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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页，时量页，时量 120 分钟，满分分钟，满分 150 分。分。一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.1.复数1ziiiA为虚数单位在复平面上对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】
2、z=i(1+i)=i1,所以对应点(-1,1).选 B选 B2.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法【答案】D【解析】因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。选 D3.在锐角中ABC，角,A B所对的边长分别为 , a b.若2 sin3 ,aBbA则角等于A12B6C4D3【答案】D【解析】3=A 223 =sinA sinB3 = sinB2sinA :上b3=2asinB上A，选 D4.若变量
3、, x y满足约束条件211yxxyy ，2xy则的最大值是A5-2B0C53D52【答案】C【解析】区域为三角形，直线 u=x+2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(u选 C5.函数 2lnf xx的图像与函数 245g xxx 的图像的交点个数为A3B2C1D0【答案】B【解析】二次函数 245g xxx 的图像开口向上，在 x 轴上方，对称轴为x=2，g(2)=1；f(2)=2ln2=ln41.所以 g(2)f(2),从图像上可知交点个数为 2选 B6.已知 , a b是单位向量，0a b A.若向量c满足1,cabc则的取值范围是A2-1,2+1，B2-1,2+2，C1,2+1
4、，D1,2+2，【答案】A【解析】向量之差的向量与即一个模为单位c2. 1|c-)ba ( |ba-c| ,2|ba|上上上上b, a的模为 1，可以在单位圆中解得12|1-2 c。选 A7已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A1B2 C2-12D2+12【答案】C【解析】由题知，正方体的棱长为 1，121-2.2, 1 2, 1 1而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。选 C8.在等腰三角形ABC中，=4AB AC ，点P是边AB上异于,A B的一点，光线从点P出发，经,BC CA发射后又回到原点P（如图1）.若光线
5、QR 经过ABC的中心，则AP等A2B1C83D43【答案】D【解析】使用解析法。).34,34(32).2 , 2(),0 ,(OOABCDBCxP处，在中线的的重心的中点设) 1(3) 12(4,) 1(3)2(4(),1 (34, 0(34)34(,kkkkQkRxkykRQ则其方程为的斜率为设直线。0) 1)(12(1, 0,) 1(3)2(4) 12(4,3) 1(4kkkkkkkxkkkkkQPRPQPRP由题知3421(01xkxk，舍）选 D二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答小题，考生作答 7 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 35 分分.（
6、一）选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy中，若,3cos ,:(t)C:2sinxtxlytay 为参数过椭圆()为参数的右顶点，则常数a的值为 3 .【答案】3【解析】303)0 , 3(149,:22aayxCaxyl的右顶点程：椭圆方方程直线10.已知222, ,236,49a b cabcabc则的最小值为 12 .【答案】12【解析】.考察柯西不等式12943631211)3()2()111 (2222222222cbacbacba）（时，取最小值且当32, 1, 2cba.11.如图 2，在半径为7 的OA中,
7、弦,2,AB CDP PAPB相交于点1PDO ，则圆心到弦C D 的距离为 .【答案】23【解析】23)2(5, 422PCrdCDDCPCPCDPPBAP的距离，圆心到由相交弦定理得（一） 必做题（12-16 题）12.若209,Tx dxT则常数的值为 3 .【答案】3【解析】393330302TTxdxxTT13.执行如图 3 所示的程序框图，如果输入1,2,aba则输出的的值为 9 .【答案】9【解析】922221a14设12,F F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点，P 是 C 上一点，若216 ,PFPFa且12PFF的最小内角为30，则 C 的离心率为_。【
8、答案】3【解析】设 P 点在右支上，anamanmanmPFnPFm2,426|,|,|21则23)3(4182441630cos:.302222121accaacacaFPFFPF由余弦定理得中，由题知，3ace15设nS为数列na的前 n 项和，1( 1),2nnnnSanN 则（1）3a _；（2）12100SSS_。【答案】3【解析】设 P 点在右支上，anamanmanmPFnPFm2,426|,|,|21则16设函数( ),0,0.xxxf xabccacb其中（1）记集合( , , ), ,Ma b c a b ca不能构成一个三角形的三条边长，且=b，则( , , )a b c
