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1、第八章微分运算第1页，本讲稿共38页8.1 极限的计算lMathematica中使用中使用Limit命令来计算极限，它总命令来计算极限，它总是力求确定极限的准确值是力求确定极限的准确值lLimitfx,x-a:计算计算 的值的值l例例1 计算计算 Limit(x5-32)/(x3-8),x-2Factorx5-32Factorx3-8第2页，本讲稿共38页8.1 极限的计算l可以利用可以利用Direction选项确定选项确定左、右极限左、右极限的计算的计算lDirection-1:计算左极限，即计算左极限，即x从左边趋近于从左边趋近于alDirection-1:计算右极限，即计算右极限，即x从
2、右边趋近于从右边趋近于alLimit的默认值为的默认值为Direction-Automatic，除了在无，除了在无穷远点外，方向为右极限。穷远点外，方向为右极限。l对于非连续函数，最好指定对于非连续函数，最好指定Direction，采用默认值，采用默认值可能会得到不正确的结果可能会得到不正确的结果第3页，本讲稿共38页8.1 极限的计算l例例2 考虑极限考虑极限l如果没有选定方向，默认计算右极限如果没有选定方向，默认计算右极限LimitAbsx/x,x-0LimitAbsx/x,x-0,Direction-1LimitAbsx/x,x-0,Direction-1第4页，本讲稿共38页8.1 极
3、限的计算l例例3 Mathematica也可以计算也可以计算无穷极限无穷极限及在及在无穷远无穷远点点处的极限处的极限Limit1/x,x-0,Direction-1Limit1/x,x-0,Direction-1Limit(2x2+3x+4)/(x2+1),x-Infinity,Direction-1第5页，本讲稿共38页8.1 极限的计算l例例4 当当x趋向某点时极限不存在，但趋向某点时极限不存在，但f(x)有界时，有界时，Limit命令会返回一个区间命令会返回一个区间min,max，表示值的，表示值的范围在此区间之内范围在此区间之内LimitSin1/x,x-0LimitTan1/x,x-
4、0第6页，本讲稿共38页习题解答l8.6 如果每年支付利息如果每年支付利息n次，年利率为次，年利率为r，那么，那么p美美元在元在t年后变为年后变为p(1+r/n)nt美元，假设如果连续计美元，假设如果连续计息（息（n-infinty）,那么那么t年后钱数为多少？年后钱数为多少？Limitp(1+r/n)(n t),n-Infinity第7页，本讲稿共38页习题解答l8.7 函数的导数定义为极限函数的导数定义为极限 l利用这个定义计算利用这个定义计算f(x)=Logx+x5+sinx的导数的导数fx_=Logx+x5+Sinx;Limit(fx+h-fx)/h,h-0第8页，本讲稿共38页习题解
5、答l8.8 函数的函数的2阶导数可以用阶导数可以用 极限计算得到。极限计算得到。l利用这个极限计算利用这个极限计算fx=lnx+x5+sinx的的2阶导数阶导数第9页，本讲稿共38页习题解答l利用这个极限计算利用这个极限计算fx=lnx+x5+sinx的的2阶导数阶导数fx_=Logx+x5+Sinx;Limit(fx+h-2fx+fx-h)/h2,h-0第10页，本讲稿共38页8.2 导数的计算l如果如果fx表示一个函数，那么它的导数表示为表示一个函数，那么它的导数表示为fx。高阶导数用高阶导数用fx、fx.等表示等表示l例例5 fx_=x5+x4+x3+x2+x+1fxfxfx第11页，本
6、讲稿共38页8.2 导数的计算l撇号也可作用到内置函数上。撇号也可作用到内置函数上。l如果不给出参数，如果不给出参数，Mathematica就返回一个就返回一个纯粹函纯粹函数数，表示所要求的导数，表示所要求的导数(有关纯粹函数见附录有关纯粹函数见附录A1)SqrtSqrtxSqrtSqrtx第12页，本讲稿共38页8.2 导数的计算l用撇号表示高阶导数并不方便用撇号表示高阶导数并不方便lDfx,x：返回：返回f相应于变量相应于变量x的导数的导数lDfx,x,n：返回：返回f相应于变量相应于变量x的的n阶导数阶导数l例例7Dx5+x4+x3+x2+x+1,xDx5+x4+x3+x2+x+1,x,
7、2Dx5+x4+x3+x2+x+1,x,3第13页，本讲稿共38页8.2 导数的计算l计算导数，也可以使用模板上的偏导符号计算导数，也可以使用模板上的偏导符号l 返回相应于返回相应于x的的n阶导数阶导数l例例8lD(x5+x4+x3+x2+x+1),x,3第14页，本讲稿共38页8.2 导数的计算lDerivativen是一个是一个算子算子，它作用到一个函数上，它作用到一个函数上，得到一个新的函数，即函数的得到一个新的函数，即函数的n阶导数阶导数lDerivativenf用纯粹函数的形式给出用纯粹函数的形式给出f的的n阶导数阶导数lDerivativenfx计算计算f在在x点的点的n阶导数，阶
