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1、中学数学函数与方程思想应用研究摘要函数和方程在中学数学中是不可或缺的一部分，函数与方程思想是这两者深层次的升华。历年来的高考，对于数学思想的考查重点更多放在“函数与方程思想”上是一种趋势。学生对于该思想的掌握程度与能否提升学习效能、掌控高效率解题有着重要的联系。本文通过查阅与函数与方程思想相关的文献资料，对中学数学函数与方程思想的概念加以分析，再以近五年的高考题、模拟题为例，分析其中蕴含的函数与方程思想，探讨函数与方程思想的渗透以及对解决相关难题的方法和作用，获得了一些教学启示和培养解题思维的途径，希望能为高中生提升数学成绩作出一定贡献。关键词函数方程应用中学Applied Research
2、on Mathematics Function and Equation Thought in MiddleSchoolAbstractFunctions and equations are an indispensable part of middle school mathematics,whichare abstracted to a higher level to form the thought of functions and equations.Over the years ofcollege entrance examination,the focus of the exami
3、nation of mathematical thought is more on thefunction and equation thought is a trend.Students mastery of the idea is closely related to whetherthey can improve their learning efficiency and control their high efficiency in solving problems.In thispaper,through consulting documents and materials rel
4、ated to function and equation,the concept ofmiddle school mathematical function and equation analysis,and nearly five years of the universityentrance exam questions,simulation instance,analyses the implied function and equation of ideas,and to explore the infiltration of function and equation of tho
5、ughts to solve the related problem androle,and gained some enlightenment teaching and training the problem solving thinking way,hopesto improve high school students in math to make a certain contribution.KEY WORDSFunctionequationapplicationmiddle school目录引言引言.1 11 1 绪论绪论.1 11.1 研究背景.11.1.1 理论背景.11.1
6、.2 时代背景.11.2 研究现状.11.3 研究意义.21.4 研究内容和方法.22 2 理论基础理论基础.4 42.1 数学思想方法.42.2 函数与方程思想概述.42.2.1 函数和方程的发展.42.2.2 函数与方程思想的概念.52.3 普通高中课程标准中函数与方程部分解读.53 3 函数与方程思想的应用研究函数与方程思想的应用研究.6 63.1 函数与方程的转化.63.2 数列.63.3 不等式.73.4 圆锥曲线.83.5 高考压轴综合.8结论结论.1010参考文献参考文献.1111致谢致谢.1212第 1页引言素质教育浪潮下的数学教育，是要培养学生良好的数学能力和素养，数学思想方
7、法在其中起到了关键的推动作用，同时也是高考中的重要考查内容。函数与方程思想是中学数学中极其重要的思想，对于其研究相对其他数学思想方法来说很少，因此，研究该思想不仅可以为完善数学思想方法研究体系作出贡献，还有加强中学数学教学、培养学生解题思维的价值。1 绪论1.11.1 研究背景研究背景1.1.11.1.1 理论背景理论背景努瓦列斯这样说到过：“数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。”数学中令人着迷的不止是那充满挑战的问题，更为吸引人的就是隐藏在问题中的思想以及方法。进入新的世纪，我国对于数学这门课程不断加深改革，将重点放在了让学生从本质上学习数学，掌控其蕴藏的思想、精神以及方法，培养严格的理
