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1、人教版八年级数学上册导学案 第十三章轴对称 13.4课题学习最短路径问题【学习目标】1掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题。2理解图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。3通过对这个实际问题的解决，体会数学的应用价值。【课前预习】1一个等腰三角形的周长为40 cm,以一边为边作等边三角形,这个等边三角形周长为45 cm,那么这个等腰三角形的底边长为()A15 cm B10 cm C30 cm或10 cm D15 cm或10 cm2下列命题中,不正确的是()A关于某条直线对称的两个三角形全等B若两个图形关于直线对称,则对称轴是对应点连线的垂直平分线C等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角
2、的平分线重合D两个全等的三角形不一定是轴对称图形3如图，在ABC中，AB=3，AC=4，ABAC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则ABP周长的最小值是（ ）A6B7C8D124如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为（ ）A7.5B8.5C10.5D13.55如图，在ABC中，ACBC8，ACB120°，BD平分ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（）A2B4C5D6【学习探究】自主学习阅读课本，完
3、成下列问题1.两点之间，_最短。2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中_最短。3 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_。4平移性质：(1)平移前后图形的形状和大小_。(2)对应点连线_。 5.（1）如图，已知直线L的两侧有两村庄A、B，若要在L上找一点到两村庄的路程最短，应怎样选址？（2）如图，已知直线L的同侧有两村庄A、B。若要在L上找一点到两村庄的路程相等，应怎样选址？若要在L上找一点到两村庄的路程最短，应怎样选址？（3） 造桥选址问题：如图，A、B两地在綦河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在
4、何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。互学探究探究（一） 最短路径问题1.从课本P85我们可以知道：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的 即为所求。2.自学反馈：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M.N分别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M.N的距离之和最短？探究（二） 运用轴对称解决距离最短问题1. 直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的 ，连接对称点与另一个点，则与该直线的 即为所求2.自学反馈：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M.
5、N分别表示位于公路AB的同侧，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M.N的距离之和最短？探究（三）利用平移确定最短路径选址1.解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过 的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题。2.自学反馈：如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？课堂小结（一）最短路径问题。（1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求。（2）求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直
6、线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求。（二）运用轴对称解决距离最短问题。运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同。（三）利用平移确定最短路径选址。解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题。【课后练习】1如图，在ABC中，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（ ）A10B11C12D1
7、32如图，在五边形中，在，上分别找一点，使得的周长最小时，则的度数为（ ）A55°B56°C57°D58°3如图，四边形中， 在上分别找一点M、N，使周长最小，则的度数为（ ）ABCD4如图，在中，点、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（ ）A0B1C2D35如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点若，当取得最小值时，则的度数为（ ）A15°B25°C30°D45°6如图，ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC
8、+PE的和最小时，ACP=_7如图，在RtABC中，ACB90°，B30°，BC8，AD是BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_8如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BDM的周长的最小值为_9如图，在中，ABAC，BC4，面积是10AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则PBF周长的最小值为_10如图，等腰ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点F、E，若点D为BC边上的中点，M为线段上一动点，则BDM的周长的最小值是_【参考答案】【课前预习】1D 2C 3B 4D 5B【课后练习】1C 2B 3D 4C 5C6307488971010