
3、期二可建立m+1个方程组成的正规方程组：s0a0+s1a1+smam=u0(k=0)s1a0+s2a1+sm+1am=u1(k=1):sma0+sm+1a1+.+s2mam=um(k=m)记为矩阵式：s0s1s2sma0u0s1s2s3sm+1a1u2smsm+1s0s2mamum记为S记为A记为U则：U=SAA=S(-1)U=1/|S|S*U有唯一解，故a0,a1,am可唯一求出，于是预测方程可以求得。2004/11/1=第6页，共37页，编辑于2022年，星期二二、案例某地1972-1979工业产值统计资料如表，企业多项式模型，并预测1980、1981年工业产值年1972197319741
4、9751976197719781979序号12345678产值7.548.768.239.9210.6511.6512.5613.78解：（1）描点，观察，做趋势图。由图所示，用二次曲线描述合理。即预测模型可取为 y=a0+a1x+a2x2第7页，共37页，编辑于2022年，星期二（2）由正规方程组U=SA，求A=S(-1)USk=Xiki=1,2,8.K=0,1,2,3,4.S0=xi=8;S1=xi=36;S2=xi=204;S3=xi=1296;S4=xi=8772836204 S=3620412962041296877201234第8页，共37页，编辑于2022年，星期二第9页，共37
5、页，编辑于2022年，星期二836204-183.09A=S(-1)U=362041296410.74204129687722458.381.9464-0.90130.089383.09=-0.91070.5100-0.0536410.740.0893-0.05360.0062458.387.1602=0.44470.0480故预测模型y=7.1602+0.4447x+0.0480 x2第10页，共37页，编辑于2022年，星期二1980:x=9y9=7.1602+0.44479+0.048092=15.05051981:x=10:y10=7.1602+0.444710+0.0480102=1
6、6.4072绝对误差相对误差与实际值比较:1980年为14.770。28091。9%1981年为15.640。7672-4。9%第11页，共37页，编辑于2022年，星期二三、拟合多项式的次数确定1、作图法利用实际数据，选择合适坐标，采用图上打点，观察打点曲线，并选择一条比较合用的多项式趋势线。若趋势线出现拐点：由拐点定义，若出现一个拐点，至少应用3次多项式拟合；若出现k个拐点，至少应用k+2次多项式拟合。第12页，共37页，编辑于2022年，星期二2.差分判断法差分定义：当自变量呈等距分布时，即xi=xi-1+x则yi=yi yi-1=f(xi)-f(xi-1)称为当x从xi-1变到xi时,
7、yi的一阶差分。所有更高阶的差分由进一步的差分得到:二阶差分2yi=(yi)=(yi yi-1)=yi-yi-1 =(yi yi-1)-(yi-1 yi-2)=yi-2 yi-1+yi-2 第13页，共37页，编辑于2022年，星期二可类推至yi的k阶差分 k yi=(k-1 yi)=差分对多项式判断中的应用例：含线性趋势确定性时间序列数据（yt=2t)t012345yt0246810一阶差分22222二阶差分0000第14页，共37页，编辑于2022年，星期二例:二次曲线y=ax2+bx+cx012345ytca+b+c4a+2b+c9a+3b+c16a+4b+c25a+5b+c一阶差分a+
8、b3a+b5a+b7a+b9a+b二阶差分2a2a2a2a三阶差分000由此可得出判据若一批自变量为等距分布的数据，经n次差分之后，形成常数或差分后在某一定值上下波动，则可用n次多项式拟合此批数据变动趋势。3.在利用数据确定曲线时，要排除偶然发生的那一类数据。第15页，共37页，编辑于2022年，星期二第二节 成长曲线预测模型一.Gompertz曲线成长曲线主要应用两个原则：相似性原则与延续性原则决定过去技术发展的因素，很大程度的也将决定未来的发展，条件是不变的或变化不大的；发展过程属于渐进的，影响过程的规律不发生突变；增长曲线即生命周期与生物生长过程相似孕育出生成长成熟老化死亡发明定型推广成
9、熟老化淘汰第16页，共37页，编辑于2022年，星期二1.经验公式,有三个系数K，a,b(双层指数)取常用对数lgyt=lgK+btlga 2.参数k,a,b的确定（三和法）假定有若干原始数据，取t=1,t=1,2,3,.3n且满足即：lgyt=lgK+btlga第17页，共37页，编辑于2022年，星期二排列成表如下t123nlgytlgy1lgy2lgy3lgynn+1n+2n+32nlgyn+1lgyn+2lgyn+3lgy2n2n+12n+22n+33nlgy2n+1lgy2n+2lgy2n+3lgy3n共有3n个数据，平均分为3组，第一组第二组第三组第18页，共37页，编辑于2022
10、年，星期二第一组：求和：=nlgK+(b1+b2+bn)lga第二组：求和：lgyt=nlgK+(bn+1+bn+2+b2n)lga第三组：求和:lgyt=nlgK+(b2n+1+b2n+2+b3n)lga-:lgyt-lgyt=bn(b+b1+b2+bn)(bn-1)lga4-:lgyt-lgyt=(b+b1+b2+bn)(bn-1)lga第19页，共37页，编辑于2022年，星期二第20页，共37页，编辑于2022年，星期二3.例：某厂产品销售总额历史数据：（万元）年份(t)196819691970197119721973yt407418432447463485logyt2.612.622
