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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）数学试题（理工农医类）第卷(选择题共 50 分)一选择题一选择题1已知复数z的共轭复数12zi （i 为虚数单位） ，则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】z的共轭复数12zi ，则1 2zi ，对应点的坐标为(1, 2)，故答案为D2已知集合 1,Aa,1,2,3B ,则“3a ”是“AB”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】3,aAB2ABa，或 3因此是充分不必要条件3双曲线2214xy的顶点到其渐
2、近线的距离等于（）A25B45C2 55D4 55【答案】C【解析】2214xy的顶点坐标为( 2,0)，渐近线为2204xy，即20 xy带入点到直线距离公式0022AxBxCdAB=2222 551( 2) 4某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为 6 组：40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为（）A588B480C450D120【答案】B【解析】由图知道 60 分以上人员的频率为后 4 项频率的
3、和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P 故分数在 60 以上的人数为 600*08=480 人5满足,1,0,1,2a b ，且关于 x 的方程220axxb有实数解的有序数对( , )a b的个数为（）A14B13C12D10【答案】B【解析】方程220axxb有实数解，分析讨论当0a 时，很显然为垂直于 x 轴的直线方程，有解此时b可以取 4 个值故有4 种有序数对当0a 时，需要440ab ，即1ab 显然有 3 个实数对不满足题意，分别为（1,2） ， （2,1） ， （2,2） ( , )a b共有 4*4=16 中实数对，故答案应为 16-3=136阅读
4、如图所示的程序框图，若输入的10k ，则该算法的功能是（）A计算数列 12n的前 10 项和 B计算数列 12n的前 9 项和C计算数列21n的前 10 项和 D计算数列21n的前 9 项和【答案】C【解析】第一循环：1,2Si，10i 第二条：3,3,10Sii第三条：7,4,10Sii 第九循环：921,10,10Sii第十循环：1021,11,10Sii，输出S根据选项，101(1 2 )1 2S，故为数列12n的前 10 项和故答案 A7在四边形 ABCD 中，(1,2)AC ，( 4,2)BD ，则四边形的面积为（）A5B2 5C5D10【答案】C【解析】由题意，容易得到ACBD设对
5、角线交于 O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即 S=11(*)(*)22AO DOAO BOCO DOCO BOACBD容易算出5,2 5ACBD，则算出 S=5故答案 C8设函数( )f x的定义域为 R，00(0)x x 是( )f x的极大值点，以下结论一定正确的是（）A0,( )()xR f xf x B0 x是()fx的极小值点C0 x是( )f x的极小值点 D0 x是()fx的极小值点【答案】D【解析】A0,( )()xR f xf x ，错误00(0)x x 是( )f x的极大值点，并不是最大值点B0 x是()fx的极小值点错误()fx相当于( )f x关于 y 轴的
6、对称图像，故0 x应是()fx的极大值点C0 x是( )f x的极小值点错误( )f x相当于( )f x关于 x 轴的对称图像，故0 x应是( )f x的极小值点跟0 x没有关系D0 x是()fx的极小值点正确()fx相当于( )f x先关于 y 轴的对象，再关于 x 轴的对称图像故 D 正确9已知等比数列na的公比为 q，记(1) 1(1) 2(1).,nm nm nm nmbaaa*(1) 1(1) 2(1).( ,),nm nm nm nmcaaam nN则以下结论一定正确的是（）A数列 nb为等差数列，公差为mqB数列 nb为等比数列，公比为2mqC数列 nc为等比数列，公比为2mq
7、D数列 nc为等比数列，公比为mmq【答案】C【解析】等比数列na的公比为 q,同理可得2222222,mmm mmm maaaaaa112.mcaaa,212.,mmm mcaaa321222.,mmm mcaaa2213ccc数列 nc为等比数列，2221212211212.mmmmmm mmmmaaaaaaqcqqcaaaaaa故选 C10设 S，T，是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数( )yf x满足：( ) ( )|;( )i Tf xxSii对任意12,x xS当12xx时，恒有12()()f xf x，那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”