9、M所对应的( )f x的零点的取值集合为_ 10( ，_。【答案】 10( ，【解析】acxaccaccaxfabacacxxxxxln2ln2)(0 1)(22)(2,，令由题知 10(ln2ln, 0ln2ln2ln2ln02lnln. 2，又acxacacac。所以 f(x)的零点集合为 10( ，（2）若, ,a b cABC是的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号） ,1 ,0;xf x ,xxxxRxa b c 使不能构成一个三角形的三条边长；若 1,2 ,0.ABCxf x 为钝角三角形，则使【答案】【解析】01)()(1)()(),1 ,(, 1, 1,1)
10、()()(11ccbacbcacbcaxcbcacbcacxfxxxxx1所以正确。.2, 1, 1, 2, 1, 1边长不能构成三角形的三条则令xxxcbacbax所以正确。0-)2(, 0) 1 (; 0-222222cbafcbafcba，则令若三角形为钝角三角形0)(),2 , 1 (xfx使。所以正确。三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）已知函数2( )sin()cos(). ( )2sin632xf xxxg x。（I）若是第一象限角
11、，且3 3( )5f。求( )g的值；（II）求使( )( )f xg x成立的 x 的取值集合。【答案】 （I）51（II）Zkkk,322 ,2【解析】 （I）533sin3)(sin3sin23cos21cos21sin23)(fxxxxxxf.51cos12sin2)(,54cos)2, 0(,53sin2g且（II）21)6sin(cos21sin23cos1sin3)()(xxxxxxgxfZkkkxkkx,322 ,2652 ,626.(完)18 （本小题满分 12 分）某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株
12、相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。【答案】 （）92p（）46)(YE【解析】()由图知，三角形边界共有 12 个格点,内部共有 3 个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有 0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1 对格点，共 8 对格点恰好“相近”。所以，
13、从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率923128P（）三角形共有 15 个格点。与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个，坐标分别为(4,0),(0,4)。154)51(YP所以与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个，坐标分别为(0,0),(1,3),(2,2),(3,1)。154)48(YP所以与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个，坐标分别为(1,0),(2,0),(3,0),(0，1,),(0，2),(0，3,)。156)45(YP所以与周围格点的距离不超过 1 米的格点数
14、都是 4 个的格点有 3 个，坐标分别为(1，1),(1,2),(2,1)。153)42(YP所以如下表所示：46156901512627019210215342156451544815251)(YE46)(YE.(完)19 （本小题满分 12 分）如图 5，在直棱柱1111/ABCDABC DADBC中，190 ,1,3.BADACBD BCADAA（I）证明：1ACB D；（II）求直线111BCACD与平面所成角的正弦值。【答案】 （）见下（）721【解析】()X1234Y51484542频数2463概率 P152154156153ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD1111
15、11,面且面是直棱柱DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC11111,，面。面且又.(证毕)（）。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线111111,/ACDADACDCBADBCCB轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向XADYABABDACyBDyACyCyBDDA),0 , 3(),0 , 1 ()0 , 1 (),0 , 0(),3 , 0 , 3(),0 , 0 , 3(,00 , 01，则，设).3 , 0 , 3(),0 , 3, 1 (. 30, 003012ADACyyyBDAC），（），（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.00
16、,111ADnACDADnACnnACD7213733|,cos|sin003,313-1ADnADnACD），（），（的一个法向量平面72111夹角的正弦值为与平面所以ACDBD。(完)20 （本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径成为 M到 N 的一条“L 路径”。如图 6 所示的路径1231MM M M NMN N与路径都是 M 到 N 的“L 路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOy 内三点(3,20), ( 10,0),(14,0)ABC处。现计划在 x 轴上方区域（包含 x 轴）内的某一点 P 处修建一个文
