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1、“妙”题“巧”解优秀获奖科研论文 2008高考，我最欣赏的一道数学试题是江西卷理科第10题.试题如下. 连接球面上两点的线段称为球的弦.如下图，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M，N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点M弦AB、CD可能相交于点NMN的最大值为5MN的最小值为1其中真命题的个数为（）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 分析：四个命题的判断实际上是两个问题，可分开处理.主要针对两条动弦的位置可能作出判断，可看做问题（1）；而解决的关键是求出MN的取值范围，作为问题（2）.由题设易得OM=3
2、，ON=2，可合理使用. 1. 类比法 将空间问题平面化，此题可追溯到平面中的两个结论： （1）在圆中两动弦可能相交于短弦的中点，但不可能相交于长弦的中点. （2）平面上两动点M、N到定点O分别为定长d1、d2，则当O、M、N三点共线时MN取得最值：M、N同侧时MN取得最小值，M、N异侧时MN取得最大值. 结论（1）利用反证法说明：假设弦AB、CD相交于点N. AB2=4（R2-OM2），CD2=4（R2-ON2）， 在RtOMN中，OM AB2>CD2，即AB>CD. 与已知AB 结论（2）则是显而易见的，不需要证明，据此很容易选对答案. 以下方法易解决问题（2）. 点评：类比是
3、一种方法，更是一种合情推理能力，新课标要求学生掌握这种能力并体现在解题过程中，高中阶段最典型的类比类型是等差到等比，平面到空间，关键是学生在感悟中深刻体会，在实践中加强锻炼. 2. 轨迹法 将动点问题轨迹化，动点M、N的轨迹为以3、2为半径的两个同心球.M、N在运动的过程中不难发现则当M、N与球心O三点共线时MN取得最值：M、N在O同侧时MN取得最小值1，即两半径之差；M、N在O异侧时MN取得最大值5，即两半径之和. 点评：轨迹思想是解决动点问题的不二法门，把一些比较复杂的问题几何化，借助于形的直观性，很容易作出判断或者求解. 3. 向量法 由已知推导得=3，=2，=-.下面可以用两种方法推导
4、结果.由三角不等式或者两边平方都可以推导出MN的最值. 方法一：由三角不等式知：-+，即1-5.max=5，min=1. 方法二：将=-两边直接平方，得 2=-2=(-)2=2+2-2=13-12cosMON. cosMON-1，1，21，25即，15. 点评：向量单独的知识点在高考中所占的份额一般不大，但是向量往往却可以作为工具使用，具有很强的兼容性，三角、解析几何与向量的完美结合开拓了视野，丰富了解法，更体现了不同知识章节之间的联系. 4. 三角法 由余弦定理MN2=OM2+ON2-2OMONcosMON=14-12cosMON=13-12cosMON. 根据cosMON易得MN1，5. 点评：此法与向量法中的方法二颇为类似，但出发点是不同的.脱去已知条件所穿着的“沉重的大衣”，直接瞄准目标，用O、M、N三点的关系来求解MN的最值，这种解法关键在于化归思想. 本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的“妙”题，而解法的丰富多彩给学生留下了一个自由发挥的广阔探索空间，学生在探索的过程中收获着乐趣和成功，没有比巧妙解决掉一个问题所带来的充实和自豪感更美妙的了，有幸碰到这样一道“奇妙”的问题，让学生有了用武之地，思维一旦打开，智慧的火花必将灿烂夺目.如此“妙”题，不愧是我最欣赏的一道数学试题啊！