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1、现代数字电路与逻辑现代数字电路与逻辑设计设计现在学习的是第1页，共83页 无论数字信号还是模拟信号都有传输通路。在电子电路中，人们将产生、变无论数字信号还是模拟信号都有传输通路。在电子电路中，人们将产生、变换、传送、处理模拟信号的电子电路叫做模拟电路，将产生、存储、变换、处换、传送、处理模拟信号的电子电路叫做模拟电路，将产生、存储、变换、处理、传送数字信号的电子电路叫做数字电路。数字电路不仅能够完成算术运算，理、传送数字信号的电子电路叫做数字电路。数字电路不仅能够完成算术运算，而且能够完成逻辑运算，具有逻辑推理和逻辑判断的能力，因此被称为数字逻而且能够完成逻辑运算，具有逻辑推理和逻辑判断的能力
2、，因此被称为数字逻辑电路或逻辑电路。数字电路经历了由电子管和半导体分立元件组成的分立器辑电路或逻辑电路。数字电路经历了由电子管和半导体分立元件组成的分立器件电路，发展成在微小的芯片上集成半导体器件及无源器件的集成电路。当前件电路，发展成在微小的芯片上集成半导体器件及无源器件的集成电路。当前数字电路正向着大规模、低功耗、高速度、可编程、可测试和多值化方向发展，数字电路正向着大规模、低功耗、高速度、可编程、可测试和多值化方向发展，因而提高了数字逻辑的可靠性，缩小了系统的尺寸体积，更有利于大批量生产，因而提高了数字逻辑的可靠性，缩小了系统的尺寸体积，更有利于大批量生产，达到提高产品的技术经济指标的目
3、的。达到提高产品的技术经济指标的目的。现在学习的是第2页，共83页1.0 1.0 数制数制数制-任何数都可以用一任何数都可以用一组统组统一的符号和一的符号和规则规则表示表示.1.常用数制-二二,十十,十六十六进进制制.*计计算机的数是以器件的物理状算机的数是以器件的物理状态态来表示的来表示的,计计算机由数字器件算机由数字器件组组成成,所以全部用二所以全部用二进进制表示制表示.*因因为为目前微机都是目前微机都是8,16,328,16,32位位,都是四的整数倍都是四的整数倍,2,24 4=16=16,为为书书写写方便方便,而而广泛使用十六广泛使用十六进进制数制数.为符合人们日常习惯为符合人们日常习
4、惯,而使用十进制数而使用十进制数.2.为防止二义性,约定:*数后带数后带D D或不带任何符号或不带任何符号,则为十进制数则为十进制数;*带带B B为二进制数为二进制数;*带带H H为十六进制数为十六进制数.如:100,100,即一百即一百;100B,;100B,即四即四;100H,;100H,即即256.256.3.十,二,十六进制数间的关系如下表：现在学习的是第3页，共83页十进制十进制二进制二进制十六进制十六进制十进制十进制二进制二进制十六进制十六进制0 0000000000 08 8100010008 81 1000100011 19 9100110019 92 2001000102 2
5、101010101010A A3 3001100113 3111110111011B B4 4010001004 4121211001100C C5 5010101015 5131311011101D D6 6011001106 6141411101110E E7 7011101117 7151511111111F F现在学习的是第4页，共83页常用数制间的转换常用数制间的转换（1 1）二）二十六十六 二进制整数二进制整数十六：十六：从右（最低位）向左将二进制数从右（最低位）向左将二进制数4 4位位1 1组划分，最后一组若不足组划分，最后一组若不足4 4位则在其左边补位则在其左边补0 0，每组
6、，每组用用1 1位十六进制数表示。位十六进制数表示。如：如：1111111000111B 1111111000111B 1 1111 1100 0111B 1 1111 1100 0111B 0001 1111 1100 0111B=1FC7H 0001 1111 1100 0111B=1FC7Hu 十六十六二：二：用用4 4位二进制数代替位二进制数代替1 1位十六进制数位十六进制数如：如：3AB9H=0011 1010 1011 1001B3AB9H=0011 1010 1011 1001B现在学习的是第5页，共83页（2 2）十六）十六十十 十六十六十十：将十六进制数按权展开相加：将十六进
