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1、-1-江苏省南通市江苏省南通市 2018-20192018-2019 学年高一数学下学期期末考试试题学年高一数学下学期期末考试试题（含解析含解析）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1.已知集合Mxx0，Nxx0，则()A.MNB.MUNRC.MND.NM【答案】C【解析】【分析】根据具有包含关系的两个集合的交集与并集的性质求得结果.【详解】因为|0,|0Mx xNx x，所以有MN，所以有MNM，MNN，所以只有
2、 C 是正确的，故选 C.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有判断两集合的关系，具备包含关系的两集合的交并运算的性质，属于简单题目.2.函数()1 2xf x 的定义域为()A.（一，0B.0，）C.（0，）D.（，）【答案】A【解析】【分析】根据偶次根式的条件，借助于指数函数的单调性求得结果.【详解】由题意得120 x，解得0 x，所以函数的定义域是(,0，故选 A.【点睛】该题考查的是有关函数定义域的求解问题，属于简单题目.-2-3.在ABC中，M是BC的中点若AB a，BC b，则AM()A.1()2abB.1()2abC.12abD.12ab【答案】D【解析】【分析】根
3、据向量的加法的几何意义即可求得结果.【详解】在ABC中，M是BC的中点，又,ABa BCb ，所以1122AMABBMABBCab ，故选 D.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.4.在平面直角坐标系xoy中，已知直线l上的一点向右平移 2 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为()A.2B.12C.12D.2【答案】A【解析】【分析】首先设出直线l上的一点00(,)P xy，进而求得移动变换之后点00(2,4)P xy，根据点在直线上，利用两点斜率坐标公式求得斜率0000422yykxx，从而求得结果.【详解】根
4、据题意，设点00(,)P xy是直线l上的一点，将点00(,)P xy向右平移 2 个单位后再向下平移 4 个单位得到点00(2,4)P xy，由已知有：点00(2,4)P xy仍在该直线上，所以直线l的斜率0000422yykxx，-3-所以直线l的斜率为2，故选 A.【点睛】该题考查的是有关直线的斜率问题，涉及到的知识点有平移变换，两点斜率坐标公式，属于简单题目.5.已知函数()f xsinx与()cos(2)()22g xx的图象的一个交点的横坐标为4，则()A.2B.4C.4D.2【答案】B【解析】【分析】首先根据题中的条件，得到()()44fg，从而求得2sin2，根据题中所给的22
5、，进而求得结果.【详解】由题意得()()44fg，所以2cos()22，所以2sin2，因为22，所以4，故选 B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有诱导公式，已知三角函数值求角，属于简单题目.6.下列说法正确的为如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行；如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线平行；如果两条直线同时平行于一个平面，那么这两条直线平行；-4-如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由平行线的传递性，根据公里四得到其正确性；如果两条直线同时垂直于第三条直线，则两直线可以平行，可以相交
6、，也可以异面，从而得到其错误；如果两条直线同时平行于一个平面，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面从而得到其错误；根据线面垂直的性质得到其正确性；从而得到正确的结果.【详解】由平行线的传递性：平行于同一直线的两直线平行，所以正确；如果两条直线同时垂直于第三条直线，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面，所以不正确；如果两条直线同时平行于一个平面，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面，所以不正确；垂直于同一平面的两直线平行，所以正确；所以正确的说法是，故选 D.【点睛】该题考查的是有关空间立体几何的问题，涉及到的知识点有直线平行的传递性，直线的垂直关系，线面平行，线面垂直，属于简单题目.7.