8、性思维。1.1.21.1.2 时代背景时代背景近几年的高考，考察学生对于数学思想方法的掌握程度也成为了一种趋势，其中“函数与方程思想”占重要的一环，统计了 2016 年到 2019 年的高考题，与函数直接有联系的题占到了 18，加上与函数间接有关联的可以占到 40，而且这个比重每一年都相差不大。因此，掌握思想方法并学以致用，提高思维能力，这些不仅仅是顺应高考选拔的要求，更是响应了新时代素质教育的号召。1.21.2 研究现状研究现状随着人类文明的发展，古人为了让数学学习变得简便，提出了“证明”与“发现”的方法。几何原本最早提到了数学思想方法，20 世纪四五十年代，美国数学家波利亚发表的怎样解题、
9、数学与合情推理、数学的发现，其在书中提到的启发式原理一度成为了当时的数学方法论，意义巨大，影响深远。继波利亚之后，人们发现启发法也是一种技能学习，跳不出形式化的束缚，从而开始把着重点放在数学思想上，演变出了一种新的教育体系。我国的优秀数学家也发表了很多强调数学思想方法的书籍文章，例如数学方法论稿、数学学习与数学思想方法等等。“函数与方程思想”作为极其重要的一部分，一些优秀的学者对其在高考应用、上课实践教学、学第 2页情分析等方面作出了研究。日本教育家米山国藏研究发现通过教材反复把数学思想方法渗透给学生们，在日后抛弃了书本，忘记了知识，数学的精神思想还是会在工作生活中得以体现。刘佰秋探对某高中的
10、教师进行问卷调查，了解对该思想的认知情况，接着对近五年高考卷进行对比分析，总结了函数与方程思维的解题突破，探寻了高中独特的教学模式。又以自己所带班学生为统计对象，发现课堂氛围欢乐主动和成绩进步有直接联系1p18。罗建宇以中学中常见题型为例（方程组法，判别式法，构造函数与方程，换元法）分析该思想的应用，为学生建构模型提供帮助与建议2p19。蔡玉凤采用调查问卷研究学生对于函数与方程思想的掌握程度，且对其应用展开研究并探讨与其他常见思想方法之间的联系。还采用了测试卷法来找出学生对于函数问题的缺陷在哪，发现成绩间的差距从智力因素来看影响不是很大，数学能力的高低是决定性的因素3p22。涂钊榕结合认知主义
11、、建构主义以及 APOS 理论开展在课堂中渗透数学思想方法的研究。又以 2010年福建省的高考题为例，分析对比高考卷中函数与方程思想的体现，总结了一些解题策略4p22。孙杰通过实践总结对于数学思想方法的教学要超越冰冷的形式演绎体系，要密切联系数学文化背景，要让学生感到思想震撼5p217。谢明茹指出“函数与方程思想”在数学中的应用关键即是用数学语言将条件转化为数学模型，从而通过解方程和不等式或从函数的性质概念等等来使问题获解6p64。张焕焕通过文献综述，认为对于函数与方程学习现状、教学渗透策略还需要深入研究，使教师能够重视到“函数与方程思想”的教学来达到新课标的要求7p53。卓雅通过研究，发现函
12、数与方程思想主要在联系函数性质，解决求值、不等式、方程和参数取值范围以及建立函数解析式和构造辅助函数这两方面8p57。发展到现在，对于数学思想方法的论文数不胜数，但有关“函数与方程思想”的相对少，列举了以上几位对该思想的应用、教学等方面的指导比较有建设性，从还有一些收集的文献来看，对“函数与方程思想”的研究，绝大部分还是不够广深或是关注点较为单一，没有形成完整的体系。所以本文将根据新课改，把该思想在解题上的应用与教学结合起来研究。1.31.3 研究意义研究意义数学成绩受到了高中每一位师生的重视，由此可见数学的重要性，通过数学，领会数学思维的精髓和实质，学会那一套系统化逻辑化的方法，不单单有助于
13、拔高成绩，对今后的工作和生活也有着巨大的帮助。“函数”是高中的主线，涉及面之广。不少学生数学成绩的瓶颈突破不了，往往就是函数思想没有掌握好，解不了难题。正是如此，研究“函数与方程思想”，探索其教学和解题的应用，帮助学生第 3页突破困难，是一件很有必要的事。深刻理解函数，有助于让学生更清晰的理清学科结构，从而今后能在“第五层”看待数学，而不是“第二层”。1.41.4 研究内容和方法研究内容和方法本文对“函数与方程思想”深入研究，研究其概念、在高中解题时的应用、教学时如何渗透。希望能对学生在学习中提高分析发现解决“函数”问题的能力以及师生的课堂教学略尽绵薄之力。文献分析法：通过知网收集与“函数”“