7、制数按权展开相加 如：如：1F3DH=161F3DH=163 31116162 2151516161 13316160 01313 =40961 =409612561525615163163113113 =4096 =409638403840484813=799713=7997 u 十进制整数十进制整数十六十六：除：除1616取余法。取余法。如：如：38947=9823H38947=9823H16 38947 316 38947 3 16 2434 2 16 2434 2 16 152 8 16 152 8 16 9 9 16 9 9 0 0余数倒序排列余数倒序排列现在学习的是第6页，共83页
8、 在客观世界中，事物的发展变化通常都是有一定因果关系的。例如，在客观世界中，事物的发展变化通常都是有一定因果关系的。例如，电灯的亮、灭决定于电源是否接通，如果接通了，电灯就会亮，否则就电灯的亮、灭决定于电源是否接通，如果接通了，电灯就会亮，否则就灭。电源接通与否是因，电灯不亮是果。这种因果关系，一般称为逻辑灭。电源接通与否是因，电灯不亮是果。这种因果关系，一般称为逻辑代数关系，反映和处理这种关系的数学工具，就是逻辑代数。和普通代代数关系，反映和处理这种关系的数学工具，就是逻辑代数。和普通代数比较起来，在逻辑代数中，虽然也用英文字母表示变量，但情况要简数比较起来，在逻辑代数中，虽然也用英文字母表
9、示变量，但情况要简单得多。在二值逻辑中，变量取值不是单得多。在二值逻辑中，变量取值不是1 1就是就是0 0，没有第三种可能。而，没有第三种可能。而且这里的且这里的1 1和和0 0并不是表示数值的大小，它们所代表的是两种不同的并不是表示数值的大小，它们所代表的是两种不同的逻辑状态。例如，用逻辑状态。例如，用1 1和和0 0分别表示一件事的是与非、真与假，电压的分别表示一件事的是与非、真与假，电压的高与低，电流的有与无，一个开关的开通与关断，一盏电灯的亮与灭高与低，电流的有与无，一个开关的开通与关断，一盏电灯的亮与灭等等。等等。1.1 1.1 逻辑运算与逻辑电路逻辑运算与逻辑电路现在学习的是第7页
10、，共83页1.1.1 1.1.1 逻辑运算逻辑运算 在逻辑代数中，基本逻辑运算有与、在逻辑代数中，基本逻辑运算有与、或、非三种，常用的复合逻辑运算是或、非三种，常用的复合逻辑运算是与非、或非、与或非、异或等。与非、或非、与或非、异或等。1.1.三种基本逻辑运算三种基本逻辑运算（1）与逻辑关系）与逻辑关系 当决定一件事情的各个条件全部具备时，这当决定一件事情的各个条件全部具备时，这件事情才会发生，这样的因果关系，称之为与件事情才会发生，这样的因果关系，称之为与逻辑关系。只有开关逻辑关系。只有开关A A与开关与开关B B都合上时，灯才都合上时，灯才会亮，所以对灯亮这件事情来说，开关会亮，所以对灯亮
11、这件事情来说，开关A A和开关和开关B B闭合是与的逻辑关系。闭合是与的逻辑关系。现在学习的是第8页，共83页（2 2）或逻辑关系）或逻辑关系当决定一件事情的各个条件中，只要有一个当决定一件事情的各个条件中，只要有一个具备，这件事情就会发生，这样的因果关系，具备，这件事情就会发生，这样的因果关系，叫做或逻辑关系。只要开关叫做或逻辑关系。只要开关A A或者开关或者开关B B闭合，闭合，灯就会亮，所以对灯亮这件事情来说，开关灯就会亮，所以对灯亮这件事情来说，开关A A和和开关开关B B闭合是或的逻辑关系。闭合是或的逻辑关系。（3 3）非逻辑关系非逻辑关系非就是反，就是否定。当开关断开时，灯亮，非就
12、是反，就是否定。当开关断开时，灯亮，闭合时反而会灭，所以对灯亮来说，开关闭闭合时反而会灭，所以对灯亮来说，开关闭合是一种非逻辑关系。合是一种非逻辑关系。现在学习的是第9页，共83页三种基本逻辑关系的功能表三种基本逻辑关系的功能表。开关开关 A A开关开关 B B灯灯 Y Y1 1灯灯 Y Y2 2灯灯 Y Y3 3断开断开断开断开灭灭灭灭亮亮断开断开闭闭合合灭灭亮亮闭闭合合断开断开灭灭亮亮灭灭闭闭合合闭闭合合亮亮亮亮现在学习的是第10页，共83页经过设定变量和状态赋值之后，便可以得到反映开关状态与电灯亮经过设定变量和状态赋值之后，便可以得到反映开关状态与电灯亮灭之间因果关系的数学表达形式灭之间
13、因果关系的数学表达形式真值表。真值表。用英文字母表示开关和电灯的过程，叫做设定变量。现用用英文字母表示开关和电灯的过程，叫做设定变量。现用A A、B B、Y1Y1、Y2Y2、Y3Y3分别表示开关分别表示开关A A、B B和灯和灯Y1Y1、Y2Y2、Y3Y3。用用0 0和和1 1分别表示开关和电灯有关状态的过程，称为状态赋值。现用分别表示开关和电灯有关状态的过程，称为状态赋值。现用0 0表示开关断开和灯灭，用表示开关断开和灯灭，用1 1表示开关闭合和灯亮。这也叫做变量取值。表示开关闭合和灯亮。这也叫做变量取值。根据设定变量和状态赋值情况，由功能表，可以很容易地列出根据设定变量和状态赋值情况，由功