7、从两个班级各随机抽取 5 名学生测量身高（单位：cm)，甲班的数据为 169，162，150，160，159，乙班的数据为 180，160，150，150，165据此估计甲、乙两班学生的平均身高x甲,x乙及方差2s甲,2s乙的关系为()A.x甲x乙,2s甲2s乙B.x甲x乙,2s甲2s乙C.x甲x乙,2s甲2s乙D.x甲x乙,2s甲2s乙-5-【答案】C【解析】【分析】利用公式求得x甲和x乙，从而得到x甲和x乙的大小，观察两组数据的波动程度，可以得到2s甲与2s乙的大小，从而求得结果.【详解】甲班平均身高169 162 150 160 1591605x甲，乙班平均身高180 160 150 1
8、50 1651615x乙，所以xx甲乙，方差表示数据的波动，当波动越大时，方差越大，甲班的身高都差不多，波动比较小，而乙班身高差距则比加大，波动比较大，所以22ss乙甲，故选 C.【点睛】该题考查的是有关所给数据的平均数与方差的比较大小的问题，涉及到的知识点有平均数的公式，观察数据波动程度来衡量方差的大小，属于简单题目.8.函数ee(),(,0)(0,)2sinxxf xxx 的图象大致为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】-6-首先判断函数的定义域，结合()()fxf x，从而得到()f x为奇函数，得到函数图象关于原点对称，利用相应的自变量对应的函数值的变化趋势，从而将不满足条件
9、的项排除，从而求得结果.【详解】函数()f x定义域关于原点对称，()()fxf x，所以()f x为奇函数，图象关于原点对称，所以先排除 B，当0 x时，()f x ，排除 A，当x时，()f x ，排除 C，故选 D.【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，关于图象的选择问题，可以通过函数的定义域，函数图象的对称性，函数的单调性，函数值的符号，函数图象所过的特殊点，将正确选项选出来，属于中档题目.9.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A60，b10，则结合a的值解三角形有两解的为()A.a8B.a9C.a10D.a11【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理得到sinsin
10、bABa，分情况讨论，得到正确的结果.【详解】由正弦定理知sinsinbABa，由题意知，若ab，则60AB，只有一解；若ab，则 AB，只有一解；从而要使a的值解三角形有两解，则必有ba，且0sin1B，即sin5 31bAaa，解得5 3a，即275a，因此只有 B 选项符合条件，故选 B.【点睛】该题考查的是有关根据三角形的解的个数选择边长的可取值的问题，涉及到的知识-7-点有正弦定理，属于简单题目.10.己知函数()f x定义在R上的周期为 4 的奇函数，且当 0 x2 时，2()2f xxx，函数8()log|g xx，则方程()()f xg x的解的个数为()A.4B.6C.8D.
11、10【答案】C【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，画出函数()f x在区间0,2上的图象，利用对称性画出区间 2,0上的图象，利用函数的周期画出函数在区间 10,10上的图象，之后在同一坐标系中画出()g x的图象，利用两图象交点的个数求得结果.【详解】因为函数()f x定义在R上的周期为 4 的奇函数，且当 0 x2 时，2()2f xxx，所以画出函数()f x的图象，在同一坐标系中画出8()log|g xx的图象，如图所示：观察图象可知两个函数图象有 8 个交点，其中右边 3 个交点，左边 5 个交点，所以方程()()f xg x有 8 个解，故选 C.【点睛】该题考查的是有关方程解
12、的个数问题，在解题的过程中，将方程解 个数转化为函数图象交点的个数，涉及到的知识点有奇函数图象的对称性，函数的周期性，属于中档题目.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。11.已知角终边上一点P（-3，4），则 sin_-8-【答案】45【解析】【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】解：已知角 a 的终边经过点P3 4（，），2244sin534故答案为：45【点睛】本题主要考查三角函数的定义，熟记定义，即可求解，属于基础题型.12.已知平面向量,a b 的夹角为3，1,2ab，则a b _【答案】1【解析】【分析
13、】利用向量数量积的定义式求解即可.【详解】根据题意可得1cos1 2132a ba b ，故答案是 1.【点睛】该题考查的是有关平面向量数量积的求解问题，涉及到的知识点有平面向量数量积的定义式，属于简单题目.13.某校共有学生 1600 人，其中高一年级 400 人为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为 80 的样本，则应抽取高一学生_人【答案】20【解析】【分析】利用分层抽样方法直接求解.【详解】由题意，应抽取高一学生40080201600（人），故答案是 20.-9-【点睛】该题考查的是有关分层抽样中某层所抽个体数的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的
14、概率是相等的，列式求得结果，属于简单题目.14.在棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱B1B的中点，则三棱锥D1DEC1的体积为_.【答案】16【解析】【分析】首先根据题意，画出几何图形，之后将三棱锥的顶点和底面转换，利用等积法求得结果.【详解】根据题意，画出图形，如图所示：结合正方体的性质，以及椎体的体积公式，可以求得：1111111111326DDECE D DCVVDDDCBC，故答案是：16.【点睛】该题考查的是有关椎体体积的计算问题，涉及到的知识点有等级法求三棱锥的体积，椎体体积公式，属于简单题目.15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还