17、化中心。（I）写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明） ；（II）若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区， “L 路径”不能进入保护区，请确定点 P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小。【答案】 （）d=|x3|+|y20|，., 0Rxy（）当点 P(x,y)满足 P(3,1)时,其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小为 45【解析】. 0),(yyxP且设点()dLAP路径”的最短距离的“到点点)20, 3(,|20 -y | + |3 -x | d垂直距离，即等于水平距离，其中., 0Rxy（）本问考查分析解决应用问题的能力
18、，以及绝对值的基本知识。点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值 d=水平距离之和的最小值 h+垂直距离之和的最小值 v。且 h 和 v 互不影响。显然当 y=1 时，v=20+1=21；时显然当14,10 x，水平距离之和 h=x(-10)+14x+|x-3|24,且当 x=3 时，h=24.因此,当 P(3,1)时，d=21+24=45.所以，当点 P(x,y)满足 P(3,1)时,点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和 d 的最小值为 45.21 （本小题满分 13 分）过抛物线2:2(0)E xpy p的焦点 F 作斜率分别为12,k k的两条不同的直线1
19、2,l l，且122kk，1lE与相交于点 A，B，2lE与相交于点 C，D。以 AB，CD 为直径的圆 M，圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l。（I）若120,0kk，证明；22FM FNP A；（II）若点 M 到直线l的距离的最小值为7 55，求抛物线 E 的方程。【答案】 （）见下（）yx162【解析】()，设),(),(),(),(),(),().2, 0(3434121244332211yxNyxMyxDyxCyxByxApF02,221211pxpkxEpxkyl：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121pkpkF
20、Mppkypkxxxpxxpkxx),(2,2,222223422134pkpkFNppkypkxxx同理.) 1(2121222221221kkkkppkkpkkFNFM222121221212121212) 11 (1) 1(, 122 , 0, 0ppkkkkpFNFMkkkkkkkkkk所以，22pFNFM成立.(证毕)（）,)2(221)2()2(21,212121121ppkppkpypyprrrNM的半径分别为、设圆,2上上,221211ppkrppkr.,21rrNM的半径分别为、设圆则21212212)()(ryyxxNM的方程分别为、，的方程为：，直线lryyxx22234
21、234)()(0-)(2)(2222123421223421212341234rryyxxyyyxxx.0)(-()()()(2)(212123412341234123412212212rrrryyyyxxxxykkpxkkp02)(1)()(2)(2)(2222121222222122212212212212kkkkpkkkkpkkpykkpxkkp0202)(1)(222212221yxkkpkkppyx55758751)41()41(2|512|52|),(212112121212ppkkpyxdlyxM的距离到直线点yxp1682抛物线的方程为.(完)22 （本小题满分 13 分）已知
22、0a ，函数( )2xaf xxa。（I） ；记( )0,4f xa在区间上的最大值为g( ),求ag( )的表达式；（II）是否存在a，使函数( )yf x在区间0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。【答案】 （）时当时当), 1 (,21 1 , 0(,243-1g(a)aaaa（）)21, 0(【解析】时，是单调递减的。当时，是单调递增的。或当axaaxaaxaxaxaxaxaaxaxxfa2,231-2,2,23-12)(, 0()21231-)0(4 , 0)(4aafxxfa为上单调递减，其最大值在时，由上知，当上单调递增
23、。上单调递减，在在时，当4 , 0)(4aaxfa );0()(4 , 1 (,4 , 1 (,21)0(243-1)4(fagaafaaf的最大值为时，即当解得：令)4()( 1 , 0(faga的最大值为时，当 时当时当), 1 (,21 1 , 0(,243-1上上上g(a)aaaa（II）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点),(),(2211yxQyxP满足题目要求，则 P,Q 分别在两个图像上，且1)( )( 21xfxf。402,)2(3,2,)2(3)( 22aaxaaxaaxaxaxaxf时当时或当不妨设)2)(2(38 ,(), 0(, 1)2(3)2(321212221axaxaaxaxaxaaxa824230242334)(202222222122121xaaaxaaxaaxaaxaxaaxxaxx)21, 0(40311642432434216222424328214230222222aaaaaaaaxaxaaxxaaxax，且所以，当)21, 0(a时，函数( )yf x在区间0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直.(完)