14、能表，可以很容易地列出真值表。真值表。现在学习的是第11页，共83页基本逻辑关系的真值表基本逻辑关系的真值表 A AB BY Y1 1Y Y2 2Y Y3 30 00 00 00 01 10 01 10 01 11 10 00 01 10 01 11 11 11 1现在学习的是第12页，共83页（2 2）基本逻辑运算）基本逻辑运算 在真值表中，对在真值表中，对Y1Y1来说，只有当来说，只有当A A与与B B均为均为1 1时，其值才会为时，其值才会为1 1，显然是一种与，显然是一种与的逻辑关系，并记作的逻辑关系，并记作:读作读作Y1Y1等于等于A A与与B B，相应地把这种运算叫做逻辑与运算，简
15、称为与运算。与运算和算术，相应地把这种运算叫做逻辑与运算，简称为与运算。与运算和算术中的乘法运算是一样的，所以又叫做逻辑乘法运算，相应地，上式又可读作中的乘法运算是一样的，所以又叫做逻辑乘法运算，相应地，上式又可读作Y1Y1等于等于A A乘乘B B。在真值中，对在真值中，对Y2Y2来说，只要来说，只要A A或或B B为为1 1时，其值就会为时，其值就会为1 1，显然是一种或的逻辑关系，显然是一种或的逻辑关系，并记作并记作:现在学习的是第13页，共83页 上式读作上式读作Y2Y2等于等于A A或或B B，相应地，把这种运算叫做逻辑或运算，简称为或运算。，相应地，把这种运算叫做逻辑或运算，简称为或
16、运算。或运算和算术中的加法运算很相似，所以又叫做逻辑加法运算，相应地，又常或运算和算术中的加法运算很相似，所以又叫做逻辑加法运算，相应地，又常读作读作Y2Y2等于等于A A加加B B。在真值表中，当在真值表中，当A A取值为取值为0 0时时Y3Y3为为1 1，A A取值为取值为1 1时时Y3Y3反而为反而为0 0，这显然是一种逻辑非关，这显然是一种逻辑非关系，并记作：系，并记作：读作读作Y3Y3等于等于A A非，或者非，或者Y3Y3等于等于A A反。反。A A上面的一横就表示非或者反。相应地，把这种上面的一横就表示非或者反。相应地，把这种运算叫做非运算或者反运算。运算叫做非运算或者反运算。2.
17、2.复合逻辑运算复合逻辑运算在逻辑代数中，由基本的与、或、非逻辑运算可以实现多种复合逻辑运算。在逻辑代数中，由基本的与、或、非逻辑运算可以实现多种复合逻辑运算。现在学习的是第14页，共83页(a)(a)国标符号国标符号 (b)(b)曾用符号曾用符号 (c)(c)国外符号国外符号 七种逻辑运算和逻辑符号七种逻辑运算和逻辑符号现在学习的是第15页，共83页 在上图中，用英文字母表示变量，这里叫做逻辑变量。整个式子叫做逻辑表达式，式在上图中，用英文字母表示变量，这里叫做逻辑变量。整个式子叫做逻辑表达式，式中中A A、B B称为输入逻辑变量。称为输入逻辑变量。Y Y叫做输出逻辑变量，字母上面无反号的称
18、为原变量，叫做输出逻辑变量，字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。有反号的叫做反变量。1.1.2 1.1.2 正负逻辑问题正负逻辑问题 在数字电路中，通常用电路的高电平和低电平来分别代表逻辑在数字电路中，通常用电路的高电平和低电平来分别代表逻辑1 1和逻辑和逻辑0 0，在这，在这种规定下的逻辑关系称为正逻辑。反之，用低电平表示逻辑种规定下的逻辑关系称为正逻辑。反之，用低电平表示逻辑1 1，用高电平表示逻，用高电平表示逻辑辑0 0，在这种规定下的逻辑关系称为负逻辑。我们将电平和逻辑取值之间对应关，在这种规定下的逻辑关系称为负逻辑。我们将电平和逻辑取值之间对应关系给以规定称为逻辑规定。系
19、给以规定称为逻辑规定。对于一个数字电路，既可以采用正逻辑，也可采用负逻辑。同一电路，如果对于一个数字电路，既可以采用正逻辑，也可采用负逻辑。同一电路，如果采用不同的逻辑规定，那么电路所实现的逻辑运算是不同的。采用不同的逻辑规定，那么电路所实现的逻辑运算是不同的。现在学习的是第16页，共83页几种逻辑运算的正逻辑和负逻辑电平关系。几种逻辑运算的正逻辑和负逻辑电平关系。逻辑运算正逻辑电平关系逻辑运算正逻辑电平关系 逻辑运算负逻辑电平关系逻辑运算负逻辑电平关系 正逻辑与运算和负逻辑或运算互相对应；正逻辑或运算和负逻辑与运算互正逻辑与运算和负逻辑或运算互相对应；正逻辑或运算和负逻辑与运算互相对应。相对
20、应。现在学习的是第17页，共83页 1.1.3 逻辑电路的工作原理逻辑电路的工作原理 TTL电路在中、小规模集成电路方面应用广泛。TTL 电路的基本环节是与非门，本节介绍TTL与非门的工作原理。TTL与非门的电路图如下，它由输入级、中间级和输出级三部分组成。现在学习的是第18页，共83页 输入级是由多射极晶体管输入级是由多射极晶体管V1 1和电阻和电阻R1 1组成的一个与电组成的一个与电路，实现输入逻辑变量路，实现输入逻辑变量A、B、C的与逻辑运算功能。的与逻辑运算功能。V1 1管的电流放大作用，有利于提高管的电流放大作用，有利于提高V1 1管从饱和到截止的转换管从饱和到截止的转换速度。速度。
