浅析多元函数的极值.doc

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1、浅析多元函数的极值摘要 函数的极值不仅在实际问题中有重要应用，而且也是函数性态的一个重要特征.本文首先了讨论一元函数极值定义、性质及判定，分析求函数极值的方法和依据.其次，从二元函数极值的定义、性质出发，对多元函数极值的求法进行讨论，总结多元函数极值的常用求法，如拉格朗日乘数法、代入消元法，并分别讨论这几种方法在应用时的注意事项，接着讨论多元函数的条件极值，着重讨论如何将其转化无条件极值问题，最后总结了多元函数极值的几种应用，如函数极值在考研数学、证明不等式、物理学中的应用，从而证明多元函数极值应用的广泛性，并给出相应的结论，以期对学习极值有助力.关键词 多元连续函数 极值 条件极值 无条件极

2、值 拉格朗日乘数法Analysis of extreme value of multivariate functionAbsract The extremum of function is not only an important application in practical problems, but also an important characteristic of function behavior. In this paper, the definition, properties and judgement of extreme value of function are

3、discussed. Secondly, starting from the definition and properties of the extremum of the function of two variables, the paper discusses the method of finding the extremum of the function of many variables, and sums up the common methods of finding the extremum of the function of many variables, such

4、as the Lagrange multiplier method, the substitution elimination method, then, it discusses the conditional extremum of multivariate function, especially how to transform it into unconditional extremum, finally, it summarizes several applications of the extremum of multivariate function, for example,

5、 the application of function extremum in mathematics, inequality and physics is proved, which proves the extensiveness of the application of multivariate function extremum, and gives the corresponding conclusion, so as to be helpful to study extremum.Key words Multivariate continuous function Extrem

6、e value Conditional extremum Unconditional extremum Lagrange multiplier目录引言11.一元函数的极值21.1极值定义21.2必要条件21.3充分条件22.二元函数的极值42.1无条件极值42.2条件极值62.2.1利用代入消元求取极值72.2.2利用拉格朗日乘数法求取极值83多元函数极值的应用103.1.求函数在约束条件下的最值103.2利用条件极值方法证明不等式113.3多元函数极值在考研数学中的应用123.4在物理学中的应用14总结16参考文献17致 谢18引 言函数极值问题是高等数学内容中一个重要的部分，在导数的应用中

7、起到桥梁的作用，同时也是研究函数性态变化的枢纽，在中学以及大学数学中的微分学部分有着十分广泛的应用.对函数在不同情形的极值问题作进一步研究，尤其是对函数是关于一元、二元以及多元的极值问题的讨论，有着重要意义.极值是数学中重要的概念，由于它是在某个局部或者整体区域上的最大或最小值，故它在实际生活里有十分广泛的应用，也是解决关于最小、最省方面问题的主要工具.在数学中关于函数极值的内容比较抽象，解题方法也多种多样，涉及到的知识也很多.在考试中，经常对函数极值的证明及应用进行考察.既可以从多元函数的一般性质和定理定义的角度解决问题；也可以根据题目给的条件，选择恰当的方法，如代入消元法以及拉格朗日乘数法

8、来解决问题.而正因为解题方法的不唯一，使得关于多元函数的极值问题变得十分综合，有利于培养学生的发散性思维和创新性思维，也能提升学生的解题和应用能力.对于一些问题的解决我们需要考虑其在理论上的最优方案，多元函数极值就有这样的作用，所以它就被不断的应用到实际的生活、生产等各个领域中，从而帮助人们解决问题.在多元函数极值的应用逐渐显得重要的今天，许多专家学者做了详细的研究和调查.函数极值可以追溯到早期的最小观念，十七世纪数学家费马提出了最小时间原理，这也是科学史中第一个变分原理.后面牛顿和莱布尼茨的微积分为探讨曲线性质提供了方法和手段，为变分法提供了数学技术上的支撑.在对使用微积分来解决几何和力学上

