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1、现代控制理论第二章现在学习的是第1页，共50页 状态空间分析状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法，其法是现代控制理论的主要分析方法，其直接将系统的直接将系统的微分方程微分方程或或差分方程差分方程化为描述系统化为描述系统输入输入、输输出出与内部状态关系的与内部状态关系的动态动态数学模型数学模型状态方程状态方程，运用矩，运用矩阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统状阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统状态方程的解法及分析解的性质是现代控制理论的主要任务态方程的解法及分析解的性质是现代控制理论的主要任务之一。之一。本章重点本章重点:讨论状态讨论状态转移矩阵转移矩阵的的定义
2、定义、性质性质和和计算方法计算方法，并在此基，并在此基础上导出状态方程的础上导出状态方程的求解求解公式。公式。现在学习的是第2页，共50页2.1 齐次状态方程的解齐次状态方程的解 1 1、线性定常系统的运动、线性定常系统的运动1 1 1 1）自由运动自由运动：线性定常系统在：线性定常系统在没有没有控制作用，即控制作用，即u u0 0时，时，由初始状态引起的运动称自由运动。由初始状态引起的运动称自由运动。齐次齐次齐次齐次状态方程的解：状态方程的解：状态方程的解：状态方程的解：2 2 2 2）强迫运动强迫运动：线性定常系统在控制线性定常系统在控制u u作用下的运动，称为作用下的运动，称为强迫运动。
3、强迫运动。非齐次非齐次非齐次非齐次状态方程的解：状态方程的解：状态方程的解：状态方程的解：现在学习的是第3页，共50页2 2、齐次状态方程的解：、齐次状态方程的解：指数函数一阶标量标量微分方程已知状态方程已知状态方程求求现在学习的是第4页，共50页仿照标量仿照标量微分方程：微分方程：向量向量代入微分方程：代入微分方程：对对 求导：求导：两式相等必有：两式相等必有：现在学习的是第5页，共50页仿照标量仿照标量微分方程：微分方程：向量向量代入代入现在学习的是第6页，共50页矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵描述了状态向量由初始状态描述了状态向量由初始状态 向任意时向任意时刻状态刻状态
4、 转移的内在特性。转移的内在特性。现在学习的是第7页，共50页2.2 状态转移矩阵状态转移矩阵 满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：线性线性定常定常系统的系统的齐次齐次状态方程：状态方程：已知已知已知已知：令：令：则有：则有：1 1、状态转移矩阵的含义、状态转移矩阵的含义线性定常系统的状态转移矩阵线性定常系统的状态转移矩阵现在学习的是第8页，共50页说明说明1 1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：1 1）状态转移矩阵初始条件：）状态转移矩阵初始条件：2 2）状态转移矩阵满足状态方程本身：）状态转移矩阵满足状态方
5、程本身：说说明明2 2：对对于于线线性性定定常常系系统统来来说说，状状态态转转移移矩矩阵阵就就是是矩矩阵阵指指数数函函数数本身。本身。说明说明3 3：状态转移矩阵的：状态转移矩阵的物理意义物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作作坐标变换，不断地在状态空间中作转移转移，故称为状态转移矩阵，故称为状态转移矩阵现在学习的是第9页，共50页2 2、状态转移矩阵的、状态转移矩阵的基本性质基本性质证明：证明：推论：推论：状态转移具有状态转移具有可逆性可逆性现在学习的是第10页，共50页证明：
6、证明：转移至转移至 的状态转移矩阵为的状态转移矩阵为 证明：证明：状态转移可以状态转移可以分段分段进行！进行！现在学习的是第11页，共50页例：例：已知状态转移矩阵，求已知状态转移矩阵，求解：解：性质性质4 4 性质性质2 2现在学习的是第12页，共50页证明：证明：证明：证明：现在学习的是第13页，共50页证明：证明：非奇异线性变换非奇异线性变换 非奇异矩阵另一组状态变量新的系统矩阵新的系统矩阵新的状态转移矩阵新的状态转移矩阵现在学习的是第14页，共50页3 3、几个、几个特殊特殊的矩阵指数函数的矩阵指数函数（1）设 ，即A为对角阵对角阵且具有互异互异元素时，有现在学习的是第15页，共50页
7、（2 2）若）若A A能通过能通过非奇异变换非奇异变换为对角阵时，即为对角阵时，即现在学习的是第16页，共50页则有（3）设A A为 约旦约旦阵，即 现在学习的是第17页，共50页4 4、状态转移矩阵的、状态转移矩阵的计算计算 直接直接求解法：根据求解法：根据定义定义 标准型标准型法求解：法求解：对角线标准型和约当标准型对角线标准型和约当标准型 拉氏反变换拉氏反变换法法现在学习的是第18页，共50页求出的解不是解析形式，适合于求出的解不是解析形式，适合于计算机计算机求解。求解。1 1）根据状态转移矩阵的）根据状态转移矩阵的定义定义求解：求解：对所有有限的对所有有限的t t值来说，这个无穷级数都
