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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）卷）数学（文科）数学（文科）试卷总评试卷总评2013 年安徽文科卷相对于年安徽文科卷相对于 2012 年安徽文科卷的难度来说有所加大。年安徽文科卷的难度来说有所加大。从试卷命题特点方面：（从试卷命题特点方面：（1）对主干知识（函数、数列、圆锥曲线、立体几何、三角函）对主干知识（函数、数列、圆锥曲线、立体几何、三角函数、概率统计）的重点考查，尤其是函数，考了四道小题，一道大题，而且函数小题两道数、概率统计）的重点考查，尤其是函数，考了四道小题，一道大题，而且函数小题两道是以压轴题的形式出现；（是以压轴题的形式出
2、现；（2）注重能力的考查：一方面在知识的交汇处命题，如第）注重能力的考查：一方面在知识的交汇处命题，如第 19 题；题；另一方面重视对数学能力和思想方法的考查，如计算能力考查（第另一方面重视对数学能力和思想方法的考查，如计算能力考查（第 9,13,17,21 题）题） ，转化思，转化思想的考查（第想的考查（第 8,10,20 题）题） ，数形结合的考查（第，数形结合的考查（第 6，8，10 题）等等；（题）等等；（3）注重理论联系）注重理论联系实际，如第实际，如第 17 题概率统计；（题概率统计；（4）注重对创新意识的考查，如第）注重对创新意识的考查，如第 21 题。题。从试卷难度方面：选择填
3、空跟以往的试卷一样从易到难，但在做的过程中不是那么顺从试卷难度方面：选择填空跟以往的试卷一样从易到难，但在做的过程中不是那么顺畅。第畅。第 1 题考查复数，难度不大；第题考查复数，难度不大；第 2 题考查集合的交与补以及不等式求法；第题考查集合的交与补以及不等式求法；第 3 题程序题程序框图，简单；第框图，简单；第 4 题充分必要条件，容易题；第题充分必要条件，容易题；第 5 题古典概型，只要考生能够理解题意，题古典概型，只要考生能够理解题意，基本没问题；第基本没问题；第 6 题直线与圆的方程，考查圆中弦长的求法，第题直线与圆的方程，考查圆中弦长的求法，第 7 题等差数列基本量的求题等差数列基
4、本量的求解，简单；第解，简单；第 11 题考查函数定义域的求法，简单；第题考查函数定义域的求法，简单；第 12 题常规的线性规划题，难度不大；题常规的线性规划题，难度不大；第第 14 题，抽象函数解析式的求解，难度中等。选择题第题，抽象函数解析式的求解，难度中等。选择题第 8,9,10 题，填空题第题，填空题第 13,15 题难度题难度加大。第加大。第 8 题考查函数转化思想以及数形结合，难度很大，考生不一定能想到方法；第题考查函数转化思想以及数形结合，难度很大，考生不一定能想到方法；第 9题三角函数，对正弦余弦定理的考查，计算量大；第题三角函数，对正弦余弦定理的考查，计算量大；第 10 题函
5、数零点的考查，难度很大，不题函数零点的考查，难度很大，不容易做好；第容易做好；第 13 题平面向量，数量积的运算，需要细心；第题平面向量，数量积的运算，需要细心；第 15 题立体几何的截面问题，题立体几何的截面问题，是考生平时学习中最不容易弄明白的地方。大题第是考生平时学习中最不容易弄明白的地方。大题第 16 题三角函数：容易，主要考查恒等变题三角函数：容易，主要考查恒等变形，三角函数图像变换，考生需注意图像变换时语言的描叙；大题第形，三角函数图像变换，考生需注意图像变换时语言的描叙；大题第 17 题概率统计：难度题概率统计：难度不大，对计算的要求很高，在那种高压环境下必须有个良好的心态才能做
6、好；大题第不大，对计算的要求很高，在那种高压环境下必须有个良好的心态才能做好；大题第 18 题题立体几何：难度中等，常规性的考查了三棱锥体积的求法，在选择顶点的过程中，需要考立体几何：难度中等，常规性的考查了三棱锥体积的求法，在选择顶点的过程中，需要考生注意看清垂直关系；大题第生注意看清垂直关系；大题第 19 题数列：综合性强，将函数求导利用到数列求通项中，只题数列：综合性强，将函数求导利用到数列求通项中，只要学生能够细心，拿下这道题还是没有问题的；大题第要学生能够细心，拿下这道题还是没有问题的；大题第 20 题函数：题型新颖，考查考生对题函数：题型新颖，考查考生对新问题冷静处理的能力，对区间
7、长度的准确理解；大题第新问题冷静处理的能力，对区间长度的准确理解；大题第 21 题：难度较大，计算量大，点题：难度较大，计算量大，点比较多，也容易把考生绕进去，要将这题做好，需要一定的计算基本功。比较多，也容易把考生绕进去，要将这题做好，需要一定的计算基本功。详细解析详细解析一选择题选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设i是虚数单位，若复数10()3aaRi是纯虚数，则a的值为（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案答案】D【解析解析】iaiaiaiiaiiiaia)3()3(10)3(109)3(10)
8、3)(3()3(103102，所以 a=3，故选择 D【考点定位考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.（2）已知|10 ,2, 1,0,1Ax xB ，则()RC AB（）（A）2, 1（B） 2（C）1,0,1（D） 0,1【答案答案】A【解析解析】A：1x，1|xxACR，2, 1)(BACR，所以答案选 A【考点定位考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A）34（B）16（C）1112（D）2524【答案答案】C【解析解析】21210, 0, 2ssn；434121,21, 4ssn；12116143,43, 6s