21、中间级是由中间级是由V2 2、R2 2及及R3 3组成的一个电压分相器。它在组成的一个电压分相器。它在V2 2的的发射极与集电极上分别得到两个相位相反的电压，以驱动发射极与集电极上分别得到两个相位相反的电压，以驱动输出级三极管输出级三极管V4 4、V5 5轮流导通。轮流导通。输出级是由输出级是由V3 3、V4 4、V5 5和和R4 4、R5 5组成的一个非电路。其组成的一个非电路。其中中V5 5为驱动管，达林顿复合晶体管为驱动管，达林顿复合晶体管V3 3、V4 4与电阻与电阻R4 4、R5 5一起构一起构成了成了V5 5的有源负载。输出级采用的推挽结构，使的有源负载。输出级采用的推挽结构，使V
22、4 4、V5 5轮轮流导通，输出阻抗较低，有利于改善电路的输出波形，提高流导通，输出阻抗较低，有利于改善电路的输出波形，提高电路的负载能力。电路的负载能力。现在学习的是第19页，共83页 1.1.输入有任一个输入有任一个(或两个或两个)为为0.3V0.3V 假定输入端假定输入端A A为为0.3V0.3V，那么，那么T1T1的的A A发射结导通，发射结导通，T T1 1的基极电平的基极电平V VB1B1=V=VA A+V+VBE1BE1=0.3V+0.7V=1.OV=0.3V+0.7V=1.OV。此时，。此时，V VB1B1作作用于用于T T1 1的集电结和的集电结和T T2 2，T T3 3的
23、发射结上，的发射结上，V VB1B1过低，不足过低，不足以使以使T T2 2和和T T5 5导通。因为要使导通。因为要使T T2 2和和T T5 5导通，至少需要导通，至少需要V VB1B1=2.lV=2.lV。当。当T T2 2和和T T5 5截止时，电源截止时，电源V VCCCC通过电阻通过电阻R R2 2向向T T3 3提提供基极电流，使供基极电流，使T T3 3和和T T4 4导通，其电流流入负载。因为导通，其电流流入负载。因为电阻电阻R R2 2上的压降很小，可以忽略不计，输出电平为上的压降很小，可以忽略不计，输出电平为 V VO O=V=VCCCC-V-VBE3BE3-V-VBE4
24、BE4=5-0.7-0.7=3.6V=5-0.7-0.7=3.6V 实现了输入只要有一个低电平，输出为高电平的逻辑实现了输入只要有一个低电平，输出为高电平的逻辑关系。关系。现在学习的是第20页，共83页 2.2.输入端全为输入端全为3.6V3.6V 当输入端全为高电平当输入端全为高电平3.6V3.6V时，时，T T1 1的所有发射结都处于反向偏置而截的所有发射结都处于反向偏置而截止，集电结为正向偏置而导通，即止，集电结为正向偏置而导通，即T T1 1处于反向工作状态。电源处于反向工作状态。电源V VCCCC通过通过电阻电阻R R1 1和和T T1 1的集电结向的集电结向T T2 2提供基极电流
25、，使提供基极电流，使T T2 2和和T T5 5饱和导通饱和导通(饱和时的管饱和时的管压降压降V VCESCES=0.3V)=0.3V)。所以。所以T T3 3的基极电平为的基极电平为 V VB3B3=V=VCES2CES2+V+VBE5BE5=0.3+0.7=lV=0.3+0.7=lV 大于大于T T3 3发射结的导通电压发射结的导通电压V VBE3BE3，所以，所以T T3 3导通，其发射结压降为导通，其发射结压降为0.7V0.7V左右，左右，这样，这样，T4T4的基极电位为的基极电位为 V VB4B4=V=VB3B3-V-VBE3BE3=l-0.7=0.3V=l-0.7=0.3V 而而T
26、 T4 4发射极的电位即发射极的电位即T5T5集电极的电位为集电极的电位为 V VE4E4=V=VC5C5=V=VCES5CES5=0.3V=0.3V T T4 4发射结压降近似为发射结压降近似为0 0，故，故T T4 4截止。其结果将使截止。其结果将使T T5 5处于深度饱和状态。故处于深度饱和状态。故输出为输出为0.3V0.3V，也即，也即V VO O=0.3V=0.3V。实现了输入全为高电平，输出为低电平的逻。实现了输入全为高电平，输出为低电平的逻辑关系。辑关系。通过上述分析可知，当输入有一个或两个为通过上述分析可知，当输入有一个或两个为0.3V0.3V时，输出为时，输出为3.6V3.6