9、的问题时，一些区别于普通极值的极值问题被人们发现出来，如伯努利的最速降线问题和牛顿的最小阻力问题,这也是最早的关于多元函数极值的问题.2003年袁秀萍以正定二次型的理论给出多元函数极值的一个充分条件，分析了稳定点与极值点的关系8.陈玉会通过对局部极值的一些充分条件进行分析，给出了多元函数极值的高阶和一阶充分条件9.而对于使用拉格朗日乘数法解决多元函数的极值问题，杨秀玲给出了在一点取得极值的充分条件，并对拉格朗日乘数法进行了完善10.对于使用梯度內积法来求取函数极值，赵亚明对其进行了介绍和分析14.关于在限制条件下的方程组和不等式组中的问题，苏兴花从线性规划领域进行研究12.本文一共分成三个部分

10、，第一部分讲述一元函数极值，从极值的定义、必要条件和充分条件出发，分析极值点处应当满足的条件，如函数的极值点必是稳定点.然后总结了求一元函数极值的步骤.第二部分对二元函数极值进行分析，又可以细分为无条件极值和条件极值.无条件极值问题可以根据极值的充分条件来解决，条件极值问题最常用的解决方法是拉格朗日乘数法，文中详细分析了拉格朗日乘数法的解题步骤和要注意的前提条件.第三部分则对多元函数极值的应用进行探究，对多元函数极值在数学及其他科学领域给出相应的例题.文中着重探究考研数学对多元函数极值的考察，分析了从2004年到2020年的考研题目，并给出了考研中主要用到的解题方法.从中可以发现，考研对这部分

11、更多是对多元函数极值的定义以及其他一些特征进行考察.1.一元函数的极值1.1极值定义定义11P96 若函数在点的某邻域上对一切，有.则称函数在点取得极大（小）值，称点为极大（小）值点.极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.1.2必要条件定理11P142（费马定理） 设函数在点的某邻域上有定义，且在可导.若点为的极值点，则必有.费马定理告诉我们,可导函数的极值点必是稳定点，反之不成立.如在处取极小值，但它在该点处没有导数.1.3充分条件定理21P145 （极值的第一充分条件）设在点连续，在某邻域上可导.若当时，；当时，则在点取得极小值.若当时，；当时，则在点取得极大值.定理3

12、1P142 （极值的第二充分条件）设在的某邻域上一阶可导，在二阶可导，且，.若，则在取得极大值.若，则在取得极小值.证明 若，即，则存在，当时，.因此，当时，当时，.故函数在点处取得极大值.同理可证的情况.注 条件不可缺.一般函数求极值的步骤：（1） 令的导数，求出在定义域里的稳定点；（2） 求出在定义域中求导不存在的点；（3） 判断稳定点和不可导点是否为函数的极值点；（4） 求出极值.例1 求函数的极值点和极值.分析 本题可以根据求一般函数极值的步骤来解题.解 定义域为，当时，.令得，又.得在稳定点处，从而由极值的第二充分条件，知为函数的极小值点，相应的极小值为.注 如果，但时，函数在点不能

13、取得极值.当时，可以根据四阶导数符号来判断.下面对二元函数的极值的一些问题及解法的选择进行讨论. 2.二元函数的极值2.1无条件极值定义21P334 设函数在点的某邻域内有定义.若对任何点，成立不等式,则称函数在点取得极大（或极小）值，点称为的极大（或极小）值点.极大值、极小值统称极值6.极大值点、极小值点统称极值点11.从定义可以看出，若在点取得极值，则把进行固定，一元函数在点也必定可以求出相同的极值.同理，一元函数在点处也取同样的极值.根据分析可以得到二元函数取极值的必要条件.定理32P334（必要条件） 若函数在点存在偏导数，且在取得极值，则.证 不妨设函数在点处有极大值，可以根据定义，