14、数学思想方法”等方面的优秀文献，加上还有一些相关的教科书、辅导材料等等。运用文献分析法，提供权威的理论指导，使本研究内容可靠真实。应用研究法：搜集近五年的高考题、模拟卷题，总结该思想的解题应用。第 4页2 理论基础2.12.1 数学的思想与方法数学的思想与方法思想在现代汉语中通常用理性和感性的认识来解释，人们在思和想的时候会感受到运动的画面，时间成就了运动，随着时间的推移，万物只会向前发展而不会向后退化，思想也是如此，意识运动了就会往更高的层次去，其实就是意识在认识的基础上进行的往更深层次认识的运动。数学在历史的发展中扩散出了许许多多的分支，所谓的数学思想就是在认识这些分支的基础上通过思考分析
15、提炼而得到的最本质的数学精髓。方法的中文来自古代医学，古时某位皇帝得了重症，请了许多名医、江湖郎中来医治，却并无好转，一位僧人用了前医的药方，改变服药的方式，竟颇有效果。皇帝慨叹医药的人既要有方，也要有法啊。延续至今，方法一直与问题相关联，就像是一条路，可以把人带到问题的核心处去解决它。在百喻经口诵乘船法而不解用喻中，方法即为门径，办法之意。方法一词给不了精确的定义，但总的概括起来就是人们为满足需求目的等而用的措施与门路。数学方法即是数学活动中一些门路，是钻研数学的必要手段。数学方法和数学思想不可分割，方法需要操作，而思想孕育了着这类手法的产生，是方法的魂，思想作为更加抽象而虚无缥缈的意识，在
16、实际生活中，就需要方法来进行体现，因此，数学思想方法作为一个整体，要放在一起来说。2.22.2 函数与方程思想概述函数与方程思想概述2.2.12.2.1 函数和方程的发展函数和方程的发展早在古时，中国的许多数学名著就体现了函数与方程思想的问题，如九章算术、张丘建算经、孙子算经等等。函数的出现是数学史上一个重要的里程碑，它基本上渗透了数学的每一条分支，其作用可以说不可估量。它的概念在历史长河中不断的被精炼、深化。其起源自不定方程的研究，当时的罗马人对不定方程已有一定程度的研究。文艺复兴时期：“运动”成了当时学者非常感兴趣的问题，不久，一个从运动中被引申出的数学概念诞生了。17 世纪 70 年代，
17、笛卡尔发现了两个变量之间的依赖关系。牛顿在创立“微积分”时用流量来描述变量间的依赖关系且把曲线当作是运动轨迹。莱布尼茨用“函数”来描述任一个随着曲线上的点变动的量，他还引进了“常量”、“参变量”、“变量”等概念，可以说这是函数的“几何起源”。第 5页18 世纪欧拉结合贝努立的定义，给出：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”19 世纪迪力克蕾拓宽了函数概念，认为：“对于在某区间上的每一个确定的?值，?都有一个确定的值，那么?叫做?的函数。”这也是学生最开始接触的经典函数。近二十年，学者们使用集合论的语
18、言把“函数概念”变得更为广泛。最早出现的的一元一次方程被充满智慧的古埃及人求解，“试位法”就此诞生。而后，印度数学家们探索出了二次方程的解法，中国的九章算术中“方程”一章出现了完整的线性方程组解法。我国的天元术、四元术等为高次方程的解法也做出了贡献。到了 16 世纪，三次和四次方程均被攻克，而五次方程经过许多年的研究,被证明出无根式解。2.2.22.2.2 函数与方程思想的概念函数与方程思想的概念函数思想本质上是对函数概念的深化，函数广泛的来说是量与量之间的依赖关系，通俗点即自然界物质的变化法则，其思想即是从变化出发，通过建模分析解决问题。掌控函数思想在试题中能敏感迅速地在冗长的条件中分离出暗
19、含的数量关系，节省时间来为自己取得高分多争取机会；生活和工作中，事物间的联系也能轻松发现，便于提高我们处理某件事的效能。方程有两个条件：“未知数”和“等号”，为“未知”和“已知”架设了道路，而方程思想可比为如何建造这条路，铺好了路，才能从已知条件入手，走向未知，探出其量。函数与方程，一个讲变化，一个说等价，虽本质上不同，但细看变化为运动，等价为静止，动和静本身就能相互转化，因此，函数与方程也有着相互渗透相互转换的属性。比如一个函数的解析式通过移项可看作一个方程，一个二元的方程，两个量之间存在着函数关系，那么就可看作函数。对于思想而言，其本质是意识的流动，如流动的水，两条支流汇入主河相互渗透融合
20、。函数与方程正像这样，遵循自然规律，不可分割。“函数与方程思想”由此而来。2.32.3 普通高中课程标准中普通高中课程标准中“函数与方程思想函数与方程思想”部分的解读部分的解读高中的数学内容中，函数与基本初等函数这一块的学习需让学生在初中的基础上进一步的体会函数的定义和本质，感知“函数思想”，强调了本章要让学生会初步运用该思想解决问题9p20,在“数列”和“圆锥曲线与方程”中，直接指出函数同数列存在关系，圆锥曲线能用方程来表示。由此看出，函数与方程在高中的很多知识点中占据重要地位，应用广博，是学习的重点之一。第 6页3 函数与方程思想的应用研究3 3.1.1“函函”“方方”互化互化(模拟)1.