27、V；当输入；当输入全为全为3.6V3.6V时，输出为时，输出为0.3V0.3V。电路实现了与非门的逻辑关系。电路实现了与非门的逻辑关系。现在学习的是第21页，共83页 1.1.4 TTL1.1.4 TTL与非门的电压传输特性与非门的电压传输特性 电压传输特性是指输出电压电压传输特性是指输出电压V VO O随输入电压随输入电压V VI I变化的特性。变化的特性。如果将如果将TTLTTL与非门的某输入端电压由与非门的某输入端电压由OVOV逐渐增加到逐渐增加到5V5V，其它输，其它输入端接入端接5V5V，测量输出端电压，测量输出端电压，可以得到一条电压可以得到一条电压变化的曲线，这就变化的曲线，这就
28、是电压传输特性曲是电压传输特性曲线，如右图所示。线，如右图所示。现在学习的是第22页，共83页 前面介绍逻辑门时，假定高电平前面介绍逻辑门时，假定高电平3.6V3.6V代表逻辑代表逻辑1,1,低电平低电平0.3V0.3V代表逻辑代表逻辑0 0，但是在实际应用中，由于受到噪声干扰，信号的高、低电平要发生变化。但是在实际应用中，由于受到噪声干扰，信号的高、低电平要发生变化。为了保证逻辑门正确实现逻辑运算，规定了高、低电平偏离数值容许的范为了保证逻辑门正确实现逻辑运算，规定了高、低电平偏离数值容许的范围。围。输出高电平输出高电平V VOHOH：逻辑门电路输出处于截止状态时的输出电平，其典型：逻辑门电
29、路输出处于截止状态时的输出电平，其典型值是值是3.6V3.6V，规定最小值，规定最小值V VOHOH（minmin）=2.4V=2.4V。输出低电平输出低电平V VOLOL：逻辑门电路输出处于导通状态时的输出电平，其典型值：逻辑门电路输出处于导通状态时的输出电平，其典型值是是0.3V0.3V，规定最大值，规定最大值VOLVOL（maxmax）=0.4V=0.4V。输入高电平输入高电平V VIHIH：典型值是：典型值是3.6V3.6V，规定最小值为，规定最小值为2.OV2.OV。因为这个最小电。因为这个最小电平是保证门电路处于导通状态平是保证门电路处于导通状态(输出低电平输出低电平V VOLOL
30、=0.4V)=0.4V)的最小输入电平，因此的最小输入电平，因此称其为开门电平，用称其为开门电平，用V VONON表示。表示。输入低电输入低电V VILIL：的典型值是：的典型值是0.3V0.3V，规定最大值为，规定最大值为0.8V0.8V，因为这是保证，因为这是保证门电路处于截止状态门电路处于截止状态(输出高电平输出高电平V VOHOH=2.4V)=2.4V)的最大输入电平，故称其为的最大输入电平，故称其为关门电平，用关门电平，用V VOFFOFF表示。表示。现在学习的是第23页，共83页1.2 1.2 逻辑代数的数学描述逻辑代数的数学描述1.2.1 1.2.1 逻辑代数的公式和定律逻辑代数
31、的公式和定律1.1.常量之间的关系常量之间的关系因为二值逻辑中只有因为二值逻辑中只有0 0、1 1两个常量，逻辑变量的取值不是两个常量，逻辑变量的取值不是0 0就是就是1 1，而最基本的逻辑，而最基本的逻辑运算又只有与、或、非三种，所以常量之间的关系也只有下列几种：运算又只有与、或、非三种，所以常量之间的关系也只有下列几种：现在学习的是第24页，共83页 这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，也叫做公理，它是人这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，也叫做公理，它是人为规定的。这样规定，既与逻辑思维的推理一致，又与人们已经习惯了的普通代数的运算为规定的。这
32、样规定，既与逻辑思维的推理一致，又与人们已经习惯了的普通代数的运算规则相似。规则相似。2.2.变量和常量的关系变量和常量的关系现在学习的是第25页，共83页(1)(1)交换律交换律3.3.与普通代数相似的定理与普通代数相似的定理(2)(2)结合律结合律(3)(3)分配律分配律现在学习的是第26页，共83页4.4.逻辑代数的一些特殊定理逻辑代数的一些特殊定理 公式公式5 5到公式到公式1313的证明是极容易的，最直接的方法，就是将变量的各种可能取值代入等式进的证明是极容易的，最直接的方法，就是将变量的各种可能取值代入等式进行计算，列出真值表，如果等号两边的值相等，则等式成立，否则就不成立。行计算