8、的是（）A*,ANBNB | 13, |8010AxxBx xx 或C |01,AxxBRD,AZ BQ【答案】D【解析】根据题意可知，令( )1f xx，则 A 选项正确；令55( 13)( )228(1)xxf xx ，则 B 选项正确；令1( )tan()2f xx，则 C 选项正确；故答案为 D二填空题二填空题11利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则时间“310a ”发生的概率为_【答案】23【解析】13103aa a产生 01 之间的均匀随机数1( ,1)3a 112313p12已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图测试图俯视图均如图所示，且图中的四边形是
9、边长为 2 的正方形，则该球的表面积是_【答案】12【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为 2 的正方体，223 234122RSR球表13如图ABC中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，2 2sin,3 2,33BACABAD则BD的长为_【答案】3【解析】2 2sinsin()cos23BACBADBAD根据余弦定理可得222cos2ABADBDBADABAD2222 2(3 2)3332 3 23BDBD14椭圆2222:1(0)xyabab的左右焦点分别为12,F F，焦距为 2c，若直线3()yxc与椭圆的一个交点 M 满足12212MFFMF F ，则该椭圆的离心率
10、等于_【答案】31【解析】由直线方程3()yxc直线与 x 轴的夹角12233MFF或，且过点1-F （c, 0）12212MFFMF F 122123MFFMF F 即12FMF M12RT FMF在中，12122 ,3FFc FMc F Mc由椭圆的第一定义可得2233113cacca15当,1xR x时，有如下表达式:211.1nxxxx两边同时积分得：111112222220000011.1ndxxdxx dxx dxdxx从而得到如下等式：23111111111( )( ).( ).ln2.2223212nn请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111( )(
11、 ).( )_2223212nnnnnnnCCCC【答案】113( )112nn【解析】由01221.(1)nnnnnnnCC xC xC xx两边同时积分得：11111222222000001.(1).nnnnnnC dxC xdxC x dxC x dxx dx从而得到如下等式：0122311111111113( )( ).( )( )122232121 2nnnnnnnnnCCCC三解答题三解答题16 （本小题满分 13 分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得 2 分；方案乙的中奖率为25，中将可以得 3 分；未中奖则不得分每人有且只
12、有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y，求3X 的概率；（2）若小明小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型离散型随机变量的分布列数学期望等基础知识，考查数据处理能力运算求解能力应用意识，考查必然和或然思想，满分 13 分解：（）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这 2 人的累计得分3X”的事件为 A，则 A 事件的对立事件为“5X”，224(5)3515P X，11( )1(
13、5)15 P AP X这两人的累计得分3X的概率为1115（）设小明小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)EX，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)EX由已知：12(2, )3XB，22(2, )5XB124()233E X，224()255E X118(2)2 ()3EXE X，2212(3)3 ()5EXE X12(2)(3)EXEX他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大17 （本小题满分 13 分）已知函数( )ln ()f xxax aR（1）当2a 时，求曲线( )yf x在点(1
14、,(1)Af处的切线方程；（2）求函数( )f x的极值本小题主要考查函数函数的导数不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想分类与整合思想，数形结合思想化归与转化思想满分 13 分解：函数( )f x的定义域为(0,)，( )1 afxx（）当2a时，( )2lnf xxx，2( )1(0) fxxx，(1)1,(1)1 ff，( )yf x在点(1,(1)Af处的切线方程为1(1) yx，即20 xy（）由( )1,0 axafxxxx可知：当0a时，( )0fx，函数( )f x为(0,)上的增函数，函数( )f x无极值；当0a时，由( )0fx，解得xa；(0, )xa时
