2006考研数一真题解析.pdf

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1、2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】2.【详解】由等价无穷小替换，0 x 时，21ln(1),1 cos2xxxx，2002ln(1)limlim11 cos2xxxxxxx=2(2)【答案】xCxe.【详解】分离变量，(1)dyyxdxx(1)dyxdxyx1(1)dydxyx1dydxdxyxlnlnyxxclnlnyx x cee xyCxe(3)【答案】2【详解】补一个曲面221:1xyz1,取上侧，则1 组成的封闭立体满足高斯公式，1()PQRdvPdydzQdzdxRdxdyIxyz 设,2

2、 ,3(1)Px Qy Rz，则1236PQRxyz I 6dxdydz(为锥面和平面1所围区域)6V(V为上述圆锥体体积)注注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积V方法方法 1：I623(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便)而123(1)0 xdydzydzdxzdxdy(在1上：1,0zdz)方法方法 2：先二重积分，后定积分.因为10VSdz，22rxy，222rxy，22rz，22Srz，所以1122001133Vz dzz.从而6623IV方法方法 3：利用球面坐标.1z 在球坐标下为：1cos，1224cos0006sinIddd 243002sincosdd24300

3、cos( 2)cosdd 422001( 2)()cos2d 202d方法方法 4：利用柱面坐标 .211006rIddrrdz21006(1)dr rdr122300116()23drr202d(4)【答案】2【详解】代入点000(,)P xyz到平面0AxByCzD的距离公式00022264029 1625AxByCzDdABC(5)【答案】2【详解】由已知条件2BABE变形得，2BAEB()2B AEE, 两边取行列式, 得()244B AEEE其中，211011212011 1A E，222 E4E 因此，2422EBAE.(6)【答案】1 9【详解】根据独立性原理：若事件1,nAA独

4、立，则 1212nnP AAAP A P AP A事件 max, 11,111X YXYXY，而随机变量X与Y均服从区间0,3上的均匀分布，有1011133P Xdx和1011133P Ydy. 又随机变量X与Y相互独立，所以，max( , )11,111Px yP xYP xP Y113319二、选择题二、选择题.(7)【答案】A【详解】方法方法 1： 图示法.因为( )0,fx则( )f x严格单调增加；因为( )0,fx则( )f x是凹函数，又0 x ，画2( )f xx的图形结合图形分析，就可以明显得出结论：0dyy.方法方法 2：用两次拉格朗日中值定理000()()()ydyf x

5、xf xfxx(前两项用拉氏定理)0( )()fxfxx(再用一次拉氏定理)0( )()fxx ,其中000,xxx x由于( )0fx，从而0ydy. 又由于0()0dyfxx，故选 A方法方法 3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：000( )( )( )()f xf xf xxx( )20000()()()()2!nnnfxfxxxxxRn，其中(1)00()()(1)!nnnfxRxxn. 此时n取 1 代入，可得20001()()()( )()02ydyf xxf xfxxfx 又由0()0dyfxx ，选( )A.Ox0 x0+xxyy=f(x)ydy(8)【答案】( )C【

6、详解】记1400( cos , sin )( , )Ddf rrrdrf x y dxdy，则区域D的极坐标表示是：01r，04. 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围(注意yx与221xy在第一象限的交点是2222（，）)，于是22:0,12Dyyxy所以，原式22120( , )yydyf x y dx. 因此选( )C(9) 【答案】D【详解】方法方法 1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为1nna收敛，所以11nna也收敛，所以11()nnna a收敛，从而112nnnaa也收敛.选 D.方法方法 2：记( 1

7、)nnan，则1nna收敛. 但111nnnan，(p级数，12p 级数发散)；11111nnnna an n(p级数，1p 级数发散)均发散。由排除法可知，应选 D.(10) 【答案】D【详解】方法方法 1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。已知00(,)0 xy，由( , )0 x y，在00,)xy（邻域，可确定隐函数( )yy x，满足00()y xy，dyxydx 。00,)xy（是( , )f x y在 条 件( , )0 x y下 的 一 个 极 值 点0 xx是( , ( )zf x y x的极值点。它的必要条件是000000(,)(,)x xx xf xyf xydzdyd