14、对于点的某个邻域内不同于的点，都成立.特殊地，在该邻域中使但的点，都有.由此，可以得出一元函数在点处有极大值，再根据一元可导函数取得极值应当满足的条件，就得到.利用同样的方法，可以得到.定理41P335（充分条件） 设函数存在稳定点，且在的领域存在二阶连续偏导数，令，令.1）若，则是函数的极值点.（a），是的极小值点；（b），是的极大值点.2）若，则不为函数的极值点.证 当且时，根据式子可以得到的最小值为正，那么就可以将表示为.选取的足够小，可使得当时成立，因此，在邻域中，有，即函数在点处取得极小值.当且时，根据式子可以得到的最大值为负，那么就可以将表示为.选取的足够小，可使得当时成立.因此，

15、在邻域中，有，即函数在点处取得极大值.对于具有二阶连续偏导数的函数求极值的步骤：第一步 解方程组求出一切实数解，进而求出全部驻点；第二步 对于每个驻点，求出二阶偏导数的值，及；第三步 确定的符号，再判断点是否为极值点，再判断是极大值还是极小值.要利用充分条件判别二元函数的极值，需要先理解充分条件，即设在点的去心邻域有一阶和二阶的连续偏导数，并且偏导数满足和，那么需要令，就能够得到：时，存在极值；（1）若,存在极大值，（2）若,存在极小值.若,则不存在极值；若，不确定是否存在值. 从可微的角度探究二元连续函数的极值，不妨设二元连续函数的驻点或不可微分点为，该点足够小的自变量，的增量分别为和，使函

16、数在该点的去心邻域内可微3.约定附加条件：函数在点处微分取与，所以该区域任意点微分为.当时，函数的极大值点是，当时，函数的极小值点是.如果对于的值不能进行确定，则不为极值点13.例2（2020年全国硕士研究生入学统一考试） 求函数的极值.分析 本题考察二元函数的极值，先通过偏导数求出函数的稳定点，再根据二元函数极值的充分条件出发来判断在极值点处存在什么极值.解 解方程组，得稳定点或.又由于.在处，于是，故函数在无极值.在处，于是，由充分条件，函数在取极小值.综上函数有极小值.在求解函数的极值问题时，可以先求出函数对于两个变量的一阶偏导数，然后求出函数的稳定点，再判断稳定点是否为极值点以及是什么

17、极值点.2.2条件极值定义31P334 设且有，对于满足条件的某一对数满足条件的的所有都有,称函数在条件有极大（小）值，这种极值也称为条件极值.如果在中，两个变元或可以用另一个解析式进行表示，如，将它代入到中去，就有，这时有关二元函数的条件极值就被转换成关于一元函数无条件极值的相关问题.2.2.1利用代入消元求取极值微分学中通常利用代入消元法来求解多元函数条件极值问题，这个方法主要是把条件极值的相关问题转换为一般的极值问题,而在使用前要对约束条件中的一阶偏导数进行考察15.通过考察隐函数的存在定理发现：由，求出代入求极值时，则可能极值点处必满足条件.这就把代入过程中的条件给加强了，容易将定义域

18、中满足的可能极值点遗漏了4.所以对求取极值时要注意一些使的点. 例3 求函数在约束条件下下的极值.分析 利用代入消元法解决问题，可以从约束条件入手，得到隐函数，从而把题目转为求一元函数的无条件极值问题.解 由方程解出.将其代入，得.令得稳定点或.当时，有；当时，有.可以判断为函数的极小值点，极小值为.综上函数的极小值为.通过验证可以发现上述结论不完整.从几何的角度观察，旋转抛物线与抛物柱面所形成的交线，易得是极大值点，极大值是；是极小值点，极小值是.可以使用拉格朗日乘数法来比较求出的结果是否一致.但是为什么代入消元法会求出与拉格朗日乘数法不一样的结果？是因为在代入的过程中条件被加强了，这使得定

19、义域中令的点漏掉了.注 在上例中，由约束条件所给的函数为，从中可以轻易知道，这时我们可以选择消去的变量，这样在解题中就不会出现遗漏可能极值点的情况.若，则由约束条件解出代入消元；若，则由约束条件解出代入消元.如果或是否成立不能进行确认，那么在利用代入消元法求极值条件后，还应当检验在定义域中是否遗漏了那些满足或的可能存在的极值点.2.2.2利用拉格朗日乘数法求取极值为了解决代入消元法的弊端，解题中更多会引入拉格朗日乘数法3.就是为了求取在约束条件下的目标函数的极值，可以选择引入拉格朗日函数，把要求的二元函数极值问题变换为关于三元函数极值无条件的问题.在这种解题过程中，引入一个新的参数未知数，叫做