8、导数，x为具体为具体数或为符号数或为符号l在在Mathematica内部，内部，f被转化为被转化为Derivative1f第15页，本讲稿共38页8.2 导数的计算l例例9fx_:=x5+x4+x3+x2+x+1;Derivative1fDerivative1fx第16页，本讲稿共38页8.2 导数的计算l计算导数在特定点的多种方法，注意计算导数在特定点的多种方法，注意:=的用法的用法l例例10fx_=(x2-x+1)5;f1Dfx,x,2/.x-1g:=Derivative2f g1fx_=x3g1第17页，本讲稿共38页8.2 导数的计算l作为符号计算软件，作为符号计算软件，Mathema
9、tica可以方便的进行可以方便的进行公式推导，包括导数的运算法则公式推导，包括导数的运算法则l例例 11Clearf,gDfx+gx,xDfx gx,xDfx/gx,x/TogetherDfgx,x第18页，本讲稿共38页8.2 导数的计算l例例12 证明函数证明函数fx=(x3+2x2+15x+2)SinPi x在区在区间间0,1上满足罗尔定理，求出定理中所声称的点上满足罗尔定理，求出定理中所声称的点cfx_=(x3+2x2+15x+2)SinPi xf0f1FindRootfc=0,c,0.5Plotfx,f.640241,x,0,1第19页，本讲稿共38页中值定理l令令f为有限闭区间为有
10、限闭区间a,b上的连续函数，并在开区间上的连续函数，并在开区间(a,b)上可微，则存在一个数上可微，则存在一个数c，介于，介于a与与b之间，使之间，使得得f(b)-f(a)=f(c)(b-a)l罗尔定理与中指定理都保证至少存在一个数罗尔定理与中指定理都保证至少存在一个数c，实，实际中可能存在满足条件的多个数际中可能存在满足条件的多个数第20页，本讲稿共38页中值定理l例例13 对于函数对于函数fx_=Sqrtx+Sin2Pi x，求出使得，求出使得中值定理在区间中值定理在区间0,2上成立的上成立的c值值fx_=Sqrtx+Sin2Pi xa=0;b=2;m=(fb-fa)/(b-a);Plot
11、fx-m,x,0,2,PlotRange-8,8第21页，本讲稿共38页中值定理FindRootfc=m,c,.3FindRootfc=m,c,.7FindRootfc=m,c,1.3FindRootfc=m,c,1.7第22页，本讲稿共38页习题解答l8.11 在同一坐标系中绘出在同一坐标系中绘出f(x)=x4-50 x2+300及其及其导数在导数在-10=x=10上的图形上的图形GrayLevel0,Dashing.015,PlotLegend-fx,fx;第23页，本讲稿共38页习题解答l8.12 给定函数给定函数f(x)，其图形为，其图形为C，C在点在点a的切线斜的切线斜率为率为f(a
12、)。令。令f(x)=sin x，画出函数图像及其在，画出函数图像及其在a=PI/3处的切线处的切线.l过点过点(x1,y1)，斜率为，斜率为m的直线方程为的直线方程为 y-y1=m(x-x1)或或 y=y1+m(x-x1)l切线斜率为切线斜率为m=f(a)，切线方程为，切线方程为 y=f(a)+f(a)(x-a)第24页，本讲稿共38页习题解答l8.12 给定函数给定函数f(x)，其图形为，其图形为C，C在点在点a的切线斜的切线斜率为率为f(a)。令。令f(x)=sin x，画出函数图像及其在，画出函数图像及其在a=PI/3处的切线处的切线.fx_=Sinx;a=Pi/3;lx_=fa+fa(
13、x-a);Plotfx,lx,x,0,2Pi;第25页，本讲稿共38页8.3 最大值与最小值l称函数称函数f在区间在区间I中中c点达到绝对最大值，指对点达到绝对最大值，指对I中所中所有点有点x，f(c)=f(x)成立，即成立，即f(c)是是f(x)在在I上的最大上的最大值。值。l最小值可类似定义最小值可类似定义l最值定理最值定理：如果：如果f为有界闭区间上的连续函数，则为有界闭区间上的连续函数，则f在这个区间既具有绝对最大值，也具有绝对最小值在这个区间既具有绝对最大值，也具有绝对最小值l注意：注意：最值最值是是全局性全局性的概念，的概念，极值极值是是局部性局部性概念概念第26页，本讲稿共38页
14、8.3 最大值与最小值l如果函数在有界闭区间如果函数在有界闭区间a,b上连续，则其最大值上连续，则其最大值和最小值出现在驻点或者区间端点和最小值出现在驻点或者区间端点l求最大值和最小值的步骤求最大值和最小值的步骤l(1).求求驻点驻点和和不可导点不可导点;l(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大小，哪个大哪个就是最大值，哪个小哪个就是最大小，哪个大哪个就是最大值，哪个小哪个就是最小值小值第27页，本讲稿共38页8.3 最大值与最小值l例例14 计算函数计算函数fx_=x4-4x3+2x2+4x+2在区间在区间0，4上的绝对最大值和最小值。首先
