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1、-1-核心素养测评核心素养测评 五十五五十五圆锥曲线的范围问题圆锥曲线的范围问题(2525 分钟分钟5050 分分)一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)1.已知点(1,2)是双曲线-=1(ab0)上一点,则其离心率的取值范围为()A.(1,)B.C.(,+)D.【解析】选 C.由已知得-=1,所以=b2+4,e=,所以 e.2.已知 A,B 为椭圆+=1 上的两个动点,M(-1,0),且满足 MAMB,则的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选 C.A,B 为椭圆+=1 上的两个动点,M(-1,0)为其左焦点.MAMB,则有=0.=(-)=.设 A(x,y),则 y2=3(1-).=(
2、x+1)2+y2=(x+1)2+3(1-)=x2+2x+4=(x+4)2.-2-由 x-2,2,得=(x+4)21,9.3.已知椭圆 C1:+=1(ab0)与圆 C2:x2+y2=b2,若在椭圆 C1上存在点 P,使得由点 P 所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆 C1的离心率的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选 C.由椭圆上长轴端点向圆作两条切线 PA、PB,则两切线形成的角为APB,若椭圆C1上存在点 P 令切线互相垂直,则只需APB90,即=APO45,所以 sin=sin45=,解得 a22c2,所以 e2,即 e.而 0e1,所以e4),点 A(-2,2)是椭圆内一点,B(0
3、,-2),若椭圆上存在一点 P,使得|PA|+|PB|=8,则 m 的范围是_;当 m 取得最大值时,椭圆的离心率为_.【解析】显然椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆的半焦距为 c,则 c=2,故 B 为椭圆的下焦点,设椭圆的上焦点为 F(0,2),则由椭圆定义可知|PF|+|PB|=2a,因为|PA|+|PB|=8,所以|PA|=8-|PB|,于是|PA|-|PF|=|8-|PB|-|PF|=|8-2a|,-4-又|PA|-|PF|AF|=2,所以|8-2a|2,解得:3a5,即 35,所以 9m25.又 A(-2,2)在椭圆内部,所以+4,解得 m6+2.综上可得:6+20)上一点 M(m,9
4、)到其焦点 F 的距离为 10.世纪金榜导学号(1)求抛物线 C 的方程.(2)设过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,且抛物线在 A,B 两点处的切线分别交 x 轴于P,Q 两点,求|AP|BQ|的取值范围.【解析】(1)已知 M(m,9)到焦点 F 的距离为 10,则点 M 到准线的距离为 10.因为抛物线的准线为 y=-,所以 9+=10,解得 p=2,所以抛物线的方程为 x2=4y.-5-(2)由已知可判断直线 l 的斜率存在,设斜率为 k,因为 F(0,1),则 l:y=kx+1.设 A,B,由消去 y 得,x2-4kx-4=0,所以 x1+x2=4k,x1x2=
5、-4.由于抛物线 C 也是函数 y=x2的图象,且 y=x,则 PA:y-=x1(x-x1).令 y=0,解得 x=x1,所以 P,从而|AP|=.同理可得|BQ|=,所以|AP|BQ|=2.因为 k20,所以|AP|BQ|的取值范围为2,+).8.已知椭圆 C1,抛物线 C2的焦点均在 x 轴上,C1的中心和 C2的顶点均为原点 O,从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是(3,-2),(-2,0),(4,-4),.世纪金榜导学号(1)求 C1,C2的标准方程.(2)过点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C1交于不同的两点 A,B,且AOB 为钝角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 的斜率 k
6、 的取值范围.【解析】(1)由题意,抛物线的顶点为原点,设椭圆方程为+=1(ab0),所以点(-2,0)一定在椭圆上,且 a=2,则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于 2,-6-所以也在椭圆上,+=1,b2=1,故椭圆标准方程为+y2=1,所 以 点(3,-2)、(4,-4)在 抛 物 线 上,且 抛 物 线 开 口 向 右,设 其 方 程 为y2=2px(p0),12=6p,p=2,所以方程为 y2=4x.(2)当直线 l 斜率不存在时,易知 A,O,B 三点共线,不符合题意.当 l 斜率存在时,设l:y=kx+2,A(x1,x2),B(x2,y2),x2+4(kx+2)2-4=0,(4k2+1)x2+16kx+12=0,令=(16k)2-48(4k2+1)0,256k2-192k2-480,64k248,k,=(x1,y1),=(x2,y2),x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-+=,令=x1x2+y1y2=16,k2.综上:k2.