21、1.函数?t?,?,如果?存在两个零点,则?的取值范围是？分析：函数?存在两个零点等价为方程?有两个互异的根，方程移项后得到,?，这时此方程有两个异根亦可视为?与?的图像有两个交点。过程：准确画出两个函数图像，当?时，?，由图可知，要使图像有两个交点，需?，即?。(模拟)2 2.函数?，过点?t?作曲线的两条切线，可得到?t?，?t?两个切点?,在区间?t?上有唯一整数，求?的取值范围。解析：依据切线斜率即导数可得出方程?即?,图像有两条切线转化为方程有两个不等的实数根?，?，又?，列出不等式组解出?。将方程?化为函数?，因为?和?之间只有一个整数，又?，从函数?的图像上看，那个唯一整数即为
22、1，所以?，?，由不等式组解得?，综上，?t?。3 3.2.2 数列数列(高考)1.1.已知集合?t?tt?,?ttt?。将?的所有元素从小到大依次排列构成一个数列?t?。记?t为数列?t?的前 t 项和,则使得?t?t?成立的 t 的最小值为?解析：主要考查数列,数列作为特殊的离散化函数,其问题的解决也需要运用函数与方程思想。我们设?t?t?，?t?t,t?,则当?t?时,?,有?,则?。设?,则共有?个数,即?,而?,?，则?，则可得?、?、t、?t?的对应关系,我们可以观察到?时,?,而?时,?，则在 t?t?,t?时,存在 t 使得?t?t?,此时?,则当t?t?,t?时,?t?t?t
23、?t?t?,?t?t?t?,?t?t?t?,第 7页?t?t?t?t?t?,则 t?时,?t?t?，即t?t?。(高考)2 2.?t?是首项为?，公差为?的等差数列，?t?是首项为?，公比为?的等比数列。若?，?,?t?,证明：存在?，使?t?t?对 t?t?t t?均成立，并求?的取值范围10p99。解 析：?t?t?，?t?t?，若 存 在?，即?t?t?t?t?t t?t?t?t?t?，因为?t?,所以?t?，所以当?时，该式成立。接着看数列?t?t?,当?t?时，可计算出其后一项减前一项的值大于 0，由此可知此数列单调递增，则它的最大值为?，利用了数列的函数特征，很快求得。再看数列?t
24、?t?,建立函数?，?t?。?t?x?，可知?，所以此数列单调递减，有最小值?。对数列的单调性和最值问题，由函数特征建立模型，清晰了然，便于处理。3 3.3.3 不等式不等式(高考)1.1.若函数?的图像关于直线?对称,则?的最大值为？解析：这道题最容易想到的思路就是根据对称求?,?。但是高考压轴题通常有更好的妙解，我们用函数与方程思想来看,?或?是此函数的零点,关于?对称，所以?和?也是其零点,一瞬间可得?,此表达式是此题妙解的关键,发现求四次函数的最大值,高考对于四次函数并不要求,如果出现只有两种可能:换元降幂和求均值。再次利用函数与方程思想中的方程思想,将?变为?,这一步需要将方程思想和
25、?联系在一起,这样才能根据有定值直接使用均值快速得出?。(高考)2 2.若对任意实数?t?,都有?成立，则实数?的值为？解析：这道题可用分参或数形结合或泰勒展开等等方法来解，数学是务实的学科，不光要解题，还要寻求最好的思路和方法，此题的多种最佳方法都离不开函数的最值问题，这样的话我们用函数思想来看这个不等式，我们把左边的绝对值里面式子设为?,可以发现当令?时，?，那么右边的 1 就可看作?即?,函数中的最值我们都知道等于极值加边界,此最值不在边界 1 上，那么一定在极值处,直接对?求导,导函数在 0 处得 0,得?,?。(模拟)3.3.实数?，?满足?，则?的取值范围?解析：不等式可以转化成函