9、sn1211, 8sn，输出所以答案选择 C【考点定位考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.（4） “(21)0 xx”是“0 x ”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案答案】B【解析解析】210, 0) 12(或xxx，所以答案选择 B【考点定位考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.（2）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（A）23(B)25(C)35（D）910【答案答案】D【解析解析】总的可能性有 10 种，甲被录用乙没被录用的可能性 3
10、种，乙被录用甲没被录用的可能性 3 种，甲乙都被录用的可能性 3 种，所以最后的概率333110p 【考点定位考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.（6）直线2550 xy 被圆22240 xyxy截得的弦长为（A）1（B）2（C）4（D）4 6【答案答案】C【解析解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离1+4-5+ 5=15d ，半径5r ，所以最后弦长为222 ( 5)14.【考点定位考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题.（7）设nS为等差数列 na的前n项和，8374,2Sa a ，则9a=（A）6（B）4（C）2（D）2【答
11、案答案】A【解析解析】188333636978()4420226aaSaaaaaadaad 【考点定位考点定位】考查等差数列通项公式和前 n 项公式的应用，以及数列基本量的求解.(8)函数( )yf x的图像如图所示，在区间, a b上可找到(2)n n 个不同的数12,nx xx，使得1212()()()nnf xf xf xxxx，则n的取值范围为(A)2,3(B)2,3,4(C)3,4(D)3,4,5【答案答案】B【解析解析】1111()()00f xf xxx表示11( ,()xf x到原点的斜率；1212()()()nnf xf xf xxxx表示1122( ,() (,()(,()
12、nnxf xxf xxf x，与原点连线的斜率，而1122( ,() (,()(,()nnxf xxf xxf x，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有 3 个，故选 B.【考点定位考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.(9)设ABC的内角, ,A B C所对边的长分别为, ,a b c，若2 ,3sin5sinbcaAB,则角C=(A)3(B)23(C)34(D)56【答案答案】B【解析解析】BAsin5sin3由正弦定理，所以baba35,53即；因为acb2，所以ac37，212cos222abcbaC，所以32C，答案选择 B【考点定位考点定位
13、】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.（10）已知函数32( )f xxaxbxc有两个极值点12,x x，若112()f xxx，则关于x的方程23( ( )2( )0f xaf xb的不同实根个数为（A）3(B)4(C)5(D)6【答案答案】A【解析解析】2( )32fxxaxb，12,x x是方程2320 xaxb的两根，由23( ( )2( )0f xaf xb，则又两个( )f x使得等式成立，11()xf x，211()xxf x，其函数图象如下：如图则有 3 个交点，故选 A.【考点定位考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.2填空题（11）函数21ln(1)1y
14、xx的定义域为_.【答案答案】0,1【解析解析】2110011011xxxxx 或，求交集之后得x的取值范围0,1【考点定位考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于 0，分母不为 0，偶次根式底下大于等于 0.（12）若非负数变量, x y满足约束条件124xyxy ，则xy的最大值为_.【答案答案】4【解析解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4,0)时，404zxy，取得最大值.【考点定位考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时z取最大.（13）若非零向量, a b 满足32abab，则, a b 夹角的余弦值为_.【答案答案】13【解析
15、解析】等式平方得：2222944ababa b 则22244| | |cosaaba b ，即22044 3| | cosbb 得1cos3 【考点定位考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.（14）定义在R上的函数( )f x满足(1)2 ( )f xf x.若当01x时。( )(1)f xxx，则当10 x 时，( )f x=_.【答案答案】(1)( )2x xf x 【解析解析】当10 x ，则01 1x ，故(1)(1)(11)(1)f xxxx x 又(1)2 ( )f xf x，所以(1)( )2x xf x 【考点定位考点定位】考查抽象函数解析式的求解.（15
16、）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点, ,A P Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） 。当102CQ时，S为四边形当12CQ 时，S为等腰梯形当34CQ 时，S与11C D的交点R满足113C R 当314CQ时，S为六边形当1CQ 时，S的面积为62【答案答案】【解析解析】 （1）12CQ ，S 等腰梯形，正确，图如下：（2）1CQ ，S 是菱形，面积为36222，正确，图如下：（3）34CQ ，画图如下：113C R ，正确（4）314CQ，如图是五边形，不正确；（5）102CQ，