15、，( )0fx，( ,)xa时，( )0fx( ) f x在xa处取得极小值，且极小值为( )lnf aaaa，无极大值综上：当0a时，函数( )f x无极值当0a时，函数( )f x在xa处取得极小值lnaaa，无极大值18 （本小题满分 13 分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为129,.A AA和129,.B BB，连结iOB，过iA做x轴的垂线与iOB交于点*(,19)iP iNi （1）求证：点*(,19)iP iNi 都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；（2）过点C做直线l与抛物
16、线E交于不同的两点,M N，若OCM与OCN的面积比为4:1，求直线l的方程本小题主要考查抛物线的性质直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想函数与方程思想满分 13分解：（）依题意，过*(,19) iA iNi且与 x 轴垂直的直线方程为xi(10, )iBi，直线iOB的方程为10iyx设iP坐标为( , )x y，由10 xiiyx得：2110yx，即210 xy，*(,19) iP iNi都在同一条抛物线上，且抛物线E方程为210 xy（）依题意：直线l的斜率存在，设直线l的方程为10ykx由21010ykxxy得2101000
17、xkx此时2100+4000 k，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N xy，则121210100 xxkxx4OCMOCNSS124xx又120 xx，124 xx分别带入21010ykxxy，解得32 k直线l的方程为3+102 yx，即32200 xy或3 +2200 xy19 （本小题满分 13 分）如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，侧棱1AAABCD 底面，/ /ABDC，11AA ，3ABk，4ADk，5BCk，6DCk(0)k （1）求证：11;CDADD A 平面（2）若直线1AA与平面1ABC所成角的正弦值为67，求k的值
18、；（3）现将与四棱柱1111ABCDABC D形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为( )f k，写出( )f k的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线直线与平面的位置关系柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力推理论证能力运算求解能力，考查数形结合思想分类与整合思想化归与转化思想，满分 13 分解：（）取CD中点E，连接BE/ /ABDEQ，3ABDEk四边形ABED为平行四边形/ /BEAD且4BEADk在BCE
19、V中，4 ,3 ,5BEk CEk BCkQ222BECEBC90BEC,即BECD，又/ /BEADQ，所以CDAD1AA Q平面ABCD，CD 平面ABCD1AACD，又1AAADAI，CD平面11ADD A（）以D为原点，1,DA DC DDuu u r uuu r uuur的方向为, ,x y z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4 ,0,0)Ak，(0,6 ,0)Ck，1(4 ,3 ,1)Bkk，1(4 ,0,1)Ak所以( 4 ,6 ,0)ACkk uuu r，1(0,3 ,1)ABkuuu r，1(0,0,1)AA uuu r设平面1ABC的法向量( , , )nx y z
20、，则由100AC nAB nuuu ruuu r得46030kxkykyz取2y ，得(3,2, 6 )nk设1AA与平面1ABC所成角为，则111,sin|cos,| |AA nAA nAAn uuu ruuu ruuu r26673613kk，解得1k 故所求k的值为 1（）共有4种不同的方案2257226 ,018( )53636 ,18kkkf kkk k20 （本小题满分 14 分）已知函数( )sin()(0,0)f xx 的周期为，图像的一个对称中心为(,0)4，将函数( )f x图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，在将所得图像向右平移2个单位长度后得到函
21、数( )g x的图像（1）求函数( )f x与( )g x的解析式；（2）是否存在0(,)6 4x ，使得0000(), (),() ()f xg xf x g x按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0 x的个数；若不存在，说明理由（3）求实数a与正整数n，使得( )( )( )F xf xag x在(0,)n内恰有 2013 个零点本小题主要考查同角三角函数的基本关系三角恒等变换三角函数的图像与性质函数函数的导数函数的零点不等式等基础知识，考查运算求解能力抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想化归与转化思想，满分 14分解：（）由函数( )sin()f xx的周期为