20、拉格朗日乘数.正常会通过拉格朗日乘数法来求二元函数的极值问题5.使用这种方法可以先构造一个“构造拉格朗日函数，将的条件极值化为的无条件极值”.由于满足多元函数中的隐函数存在性定理，可以得到拉格朗日乘数法应当满足的条件是：函数都连续，并且它们的偏导数存在.求取二元函数在附加条件下的极值的步骤，应当先行构造拉格朗日函数，其中为参数，求出其对和的一阶偏导数，并使之为零，然后和方程联立起来：. 由这个方程组解出、以及，这样得到的就是函数在附加条件下可能的极值点7.注 推广，在两个附加条件下的极值，求解二元函数在附加条件，下的极值点，应当先行构造拉格朗日函数.再对方程组进行求解：.可以得到驻点，即可能的

21、极值点.如果仅有一个驻点，那么可以通过实际问题直接确定这就是要求的点. 对于多个附加条件下的函数极值的推广，求函数在条件.限制下的极值.即求拉格朗日函数.的条件极值，极值的必要条件可表示为个方程的解：.从方程组求出未知数，即得函数的稳定点，然后再从有关实际问题的特性进行判断，以此判断稳定点与要求的极值点是否一致.例4 要做一个容量为的长方体冰柜，试问冰柜长、宽、高等于多少时所用材料最省？分析 从题目中可以观察到条件，再构造冰柜表面积的函数，问题就可以看做一个约束条件下的最值问题，可以通过构造拉格朗日函数来解决.解 设、分别表示长、宽、高，则问题为求使在条件下冰柜表面积最小，令.解方程组.得函数

22、的唯一驻点为，从而在驻点处取最小值.综述，当高为长，宽为长时，所用材料最省.3多元函数极值的应用对于多元函数的极值，它的应用方面十分的广泛，如可以用于证明不等式以及最值的求解.在其他方面，如物理学中的证明可以用到它.对于考研数学也对这方面的知识有考察，在近十五年中2009、2010、2012、2013、2014、2017、2020年考研数学都有对于多元函数极值的考察，分值都占到了十分，足以说明这这部分的重要性.3.1.求函数在约束条件下的最值例 5 求函数在条件约束下的最大、最小值.分析 本题考察函数在约束条件下的最值问题，可以通过拉格朗日乘数法求出稳定点，再以实际的问题情形来判断最大、最小值

23、.解 作拉格朗日函数，并令.由前三式得，代入第四式后又得.因为连续函数在有界闭集上必有最大值和最小值，而与是仅有的两个稳定点，故而它们就是函数的最大值点和最小值点.且，.综上函数的最大值和最小值分别是和.3.2利用条件极值方法证明不等式例6 通过条件极值来证明不等式.分析 对于证明不等式，可以将不等式的一边看做目标函数，另一边看做约束条件，就可以把不等式转为一个约束条件下的极值问题.证明 设目标函数为约束条件为:.令，并使.由前三式解出，代入第四式后得到稳定点.下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点.为简单起见，考虑在上的情形.由于为有界闭集，为连续函数，因此在上存在最大、最小值.首先，显然有

24、，这在上或或取得.而，且,故有.由此得到不等式，又因在上满足，把它代入上式，证得.3.3多元函数极值在考研数学中的应用关于考研数学中对多元函数极值的应用的考察较为频繁，在近十五年中，如2020，2017年在解答题都有对多元函数极值的考核，而所占及的分数多为十分，属于很重要的一部分知识点.例7（2017年全国硕士研究生招生考试数学） 已知函数由方程确定，求的极值. 分析 该题目要注意到是关于的函数，那么整个方程对进行求导，函数的极大值我们可以从极值的定义出发的出令，求出可能的极值点，然后再求方程的二阶导数，判断稳定点是否为极值点以及是什么极值点.解 根据求极值的一般步骤，由隐函数求导，有 令，则