8、是收敛的值来说，这个无穷级数都是收敛的 。现在学习的是第19页，共50页例例：求解系统状态方程：求解系统状态方程解：解：现在学习的是第20页，共50页2 2 2 2）标准型标准型标准型标准型法求解：法求解：法求解：法求解：思路思路：根据状态转移矩阵性质：根据状态转移矩阵性质：对对A A进行进行非奇异线性变换非奇异线性变换，得到：，得到：得到：得到：有二种标准形式：有二种标准形式：对角线对角线矩阵、矩阵、约旦约旦矩阵矩阵现在学习的是第21页，共50页其中：其中：P P为使为使A A化为对角线标准型的化为对角线标准型的非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵。（1 1）当）当A A的的特征值特征值 为为两两相
9、异两两相异时：时：对角线对角线标准型标准型求状态转移矩阵的求状态转移矩阵的步骤步骤：1 1）先求得先求得A A阵的特征值阵的特征值 。2 2）求对应于求对应于 的特征向量的特征向量 ，并得到，并得到P P阵及阵及P P的逆阵。的逆阵。3 3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。代入上式即可得到状态转移矩阵的值。现在学习的是第22页，共50页如果如果A A为为友矩阵友矩阵，且有，且有 个个互异互异实实特征值特征值现在学习的是第23页，共50页解解:1)1)特征值特征值例：例：已知矩阵已知矩阵试计算试计算状态转移矩阵状态转移矩阵现在学习的是第24页，共50页 2)2)计算计算特征向量特征向量：3)3
10、)构造构造变换阵变换阵P P：现在学习的是第25页，共50页 则有：则有：现在学习的是第26页，共50页（2）当A具有n重特征根重特征根 ：约旦标准型约旦标准型约旦标准型约旦标准型 其中：P为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。求状态转移矩阵的步骤求状态转移矩阵的步骤求状态转移矩阵的步骤求状态转移矩阵的步骤：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵P。需要说明的是：对于所有重特征值 ，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据状态转移矩阵的性质，求得 。现在学习的是第27页，共50页例例 已知矩阵已知矩阵试计算状态转移矩阵试计算状态转移矩阵解解:1)1)特征值特征值现
11、在学习的是第28页，共50页2)2)计算特征向量和广义特征向量。计算特征向量和广义特征向量。现在学习的是第29页，共50页得得：3)3)计算状态转移矩阵：计算状态转移矩阵：现在学习的是第30页，共50页现在学习的是第31页，共50页3 3 3 3）用）用）用）用拉氏变换法拉氏变换法拉氏变换法拉氏变换法求解：求解：求解：求解：齐次齐次状态方程：状态方程：初始状态为：初始状态为：两边取两边取拉氏变换拉氏变换得：得：整理得：整理得：拉氏反变换拉氏反变换得：得：两种方法的两种方法的关系？关系？现在学习的是第32页，共50页两种方法的关系？两种方法的关系？状态转移矩阵状态转移矩阵现在学习的是第33页，共
12、50页例例 用拉氏反变换法计算状态转移矩阵：用拉氏反变换法计算状态转移矩阵：解：解：现在学习的是第34页，共50页则有：则有：现在学习的是第35页，共50页例例例例：求以下矩阵：求以下矩阵A A的的状态转移矩阵状态转移矩阵 解解解解 ：1 1）直接算法（略）直接算法（略）现在学习的是第36页，共50页 2 2）用）用拉氏变换法拉氏变换法求解：求解：现在学习的是第37页，共50页现在学习的是第38页，共50页3 3）用）用标准型法标准型法求解：求解：得：得：，具有互异特征根，用对角线标准型法。，具有互异特征根，用对角线标准型法。且且A A为友矩阵为友矩阵先求特征值：先求特征值：现在学习的是第39
13、页，共50页现在学习的是第40页，共50页2.3 2.3 线性定常系统线性定常系统非齐次非齐次状态方程的解状态方程的解求一、积分法一、积分法零初态零初态响应响应现在学习的是第41页，共50页初始时刻非零：初始时刻非零：现在学习的是第42页，共50页二、拉氏变换法二、拉氏变换法拉氏反变换拉氏反变换取拉氏变换取拉氏变换现在学习的是第43页，共50页拉氏变换拉氏变换卷积定理卷积定理现在学习的是第44页，共50页例例例例：已知系统状态方程中：已知系统状态方程中试求解该系统的单位阶跃响应。试求解该系统的单位阶跃响应。解解解解：积分法积分法现在学习的是第45页，共50页现在学习的是第46页，共50页例例例例：已知系统状态方程中：已知系统状态方程中试求解该系统的单位阶跃输入下的解。试求解该系统的单位阶跃输入下的解。解解解解：拉氏变换法拉氏变换法现在学习的是第47页，共50页现在学习的是第48页，共50页例例例例：已知系统状态空间表达式，求：已知系统状态空间表达式，求解解解解：现在学习的是第49页，共50页现在学习的是第50页，共50页