33、，列出真值表，如果等号两边的值相等，则等式成立，否则就不成立。现在学习的是第27页，共83页现在学习的是第28页，共83页现在学习的是第29页，共83页5.5.若干常用公式若干常用公式公式16说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。现在学习的是第30页，共83页现在学习的是第31页，共83页推论：证明：现在学习的是第32页，共83页现在学习的是第33页，共83页6.6.关于异或的一些公式关于异或的一些公式 在变量在变量ABAB取值相异时其值为取值相异时其值为1 1，相同时其值为，相同时其值为0 0，故名异或运算。根据相似的道理，我们把，故名异或运算
34、。根据相似的道理，我们把异或运算的反叫做同或运算。并记为异或运算的反叫做同或运算。并记为现在学习的是第34页，共83页(3)分配律 证明:现在学习的是第35页，共83页现在学习的是第36页，共83页1.2.2 1.2.2 逻辑代数的基本运算规则逻辑代数的基本运算规则 1.1.代入规则代入规则 在任何逻辑等式中，若果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之一个函数，在任何逻辑等式中，若果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之一个函数，则等式仍然成立。则等式仍然成立。2.2.反演规则反演规则 对于任意一个函数，如果将其表达式中所有的对于任意一个函数，如果将其表达式中所有的“”换成换成“+”，“+”换
35、成换成“”；“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到；原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是该函数的反函数，这个规则就叫做反演规则。的表达式就是该函数的反函数，这个规则就叫做反演规则。3.3.对偶规则对偶规则 对于任何一个函数表达式对于任何一个函数表达式,如果将其中所有的如果将其中所有的“”换成换成“+”，“+”换成换成“”；“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”，那么得到的表达式就是该表达式的对偶式。如果，那么得到的表达式就是该表达式的对偶式。如果两个表达式相等，那么它们的对偶式也一定相
36、等，这就是对偶规则。两个表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等，这就是对偶规则。现在学习的是第37页，共83页1.3 1.3 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 逻辑函数有各种不同的表示形式，即使同一类型的表达式也有可能有繁有逻辑函数有各种不同的表示形式，即使同一类型的表达式也有可能有繁有简。在数字系统中，实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功能的逻简。在数字系统中，实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功能的逻辑表达式的复杂性直接相关辑表达式的复杂性直接相关。一般来说，逻辑函数表达式越简单，设计出来的相应一般来说，逻辑函数表达式越简单，设计出来的相应的逻辑电路越简单的逻辑电路越简单。然而
37、，从逻辑问题概括出来的逻辑函数通常都不是最简的，为了降低然而，从逻辑问题概括出来的逻辑函数通常都不是最简的，为了降低系统成本，必须将它们化简系统成本，必须将它们化简。化简逻辑函数，经常用到的方法有两种：一种叫做公式化简法，就是用逻辑代数中的化简逻辑函数，经常用到的方法有两种：一种叫做公式化简法，就是用逻辑代数中的公式和定理进行化简；另一种称为图形化简，进行化简的工具是卡诺图。公式和定理进行化简；另一种称为图形化简，进行化简的工具是卡诺图。现在学习的是第38页，共83页1.3.11.3.1逻辑函数的公式化简逻辑函数的公式化简1.1.逻辑函数的最简表达式逻辑函数的最简表达式 一个逻辑函数的最简表达
38、式，常按照式中变量之间运算关系不同，分成最简与或式、一个逻辑函数的最简表达式，常按照式中变量之间运算关系不同，分成最简与或式、最简与非最简与非与非式、最简或与式、最简或非与非式、最简或与式、最简或非或非式、最简与或非式等五种。或非式、最简与或非式等五种。（1 1）最简与或式）最简与或式 定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式，叫做最简与或表达式。达式，叫做最简与或表达式。现在学习的是第39页，共83页（2 2）最简与非）最简与非与非式与非式 定义：非号最少，每个非号下面相乘的变形个数也最少的与非定义：