25、可得.对求导，则有.在处，.所以当时，所以为函数的极大值点,并且有；当时，所以为函数的极小值点，.综上，函数的极大值为，极小值为.例8（2004全国硕士研究生入学统一考试） 设是由确定的函数，求的极值点和极值.分析 可能存在的极值点满足条件两个一阶偏导数为零，因此先求出函数的一阶偏导，并令其为零来确定极值点，再通过二阶偏导确定是什么极值，再求出相应的极值.解 因为，所以.令，得.故.将上式代入方程，可得，或.由于.所以在点处，.由且可知，点是函数的极小值点，极小值.在点处，有.由且可知，点是函数的极大值点，极大值为.综上，函数的极小值为，极大值为.3.4在物理学中的应用在物理学中有时也会用到函

26、数极值来进行证明.例9 试由费马定理：“光线总是按费时最短的路径传播”来证明镜面反射时，入射角等于反射角.如图1： 图1分析 根据示意图可以把角相等转到三角函数边的比值问题，然后构造拉格朗日函数，并求出最短路径下边的比值存在什么样的关系.解 令入射角、折射角分别为和，入射角何折射角起点与反射点的水平距离分别为和.垂直距离分别为和.令.由得.这表明.总 结函数的极值是函数一个重要的性质，它的用途十分广泛.在实际应用连续函数极值问题的时候，还应当掌握函数极值的求法，从根本上理解函数极值的意义，才能对函数极值有更深一步的认识以及真正利用函数极值进行实际问题的求解.对连续函数极值的问题进行求解时，因为

27、极值点大多是驻点或不可微点，所以在实际解题中可以利用求导来对函数的极值点进行判断，再求取函数极值点.面对有关多元函数条件极值的问题，要注意多元函数极值的必要条件和充分条件，并且多元函数的极值存在多种多样的解法，在微分学中更多使用代入消元法来求取多元函数的条件极值，但在应用是要考虑代入消元法本身的一些问题，在使用前，要对约束条件它的一阶偏导数进行分析，然后根据实际的解题情况选择应当消去的变量，把函数的条件极值问题转换成无条件极值问题，选择不当会发生遗漏掉部分极值点的问题.在解决关于多元函数里求取条件极值的时候，更多会选择使用拉格朗日乘数法解决问题，因为存在部分的条件极值十分不易把其变换为无条件极

28、值，这使得使用正常的方法很难解出问题，这时可以通过使用拉格朗日乘数法来对相关问题的处理.而且在约束条件较多的情况下拉格朗日乘数法也同样的适用，在文中对解决多个约束条件下的函数极值问题也给出了相应的分析以及解题的步骤.但是要注意拉格朗日乘数法也存在一些弊端，要关注拉格朗日乘数法解题的前提条件，知道求取极值的必要条件是拉格朗日乘数法，这并不是充要条件，因此还要关注条件极值点与求出的稳定点是否一致，在判断的过程中，可以根据实际解题中所面对的情形来进行判断.然后对于多元函数极值的应用，在最值相关的问题以及不等式的证明上多元函数的极值都有相关的涉及面，并且考研数学中对多元函数的极值也有考察.不仅仅局限于

29、这些方面，在物理学中，有时也会使用多元函数极值的相关知识来进行一些证明.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析（第四版上册）M.北京:高等教育出版社,2010,7.2裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京 高等教育出版社，1993.3朱鹏翚.关于连续函数极值求法的分析J.赤峰学院学报：自然科学版,2017(5):810.4方倩珊,吴全荣.多元函数条件极值的求法探究J.福建师大福清分校学报,2014(2):510.5刘美玲.拉格朗日乘数法在多元函数求极值中的应用探究J.文化创新比较研究,2019，3（25):121122.6赵泽福.多元函数极值的应用分析J.长春工业大学学报：自然科学版,20

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