26、数图像，此不等式组即为三个图像的交汇区域，?的代数式又可视作此第 8页区域内的任一点与点?t?连线的斜率，从图像上来看，此斜率无最大值，点在?t?时，取最小值。(模拟)4.4.正实数?，?满足?,则?的最小值?解析：可将问题转变为函数的值域问题，利用方程，构造关于?的函数，得?，求导得到?在?t?上递减，在?t?上递增，有极小值?，且也是最小值。此题还可直接用基本不等式求解，但原式拆分有一定难度，在时不我待的考场中，寻求快速解答才是重中之重。3 3.4.4 圆锥曲线圆锥曲线(高考)1.1.判断直线?与椭圆?的位置关系。解析：联立消去未知数，转换成一元二次方程根的问题，跟的个数即交点个数，联立消
27、?得?，?，有两个不同的根即直线与椭圆相交。(高考)2.2.过点?t?的直线?与椭圆?：?交于?，?两个不同的点，点?关于?轴的对称点为点?,设直线?与?轴交于点?，判断?是否为定点，若是，求?的坐标。解析：设?：?，设?t?,?t?,则?t?。直线与椭圆联立消?得?,由韦达定理求出?，?.再从?,?,?共线出发，得到方程?,算出?，满足条件。?：?即过定点?t?,按题意知?t?。解析几何问题思路容易找,方向也较明确，但学生容易被多字母的代数式和运算劝退,方程思想的重要性可想而知，通过对部分方程的拆分或整体代换，再者通过辟如韦达定理等小公式辅助，往往会化繁为简，精炼计算。3.53.5 高考压轴
28、综合高考压轴综合(高考)1.1.设?,?是定义在上的两个周期函数,?的周期为 4,?的周期为 2,且?是奇函数。当?t?时,?,?,其中?。若在区间?t?上,关于?的方程?有 8 个不同的实数根,则?的取值范围是?解析：主要考查了函数?和函数?图象的性质,考查临界条件确定?的取值范围即可。这就又需要用到我们函数与方程的思想,当?t?时,?即?,?。?为奇函数其图像关于原点对称,其周期为 4,有 8 个实根即是转化为二者有 8 个交点。当?时,函数?与?的图像有 2 个交点,当?时,?的图象为恒过点?t?的直线,只需函数?与?的第 9页图象有 6 个交点,当?与?的图象相切时,圆心?t?到直线?
29、的距离为 1,即?，得?,函数?与?的图象有 3 个交点,当?过点?t?时,函数?与?的图象有 6 个交点,此时?,得?。综上可知满足?在?t?上有 8 个实根的?的取值范围为?t?。本题考查参数的取值范围,偏重函数方程的多个实根,正确画出函数图像很关键，这就还需将函数与方程思想将数形结合的思想结合起来，从函数的周期性入手，发挥数学联想和想象的能力，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，最后确定参数的取值范围。(高考)2.2.设?是定义在?上且周期为 1 的函数,在区间?t?上,?t?t?,其中集合?t?ttt?,则方程?的解的个数是?解析:本题还是考查函数综合和函数与方程。由于?t?,则
30、只考虑?的情况,在此范围内,?且?时,设?,?,?,?且?,?互质,若?,则由?t?,可设?t?,?,t?,?且?,t 互质,因此?t?,则?t?,此时左边为整数,右边非整数,矛盾,因此?,所以?不可能与每个周期内?对应的部分相等,只需考虑?与每个周期?部分的交点,结合图像,图中除点?t?外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期?部分,且?处?t?t?,则在?附近仅有一个交点。?时,?,?,所以根据图象可知,当?t?时,方程无解。因此方程解的个数为 8 个。第 10页结论本研究表明，数学思想方法是学习数学的核心，是探索永无止境的数学领域的基础条件，数学起源发展到现在，七大数学思想方法凝聚了几千