17、如下图，是四边形，故正确【考点定位考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。3解答题（16） （本小题满分 12 分）设函数( )sinsin()3f xxx.（）求( )f x的最小值，并求使( )f x取得最小值的x的集合；（）不画图，说明函数( )yf x的图像可由sinyx的图象经过怎样的变化得到.【解析解析】 （1）3sincos3cossinsin)(xxxxfxxxxxcos23sin23cos23sin21sin)6sin(3)6sin()23()23(22xx当1)6sin(x时，3)(minxf，此时)( ,234,2236Zkkxkx所以，)(xf的最小值
18、为3，此时 x 的集合,234|Zkkxx.(1)xysin横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得xysin3；然后xysin3向左平移6个单位，得)6sin(3)(xxf【考点定位考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.（17） （本小题满分（本小题满分 12 分）分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 30 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：甲乙7455332533855433310060691122335866221100700
19、22233669754428115582090（）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60 分及 60 分以上为及格） ；（）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x，估计12xx的值.【解析解析】 （1）30300.056000.05nn255306p （2）1740 1350 42460 92670 92280 5290 230 x =2084302540 1450 3 1760 103370 102080 59030 x =2069302120842069150.5303030 xx
20、【考点定位考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力.（18） （本小题满分（本小题满分 12 分）分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 2 的菱形，60BAD.已知2,6PBPDPA.（）证明：PCBD（）若E为PA的中点，求三菱锥PBCE的体积.【解析解析】（1）证明：连接,BD AC交于O点PBPDPOBD又ABCD是菱形BDAC而ACPOOBD面PACBDPC(2)由（1）BD面PAC45sin3262121PACPECSS=32236111132322P BECB PECPECVVSBO 【考点定位考点定位】考查空间直线
21、与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力.（19） （本小题满分 13 分）设数列 na满足12a ，248aa,且对任意*nN，函数1212( )()cos -sinnnnnnf xaaaxax ax满足()02f()求数列 na的通项公式；（）若122nnnaba（），求数列 nb的前n项和nS.【解析解析】由12a 248aa1212( )()cos -sinnnnnnf xaaaxax ax1212-sin-cosnnnnnfxaaaax ax（）121()-02nnnnfaaaa所以，122nnnaaa na是等差数列.而12a
22、 34a 1d 2-1 11nann （）（2）111122121222nnnannbann （）（）（）111-2 2122121-2nnnnS（）（）21=31-2131-2nnn nnn（）【考点定位考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.（20） （本小题满分 13 分）设函数22( )(1)f xaxax，其中0a ，区间|( )0Ix f x.（）求I的长度（注：区间( ,) 的长度定义为；（）给定常数0,1k，当11kak 时，求I长度的最小值.【解析】（1）令2( )- 10f xx aax（）解得10 x
23、221axa2|01aIxxa I的长度212-1axxa（2）0,1k则0112kak 由（1）21aIa22210(1)aIa，则01a故I关于a在(1,1)k上单调递增，在(1,1)k上单调递减.1221-1-2211-kkIkkk22111kIk（）min21-22kIkk【考点定位考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.（21） （本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为 4，且过点( 23)P，.（）求椭圆 C 的方程；（）设0000(,)(0)Q xyx y 为椭圆C上一点，过点Q作x轴的
24、垂线，垂足为E。取点(0,2 2)A,连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D。点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由.【解析解析】（1）因为椭圆过点( 23)P，22231ab且222abc28a 24b 24c 椭圆 C 的方程是22184xy（2）由题意，各点的坐标如上图所示，则QG的直线方程：0000808xxyyxx化简得20000(8)80 x y xxyy又220028xy，所以00280 x xy y带入22184xy求得最后0 所以直线QG与椭圆只有一个公共点.【考点定位考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力.