22、，0，得2又曲线( )yf x的一个对称中心为(,0)4，(0, )故()sin(2)044f，得2，所以( )cos2f xx将函数( )f x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cosyx的图象，再将cosyx的图象向右平移2个单位长度后得到函数( )sing xx（）当(,)6 4x 时，12sin22x，10cos22x所以sincos2sin cos2xxxx问题转化为方程2cos2sinsin cos2xxxx在(,)6 4 内是否有解设( )sinsincos22cos2G xxxxx，(,)6 4x 则( )coscos cos22sin2 (2sin )G
23、 xxxxxx因为(,)6 4x ，所以( )0G x，( )G x在(,)6 4 内单调递增又1()064G ，2()042G且函数( )G x的图象连续不断，故可知函数( )G x在(,)6 4 内存在唯一零点0 x，即存在唯一的0(,)6 4x 满足题意（）依题意，( )sincos2F xaxx，令( )sincos20F xaxx当sin0 x ，即()xkkZ时，cos21x ，从而()xkkZ不是方程( )0F x 的解，所以方程( )0F x 等价于关于x的方程cos2sinxax ，()xkkZ现研究(0, )( ,2 )xU时方程解的情况令cos2( )sinxh xx ，
24、(0, )( ,2 )xU则问题转化为研究直线ya与曲线( )yh x在(0, )( ,2 )xU的交点情况22cos (2sin1)( )sinxxh xx，令( )0h x，得2x或32x当x变化时，( )h x和( )h x变化情况如下表x(0,)22(, )23( ,)2323(,2 )2( )h x00( )h xZ11Z当0 x 且x趋近于0时，( )h x趋向于当x且x趋近于时，( )h x趋向于当x且x趋近于时，( )h x趋向于当2x且x趋近于2时，( )h x趋向于故当1a 时，直线ya与曲线( )yh x在(0, )内有无交点，在( ,2 )内有2个交点；当1a 时，直线
25、ya与曲线( )yh x在(0, )内有2个交点，在( ,2 )内无交点；当11a 时，直线ya与曲线( )yh x在(0, )内有2个交点，在( ,2 )内有2个交点由函数( )h x的周期性，可知当1a 时，直线ya与曲线( )yh x在(0,)n内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线ya与曲线( )yh x在(0,)n内恰有2013个交点；当1a 时，直线ya与曲线( )yh x在(0, )( ,2 )U内有3个交点，由周期性，20133 671 ，所以671 21342n 综上，当1a ，1342n 时，函数( )( )( )F xf xag x在(0,)n内恰有2013个零点
26、21 （本题满分 14 分）（1） （本小题满分 7 分）矩阵与变换已知直线:1l axy在矩阵1201A对应的变换作用下变为直线:1lxby（1）求实数, a b的值；（2）若点00(,)p xy在直线l上，且0000 xxAyy，求点p的坐标本小题主要考查矩阵矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力考查化归与转化思想满分 7 分解：解：（）设直线:1l axy上任意一点( , )M x y在矩阵A对应的变换作用下的像是( ,)Mx y由12201xxxyyyy，得2xxyyy 又点( ,)Mx y在l上，所以1xby，即(2)1xby依题意121ab，解得11ab （）由0000 xxAyy
27、，得000002xxyyy解得00y 又点00(,)P xy在直线l上，所以01x 故点P的坐标为(1,0)（2） （本小题满分 7 分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系已知点A的极坐标为( 2,)4，直线l的极坐标方程为cos()4a，且点A在直线l上（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆 c 的参数方程为1 cossinxy ， （为参数） ，试判断直线l与圆的位置关系本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化圆的参数方程等基础知识考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分 7 分解：（）由点( 2,)4A在直线cos()4a上，可得2
28、a 所以直线l的方程可化为cossin2从而直线l的直角坐标方程为20 xy（）由已知得圆C的直角坐标方程为22(1)1xy所以圆心为(1,0)，半径1r 以为圆心到直线的距离212d ，所以直线与圆相交（3） （本小题满分 7 分）不等式选讲设不等式*2()xa aN的解集为A，且32A，12A（1）求a的值；（2）求函数( )2f xxax的最小值本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分 7 分解：（）因为32A，且12A，所以322a，且122a解得1322a，又因为*aN，所以1a （）因为|1|2| |(1)(2)| 3xxxx当且仅当(1)(2)0 xx，即12x 时取得等号，所以( )f x的最小值为3