31、年的经验与智慧，相互联系与渗透。函数与方程不可分割，其思想占重要地位，在高中很多的内容中均有体现，但也要联系到其他思想方法，只有这样，对自己的帮助才是巨大的。通过观察搜集的模拟题和高考题，发现使用常规方法的话，两者基本上没有任何区别，都运用常规运算且复杂，但高考题的设置通常会有更快的解题方法。对于教学，学生自身对数学的兴趣是最重要的，只有真正喜欢了，才会去发挥自己的最大能力去学习，在传授数学知识时，收集各种相关资源创设情境，比如放一段介绍数学历史、数学家成就的小电影等，要让学生体会到钻研数学的激情与热血以及无可比拟的成就感，这样能很好地引领学生的主动学习，哪怕是点燃了学生的三分钟热度，也是有必
32、要的，久而久之就会产生持久的兴趣。函数与方程思想掌握的首要任务就是理解函数定义，不少教师还是以应付考试为主，函数定义一节内容不会深挖，这样做很容易造成学生对函数产生非?即?的思维定势，无法正确理解函数是数学学习上的巨大隐患。在教学中，教师应更加抓牢基础，时刻了解学生知识结构间的差异性，因材施教，为每一个学生对知识的深入思考提供有力支撑，留给他们更多自己思考的时空，使教学中对于思想方法的渗透与学生的感悟并驾齐驱，思想这种东西，“意会”比“言传”更有效。意会需要时间的洗礼，思想既然是意识朝着更高层次的运动，我们要把这个“运动”给他加加速，就需要学生发挥自己的能动性，多多练习才有更多的机会去体会到数
33、学知识间的内在，究出其本质，把思想方法内化到自己的认知结构中去。对于学生解题，拒绝用教师提供的“万能”法，名义上称“方法”，实则为“鱼”。没有“渔”的融入，这种套路式的方法是走不远的，说通俗点就是我会了但是我不懂。因此，自身在领悟了思想方法的基础上要改良题海战术，刷题寻找的不是题目类型的熟悉，而是思想方法的熟练运用。高考是选拔性的竞争，拉开别人差距的难题考验的就是对数学思想方法掌握到了多高的程度，是突破自己的关键项。数学思想方法为我们提供了众多思路，对思路选择的犹豫不决也是不倡导的，“人类最古老的恐惧是对未知的恐惧。”在遇到一道陌生的题时，总是会想这一条思路能否畅通，自身往往会被这种想法束缚住
34、，不敢尝试。要克服这种心理的话，平常的练习中多多强化一题多解的速度，训练自己做题每一条思路的清晰，每一个目标的明确，还能加强自己对产生结果的预估能力，排除不必要的方向。并且竞争也是一种很好的提升解题思维的方法，和自己的好朋友同学对于一道难题来进行比试，每个人都有好胜心，思维将被大大的激活，赛后分享思路解法，锻炼了自己也营造了好的数学氛围。第 11页参考文献1刘佰秋.函数与方程思想在普通高中教学中的实践研究D.东北师范大学硕士学位论文,2012.2罗建宇.函数与方程的思想在解题中的应用J.中学数学研究,2008(2):1922.3蔡玉凤.高中数学中函数与方程思想应用的研究D.苏州大学硕士专业学位
35、论文,2014.4涂利钊.高中数学中函数与方程思想的研究D.福建师范大学专业学位及其他非全日制研究生硕士学位论文,2012.5孙杰.数学思想教育研究论M.上海：新华出版社,2015.6谢明茹.妙借数学语言_转化数学模型_谈函数与方程思想在高中数学中的应用J.中学数学教学参考,2015(4):6465.7张焕焕.高中函数与方程思想方法学习现状与教学渗透策略研究文献综述J.亚太教育,2016(6):53.8卓雅.函数与方程思想在高中解题中的应用J.中学数学,2017(15):5759.9葛军.普通高中课程标准实验教科书数学（必修 1)M.江苏:江苏凤凰教育出版社,2012.10曲一线.5 年高考 3 年模拟 B 版M.北京:教育科学出版社:首都师范大学出版社,2012.6.第 12页