39、非号最少，每个非号下面相乘的变形个数也最少的与非与非式，叫做最与非式，叫做最简与非简与非与非表达式。注意，单个变量上面的非号不算，因为已将其当成反变量。与非表达式。注意，单个变量上面的非号不算，因为已将其当成反变量。（3 3）最简或与式）最简或与式 定义：括号个数最少，每个括号中相加的变量的个数也最少的或与式，叫做最简或与式表达定义：括号个数最少，每个括号中相加的变量的个数也最少的或与式，叫做最简或与式表达式。式。现在学习的是第40页，共83页 在反函数最简与或表达式的基础上，取反，再用摩根定理去掉反号，便可在反函数最简与或表达式的基础上，取反，再用摩根定理去掉反号，便可得到函数的最简或与表达
40、式。当然，在反函数的最简与或表达式的基础上，也得到函数的最简或与表达式。当然，在反函数的最简与或表达式的基础上，也可以用反演规则，直接写出函数的最简或与式。可以用反演规则，直接写出函数的最简或与式。例例17 写出函数写出函数 的最简或与式。的最简或与式。（4 4）最简或非）最简或非或非式或非式 定义：非号个数最少，非号下面相加变量的个数也最少的或非定义：非号个数最少，非号下面相加变量的个数也最少的或非或非式，叫做最或非式，叫做最简或非简或非或非表达式。或非表达式。在最简或与式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号，所得到的便是函数的在最简或与式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的
41、反号，所得到的便是函数的最简或非最简或非或非表达式。或非表达式。现在学习的是第41页，共83页（5 5）最简与或非式）最简与或非式 定义：在非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的定义：在非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式，叫做最简与或非式与或非式，叫做最简与或非式 。在最简或非在最简或非或非式的基础上，用摩根定理去掉大反号下面的小反号，便或非式的基础上，用摩根定理去掉大反号下面的小反号，便可得到函数的最简与或非表达式。当然在反函数最简与或式的基础上，直接取可得到函数的最简与或非表达式。当然在反函数最简与或式的基础上，直接取反亦
42、可。反亦可。现在学习的是第42页，共83页 从上面各种最简式的介绍中，不难发现，只要得到从上面各种最简式的介绍中，不难发现，只要得到了函数的最简与或式，再用摩根定理进行适当变换，就了函数的最简与或式，再用摩根定理进行适当变换，就可以获得其它几种类型的最简式。因此，下面要讲解的可以获得其它几种类型的最简式。因此，下面要讲解的公式化简法和图形化简法，所说明的都是如何在与或式公式化简法和图形化简法，所说明的都是如何在与或式的基础上，获得最简与或表达式的方法。的基础上，获得最简与或表达式的方法。现在学习的是第43页，共83页 2.2.逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法公式化简法，就是在与或表达式
43、的基础上，利用公式和定理，消去公式化简法，就是在与或表达式的基础上，利用公式和定理，消去表达式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，求出函数的最表达式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，求出函数的最简与或式。经常使用到的方法可以归纳如下：简与或式。经常使用到的方法可以归纳如下：1.1.并项法并项法利用公式利用公式 ，把两个乘积项合并消去一个变量。，把两个乘积项合并消去一个变量。2.2.吸收法吸收法利用公式利用公式 ，吸收掉多余的乘积项。，吸收掉多余的乘积项。3.3.消去法消去法利用公式利用公式 ，消去乘积项中多余的因子。，消去乘积项中多余的因子。4.4.配项消去法配项消去法利用公式利用公
44、式 ，在函数与或表达式中加上多余项，在函数与或表达式中加上多余项，以消去更多的乘积项。以消去更多的乘积项。现在学习的是第44页，共83页做做P20P20P22P22的例的例1-101-10例例1-171-17。现在学习的是第45页，共83页1.3.2 1.3.2 逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法现在学习的是第46页，共83页现在学习的是第47页，共83页 （3 3）最小项是组成逻辑函数的基本单元）最小项是组成逻辑函数的基本单元 任何逻辑函数都可以表示成为最小项之和的形式任何逻辑函数都可以表示成为最小项之和的形式标准与或表达式，即任何逻辑函数，都是由函数标准与或表达式，即任何逻辑函数，都