15、在农业生产中得到使用，如左下图假定在水流量稳定的情况下，半径为 3m的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为3rad/min的匀速圆周运动，平面示意图如右下图，己知筒车中心O到水面BC的距离为 2m，初始时刻其中一个盛水筒位于点P0处，且P0OA6（OA/BC)，则 8min后该盛水筒到水面的距离为_m-10-【答案】72【解析】【分析】由题意可得转动 8 分钟之后盛水桶所转过的角度，从而确定出其所在的位置，结合三角函数的有关知识，求得点 P 到水面的距离.【详解】根据题意可得，8 分钟后盛水桶所转过的角为8833，而除去一圈，82233，所以转 8 分钟之后P0所转到的位置 P 满足2
16、5366POA，所以点 P 到水面的距离5723sin62dm，故答案是：72.【点睛】该题考查的是有关三角函数的应用问题，涉及到的知识点有角速度的应用，三角函数的定义式，属于简单题目.16.过点P(t，t）作圆C：（x一 2)2y21 的两条切线，切点为A，B，若直线AB过点（2，18），则t_.【答案】8【解析】【分析】根据圆的方程得到圆 C 的圆心坐标和圆的半径，从而求得以CP为直径的圆的方程，将两圆方程相减，求得两圆公共弦所在直线的方程，根据直线过点的条件，得到关于t的等量关系式，最后求得结果.【详解】因为圆 C：22(2)1xy 的圆心为(2,0)C，(,)P t t，-11-所以以
17、CP为直径的圆的方程为(2)()()0 xxty yt，即22(2)20 xytxtyt，-可得：(2)320txtyt，即直线AB的方程为(2)320txtyt，因为直线AB过点1(2,)8，所以12(2)3208ttt，解得8t，故答案是：8.【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有以某条线段为直径的圆的方程，两圆的公共弦所在直线的方程，点在直线上的条件，属于中档题目.三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知点O（0，0），A（2，一 1），B（一
18、4，8）（1）若点C满足30ABBC ，求点C的坐标；（2）若OAkOB 与2OAOB 垂直，求k【答案】（1）2,5；（2）18k .【解析】【分析】（1）设出C点的坐标，利用终点减起点坐标求得AB 和BC 的坐标，利用向量运算坐标公式，得到,x y满足的条件求得结果；（2）利用向量坐标运算公式求得(24,1 8)OAkOBkk ，2(0,6)OAOB ，利用向量垂直的条件，得到等量关系式，求得结果.【详解】（1）因为2,1A，4,8B，所以(6,9)AB 设点C的坐标为,x y，则4,8BCxy 由3(36,315)0ABBCxy ，得360,3150,xy-12-解得2x ，5y，所以点
19、C的坐标为2,5（2）(24,1 8)OAkOBkk ，2(0,6)OAOB ，因为OAkOB 与2OAOB 垂直，所以(24)0(1 8)60kk ，解得18k .【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量坐标运算公式及法则，向量垂直的条件，数量积坐标公式，属于简单题目.18.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D为AC的中点，O为四边形B1C1CB的对角线的交点，ACBC1求证：（1）OD平面A1ABB1；（2）平面A1C1CA平面BC1D【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连结1AB，根据三棱柱的性质，得到四边形11BCCB为平行四边形，
20、从而得到O为1BC的中点，结合题的条件，得到1ODAB，利用线面平行的判定定理证得结果；（2）利用等腰三角形，得到BDAC，又因为1ACBC，之后应用线面垂直的判定定理证得AC 平面1BC D，再应用面面垂直的判定定理证得平面11ACCA 平面1BC D【详解】证明：（1）连结1AB，在三棱柱111ABCABC中，-13-四边形11BCCB为平行四边形，从而O为平行四边形11BCCB对角线的交点，所以O为1BC的中点又D是AC的中点，从而在1ACB，中，有1ODAB，又OD 平面11A ABB，1AB 平面11A ABB，所以OD平面11A ABB（2）在ABC中，因为ABBC，D为AC的中点
21、，所以BDAC又因为1ACBC，1BCBDB，1BC，BD 平面1BC D，所以AC 平面1BC D，因为AC 平面11ACCA，所以平面11ACCA 平面1BC D【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面垂直的判定，属于简单题目.19.如图，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，ABC是边长为 3 的等边三角形-14-（1）求AD；（2）求 sinDAB【答案】（1）7AD；（2）3 2114.【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及题的条件，得到60ACD，3AC，利用余弦定理求得AD的长度；（2）法 1：在ACD中，应用正弦定理求得sinADC的值，利
22、用同旁内角互补以及诱导公式求得 sinDAB的值；法 2：利用余弦定理求得cosDAC的值，利用同角三角函数关系求得sinDAC，利用正弦和角公式求得 sinDAB的值.【详解】（1）在梯形ABCD中，因为ABCD，ABC是边长为 3 的等边三角形，所以60ACD，3AC 在ACD中，由余弦定理，得2222cosADACCDAC CDACD22322 3 2 cos60 7，所以7AD（2）法 1：在ACD中，由正弦定理，得sinsinACADADCACD，结合（1）知，33 21sinsinsin60147ACADCACDAD因为ABCD，所以ADCDAB从而3 21sinsin()sin1
23、4DABADCADC法 2：在ACD中，由余弦定理，得222cos2ACADCDDACAC AD结合（1）知，2223722 7cos72 37DAC-15-从而222 721sin1 cos177DACDAC所以sinsin60DABDACsincos60cossin60DACDAC2112 7372723 2114【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有平行线的性质，余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，属于简单题目.20.己知点(0,0)O，直线l与圆C：（x一 1)2（y一 2）24 相交于A，B两点，且OAOB（1）若直线OA的方程为y一 3x，求直线OB被圆C截得