11、.642.652.672.69年份(t)197419751976197719781979yt508535566602644694logyt2.712.732.752.782.812.84年份(t)198019811982198319841985yt734826912101811481311logyt2.882.922.963.013.063.12第21页，共37页，编辑于2022年，星期二上述数据的模型识别，一般采用作图法或计算机模拟。由上述公式，可求出K=305,a=1.3;b=1.1yt=预测1988年销售额：t=21,y=2125.7(万元)第22页，共37页，编辑于2022年，星期二4
12、.关于Gompert曲线的讨论 .a1a)0b1t0,ytKat,ytt-ytK细胞分裂核爆后继无抑制上升t0,ytKat,ytt+ytK第23页，共37页，编辑于2022年，星期二动植物生命衰减.a1a)0b1t-yt0t+ytKt0ytKa第24页，共37页，编辑于2022年，星期二以上“K”称为最大步长值，或饱和点值如：家电生产及销售，农田亩产，机器工作效率等，耐用消费品Gompert曲线是双层指数，又称双指数模型。第25页，共37页，编辑于2022年，星期二二.Logistic曲线 该曲线为美国生物学家，人口统计学家R.Pearl博士通过利用微分方程表示生物生长速度，求解得到的公式，为
13、Logistic增长曲线。1.数学模型微分方程形式为：dy/dt=ky(K-y)其中k,Ko常数且0yk,为可分离变量一阶微分方程。解出为yt=K/1+ae(-bt)其中 a=e-ck（C为积分常数）b=kK书中公式为是变形的一种。(1/2005/4/04)第26页，共37页，编辑于2022年，星期二当t 时y=K,为极限参数,称饱和值.曲线为改变a只影响曲线位置变动而不改变形状(a位置参数)改变b只影响曲线形状而不改变位置.(b形状参数)此方法,80年代曾用于闭路电视发展预测，结果1990年美家庭将有63%采用,2000年89.5%,2010年97.17%,使美联邦通讯委员会从禁止到支持.t
14、ytt=0n2ny0y1y2y3第27页，共37页，编辑于2022年，星期二二.参数估计解法1:三点法,取已知三点;第一点为起点t=0,另两点分别为t=n和t=2n,即从时间上均匀分段.设曲线序列始点选定为y|t=0=y0 y0=k/(1+a)中点:y|t=n=y1,y1=k/1+ae-bn终点:y|t=2n=y2,y2=k/1+ae-2bn由式,推出a=(K-y0)/y0由式:y11+ae-bn=K得 e-bn=(K-y0)/ay1 有b=lna+lny1ln(K-y1)/n第28页，共37页，编辑于2022年，星期二将公式中解出e-bn及公式代入公式,得:y21+(K-y1)2/(K-y0
15、)y12/y0=K整理得出K=y0y12+y12y2-2y0y1y2/y12-y0y2.6公式三式共同组成参数估计公式.第29页，共37页，编辑于2022年，星期二解法2:线性回归法,前提是假定K已知公式变形:y=K/1+ae-btK/y=1+ae-bt)ae-bt=K/y-1取自然对数lnabt=ln(K/y-1)令ln(K/y-1)=y,lna=a0,b=a1则构成线性方程y=a0+a1t利用一元线性回归方法,解出y,进而求出预测值y解法3:为近似积分法,见书介绍解法4:为三和法第30页，共37页，编辑于2022年，星期二三.举例:我国家用缝纫机市场需求量转折点预测19701982年统计资
16、料年份:197019711972197319741975普及率%5.496.6767.9109.12510.54412.029197619771978197919801981198213.69415.36317.28219.45922.98027.05431.227由于欧洲市场已饱和,可参考统计数据(饱和值K)同名日英法苏芬美饱和值(%)803547.61962.5030.30371.429据专家估计:中国由于广阔的农村市场,饱和率可达70%第31页，共37页，编辑于2022年，星期二解:yt=K/1+ae-bt且K=70%用回归分析1)线性化及预测方程：yt=a0+a1t式中a0=lna,a
17、1=-b,yt=ln(K/yt-1)K,yt为已知,yi为已知yi=18.1174,y=1.39365,yi=30.96707n=13,t=7.0,ti=819,tiyi=76.551922第32页，共37页，编辑于2022年，星期二利用线性回归中求参数公式:a0=y-bx=y-bt及(1/n)xiyi-x(1/n)yi(1/n)tiyi-t(1/n)y(1/n)xi-x(1/n)xi(1/n)ti-t(1/n)ti得a0=2.453620a=ea0=11.6304a0=-0.176662b=-a=0.176662相关系数nxiyi-xiyinxi2(xi)nyi2(yi)=0.9997yt=
18、70/1+11.6304e-0.176662t%=a1=r=2222第33页，共37页，编辑于2022年，星期二2)求转折点y=K/(1+ae-bt)=-K-bae-bt/(1+ae-bt)2=Kabe-bt/(1+ae-bt)2dy/dx=Kbae-bt(ae-bt-1)/(1+ae-bt)3222第34页，共37页，编辑于2022年，星期二令y”=0,a=ebt,bt=lnat=(lna)/b即转折点为(lna)/b,K/2t=(lna)/b=ln11.6304/0.17666213.8914y=K/2=70/2(%)即:当t=14,即1983年为缝纫机市场需求量转折点,1983年,我国缝纫机普及率为35%.第35页，共37页，编辑于2022年，星期二研究转折点原因:由于持续增长率将开始下降,如无其他原因,将逐步趋于饱和.a)生产增长速度亦应下降,生产规模不要再扩大;b)库存尽可能不要积压;c)应重点抓住更新如促销手段,增强竞争力;d)加紧试制新品,以便及时转向.第36页，共37页，编辑于2022年，星期二三.转折点公式:1.对公式yt=K/1+ae-bt,有(lna)/b,k/22.对公式yt=1/(k+abt),有 (lnklna)/ln b,1/(2k)2004/11/8第37页，共37页，编辑于2022年，星期二