45、是由函数中变量的若干最小项构成的。中变量的若干最小项构成的。现在学习的是第48页，共83页 逻辑函数最小项之和的形式逻辑函数最小项之和的形式标准与或表达式是唯一的，也就是说，一个标准与或表达式是唯一的，也就是说，一个逻辑函数有一个最小项之和的表达式。利用逻辑代数中的公式和定理，可以将逻辑函数有一个最小项之和的表达式。利用逻辑代数中的公式和定理，可以将任何逻辑函数展开或变换成标准与或表达式。任何逻辑函数展开或变换成标准与或表达式。现在学习的是第49页，共83页 逻辑函数的标准与或表达式，也可以从真值表直接得到。只要在真值表中，挑出那逻辑函数的标准与或表达式，也可以从真值表直接得到。只要在真值表中
46、，挑出那些使函数值为些使函数值为1 1的变量取值，变量为的变量取值，变量为1 1的写成原变量，为的写成原变量，为0 0的写成反变量，这样对应于使的写成反变量，这样对应于使函数值为函数值为1 1的每一种取值，都可以写出一个乘积项，只要把这些乘积项加起来，所得到的每一种取值，都可以写出一个乘积项，只要把这些乘积项加起来，所得到的就是函数的标准与或表达式。的就是函数的标准与或表达式。例如，从表例如，从表1-61-6所示真值表就可以直接写出所示真值表就可以直接写出现在学习的是第50页，共83页 （4 4）最小项的编号）最小项的编号 为了叙述和书写的方便，通常都要对最小项进行编号。为了叙述和书写的方便，
47、通常都要对最小项进行编号。编号的方法是：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应编号的方法是：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号。的十进制数，就是该最小项的编号。现在学习的是第51页，共83页 一个最小项，只要把原变量当成一个最小项，只要把原变量当成1 1、反变量当成、反变量当成0 0，便可以直接，便可以直接得到它的编号。在书写逻辑函数标准与或表达式时，常常用注有得到它的编号。在书写逻辑函数标准与或表达式时，常常用注有下标的小写下标的小写m m表示有关的啊小项，甚至只用相应的编号表示。表示有关的啊小项，甚至只用相应的编号表示。现在学习的是第52页
48、，共83页 用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法，叫做图形化简法。图形化简用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法，叫做图形化简法。图形化简法有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来也比较容易。法有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来也比较容易。1.1.逻辑变量的卡诺图逻辑变量的卡诺图 卡诺图是由真值表变换而来的一种方格图。卡诺图上的每一个小方格代表真卡诺图是由真值表变换而来的一种方格图。卡诺图上的每一个小方格代表真值表上的一行，因而也就代表一个最小项。真值表有多少行，卡诺图就有多少值表上的一行，因而也就代表一个最小项。真值表有多少行，卡诺图就有多少个小方格。个小
49、方格。（1 1）二变量的卡诺图）二变量的卡诺图两个变量有两个变量有4 4个最小项，用个最小项，用4 4个小方块表示，变量个小方块表示，变量A A、B B的卡诺图如下图：的卡诺图如下图：现在学习的是第53页，共83页 在图（在图（b b）中，）中，m m表示最小项，下标是相应最小项的编号；在图（表示最小项，下标是相应最小项的编号；在图（c c）中只标出了最小项的编）中只标出了最小项的编号；在图（号；在图（d d）中，连最小项的编号也省去不写了。人们经常使用的，是图（）中，连最小项的编号也省去不写了。人们经常使用的，是图（d d）中给出的形式。）中给出的形式。现在学习的是第54页，共83页(2)(
50、2)卡诺图的画法卡诺图的画法卡诺图一般都用正方形或矩形表示。对于卡诺图一般都用正方形或矩形表示。对于n n个变量，图中的小方块应有个变量，图中的小方块应有2 2n n个，因为个，因为n n个变量有个变量有2 2n n个最小项，而每一个最小项，都需要用一个个最小项，而每一个最小项，都需要用一个小方块表示。小方块表示。卡诺图按循环码排列变量取值顺序。这一步是关键，只有这样排列，卡诺图按循环码排列变量取值顺序。这一步是关键，只有这样排列，所得到的最小项方块图，才叫做卡诺图。所得到的最小项方块图，才叫做卡诺图。三变量和四变量的卡诺图三变量和四变量的卡诺图 现在学习的是第55页，共83页（3 3）变量卡