24、的弦长；（2）若直线l过点（0，2），求l的方程【答案】（1）6；（2）232yx .【解析】【分析】（1）根据题意，求得直线OB的方程13yx，利用点到直线的距离公式求得圆心1,2C到直线OB的距离，之后应用圆中的特殊三角形，求得弦长；（2）根据题意，可判断直线的斜率是存在的，设出其方程，与圆的方程联立，得到两根和与-16-两根积，根据OAOB，利用向量数量积等于零得到k所满足的等量关系式，求得结果.【详解】（1）因为直线OA的方程为3yx，OAOB，所以直线OB的方程13yx从而圆心1,2C到直线OB的距离为：2121032113所以直线OB被团C截得的弦长为：2102462（2）依题意，
25、直线l的斜率必存在，不妨设其为k，则l的方程为2ykx，又设11(,)A x y，22(,)B xy由222,(1)(2)4,ykxxy得221230kxx，所以12222xxk，12231x xk 从而212121 2122224y ykxkxk x xk xx所以2121212122412411kx xy ykx xk xxk因为OAOB，所以12120 x xy y，即24101kk，解得23k 所以l的方程为232yx 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，直线被圆截得的弦长，直线方程的求解，属于简单题目.21.已知某观光海域AB段的长度为 3 百公
26、里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里小时）（0v3）的以下数据：-17-v0123Q00.71.63.3为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Qav3bv2cv，Q05va，Qklogavb（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用【答 案】（1）选 择 函 数 模 型32Qavbvcv，函 数 解 析 式 为320.10.20.8(03)Qvvvv；（2）以 1 百公里/小时航行时可使AB段的航行
27、费用最少，且最少航行费用为 2.1 万元.【解析】【分析】（1）对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.【详解】（1）若选择函数模型0.5vQa，则该函数在0,3v上为单调减函数，这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型若选择函数模型logaQkvb，须0v，这与试验数据在0v 时有意义矛盾，所以不选择该函数模型从而只能选择函数模型32Qavbvcv，由试验数据得，0.7,8421.6,27933.3,abcabcabc，即0.7,420.8,9
28、31.1,abcabcabc，解得0.1,0.2,0.8,abc 故所求函数解析式为：320.10.20.8(03)Qvvvv（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元），则所需时间为3v（小时），其中03v，-18-结合（1）知，3230.10.20.8yvvvv20.317v所以当1v 时，min2.1y答：当该超级快艇以 1 百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为 21万元【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目.22.已知函数1,1()1,1,22axxxf xxxxx.（1）
29、若f(1）f(1)，求a，并直接写出函数()f x的单调增区间；（2）当a32时，是否存在实数x，使得()fx一()f x？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由【答案】（1）3a，单调增区间为(,2)，2,1；（2）2 个.【解析】【分析】（1）首先根据题中所给的函数解析式，利用 11ff，得到a所满足的等量关系式，求得a的值，从而得到函数的解析式，进而求得函数的单调增区间；（2）根据条件，结合函数解析式，分类讨论，分析性质，【详解】（1）由 11ff，得21 a ，解得3a 此时，函数13,1,()1,1,2.2x xxf xxxxx所以函数()f x的单调增区间为(,2)
30、，2,1（2）显然，0 x 不满足 fxfx；-19-若01x，则10 x ，由 fxfx，得1122xxxx ，化简，得22x ，无解：若1x，则1x ，由 fxfx，得112xaxxx ，化简，得32(21)220axaxx令32()(21)22g xaxaxx，32a当12x时，22()(2)2(1)0g xaxxxx；下面证明函数()g x在(2,)上是单调增函数任取12,(2,)x x，且12xx，则323221222111(21)22(21)22g xg xaxaxxaxaxx2221212121(21)2xxaxax xaxaxx由于22212121(21)2axax xaxax
31、x222112121122a xa xax xxxa221212311222aax xxxa211211132xxx x11 12 232 0，所以 210g xg x，即 21g xg x，故()g x在(2,)上是单调增函数。因为(2)60g ，3(3)91391302ga，所以(2)(3)0gg，又函数()g x的图象不间断，所以函数()g x在2,3上有且只有一个零点即当1x 时，有且只有一个实数x满足()()fxf x 因为当000 xx 满足()()fxf x 时，实数0 x也一定满足()()fxf x，即满足-20-()()fxf x 的根成对出现（互为相反数）；所以，所有满足()()fxf x 的实数x的个数为 2【点睛】该题考查的是有关函数解析式中参数的确定，分段函数的单调区间的求解，是否存在类问题的求解思路，分类讨论思想的应用，属于较难题目.