15、求其临界点上的绝对最大值和最小值。首先求其临界点fx_=x4-4x3+2x2+4x+2;Solvefx=0c1=0;c2=1;c3=1+Sqrt2;c4=4;pointstocheck=c1,fc1,c2,fc2,c3,fc3,c4,fc4/ExpandTableFormpointstocheck,TableHeadings-None,x,fx第28页，本讲稿共38页8.3 最大值与最小值l例例15 一根线长一根线长100英寸，要用它构成一个正方形和英寸，要用它构成一个正方形和一个圆形。请问如何分配，才能使它所围成的图形一个圆形。请问如何分配，才能使它所围成的图形面积和面积和 a)最大；最大；
16、b)最小最小l设正方形的边长为设正方形的边长为x，圆的半径为，圆的半径为rl两个形状的组合面积为两个形状的组合面积为A(x)=x2+Pi r2l圆的周长为圆的周长为2Pir，正方形周长为，正方形周长为4xl4x+2Pi r=100l0=x-2(-25+x)/Pi(*定义面积函数定义面积函数a，自变量统一为，自变量统一为x*)Solveax=0(*求出临界点求出临界点*)x1=0;x2=100/(4+Pi)x3=25第30页，本讲稿共38页8.3 最大值与最小值pointstocheck=x1,ax1,Nax1,x2,ax2,Nax2,x3,ax3,Nax3/Together;TableForm
17、pointstocheck,TableHeadings-None,x,ax,Nax(*列表给出驻点处的面积值列表给出驻点处的面积值*)Signa100/(4+Pi)(*使用二阶导数验证最小值使用二阶导数验证最小值*)第31页，本讲稿共38页8.3 最大值与最小值l局部极值局部极值lFindMinimumfx,x,x0：求出：求出f(x)靠近靠近x0点的局点的局部极小值部极小值l如何求局部极大值？如何求局部极大值？lmax(f(x)=-min(-f(x)第32页，本讲稿共38页8.3 最大值与最小值l例例16 函数函数f(x)=x+Sin 5x在区间在区间0,Pi中有中有3个极大个极大值点，值点
18、，2个极小值点个极小值点fx_=x+Sin5 x;Plotfx,x,0,PiFindMinimumfx,x,1FindMinimumfx,x,2-FindMinimum-fx,x,0.4-FindMinimum-fx,x,1.6-FindMinimum-fx,x,2.8-FindMinimum-fx,x,2.8,Method-Newton第33页，本讲稿共38页习题解答l8.16 求出两个和为求出两个和为50的正数，使得第一个数的平方的正数，使得第一个数的平方根加上第二个数的立方根尽可能大根加上第二个数的立方根尽可能大y=50-x;fx_=Sqrtx+y(1/3);Plotfx,x,0,50N
19、Solvefx=0FindMinimum-fx,x,40第34页，本讲稿共38页习题解答l8.17 一个圆柱被一个圆柱被单位球面单位球面所截。所截。(a)求出最大可能求出最大可能的体积的体积(b)求出最大可能的表面面积求出最大可能的表面面积l球面的大小是确定的，只需确定圆柱的半径即可球面的大小是确定的，只需确定圆柱的半径即可l所截体积和面积以球的体积和面积为一个上界，当所截体积和面积以球的体积和面积为一个上界，当圆柱的半径趋于圆柱的半径趋于0时，所截体积和面积趋于时，所截体积和面积趋于0，所以，所以所截得的体积和面积是有界的。所截得的体积和面积是有界的。l问题即求所截体积和面积的上确界。问题即
20、求所截体积和面积的上确界。第35页，本讲稿共38页习题解答l记被截圆柱的半径与高分别为记被截圆柱的半径与高分别为r与与h，被截圆柱的体积为，被截圆柱的体积为lr与与h的关系可由勾股定理求得的关系可由勾股定理求得 l被截圆柱的体积被截圆柱的体积V可表示为可表示为1rh/2第36页，本讲稿共38页习题解答vh_=Pi(1-(h/2)2)hSolvevh=0,hvmax=v2/Sqrt3Signv2/Sqrt3第37页，本讲稿共38页习题解答l圆柱的表面积圆柱的表面积=侧面积侧面积+上下底面积上下底面积l ，其中，其中 ，由于，由于S的表的表达式中同时出现达式中同时出现r与与r2，使用，使用r表示表示h更方便一些更方便一些Solver2+(h/2)2=1,h(*用用h表示表示r*)sr_=2Pi r h+2 Pi r2/.h-2Sqrt1-r2(*用用r统一表示面积统一表示面积s*)Solvesr=0,r/SimplifysSqrt(5+Sqrt5)/10/SimplifySignsSqrt(5+Sqrt5)/10第38页，本讲稿共38页