8、xxydx000000000(,)0(,)(,)(,)xyx xxyxyxyf x yfx y若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy，或00(,)0 xxy，因此不选( )A，( )B.若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy(否则00 x xdzdx). 因此选()D方法方法 2：用拉格朗日乘子法. 引入函数( , , )( , )( , )F x yf x yx y，有( , )( , )0(1)( , )( , )0(2)( , )0 xxxyyyFfx yx yFfx yx yFx y因为00(,)0yxy，所以0000(,)(,)yyfxyxy ，代入(1)得000

9、00000(,)(,)(,)(,)yxxyfxyxyfxyxy 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy，选()D(11)【答案】A【详解】方法方法 1：若12,s 线性相关, 则由线性相关定义存在不全为0的数12s,k kk使得11220sskkk为了得到12,sAAA的形式，用A左乘等式两边, 得11220ssk Ak Ak A于是存在不全为0的数12s,k kk使得成立，所以12,sAAA线性相关.方法方法2：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:1.12,s 线性相关12(,)srs ；2.()( )r ABr B.矩阵1212(,)(,)ssAAAA

10、 , 设12sB(,) ， 则由()( )r ABr B得1212(,)(,)ssr AAArs . 所以答案应该为(A).(12) 【答案】B【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出将A的第 2 行加到第 1 行得B，即110010001BA 记 PA将B的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C，即110010001CB 记 BQ因为PQ 110010001110010001E，故1QP E1P.从而11CBQBPPAP,故选(B).(13)【答案】C【详解】本题考条件概率的概念和概率的一般加法公式根据条件概率的定义，当( )0P B

11、时， 1P ABP A BP B得 P ABP B根据加法公式有 P ABP AP BP ABP A,故选(C)(14) 【答案】A.【详解】由于X与Y的分布不同，不能直接判断1| 1PX和2| 1P Y的大小与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。随机变量标准化，有11X(0,1)N，且其概率密度函数是偶函数. 所以11111(1)()XP XP11111111202 ()(0) 2 () 1XP .同理有，221(1)2 () 1P Y 因 为( ) x是 单 调 递 增 函 数 ， 当12| 1| 1PXP Y时 ，112 () 1 212 () 1，即1211，所以12，

12、故选(A).三、解答题三、解答题(15)【详解】积分区域对称于x轴，221xyyxy为y的奇函数，从而知2201Dxydxdyxy所以12120222021ln(1)ln21122DrIdxdyddrrxyr极坐标(16) 【详解】 (I) 由于0 x时，0sin xx， 于是10sinnnnxxx,说明数列 nx单调减少且0nx . 由单调有界准则知limnnx存在.记为A.递推公式两边取极限得sin,0AAA(II) 原式21sinlim()nxnnnxx=，为“1”型.因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑210sinlim()tttt210sinlim()tttt201sinlimln

13、()tttte2011( cossin )limsin2tttttttte30cossinlim2ttttte200cossincossinlimlim66ttt ttttttee16e所以2221111016sinsinlim()lim()lim()nnxxnnxnnxnnxxxxxxe=(17)【详解】用分解法转化为求11ax的展开式，而这是已知的.由于21111121)(2)3 12xxxxxx（11113 1612xx0011( 1)362nnnnnnxx(1)x 因此11011( )132nnnnf xx(1)x .(18)【详解】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目

14、中给的等式就可以了22222222;zxzyfxyfxyxyxyxy2222222222222222xxyxyzxfxyfxyxxyxy2222223 22222xyfxyfxyxyxy同理22222223 222222zyxfxyfxyyxyxy代入22220zzxy，得222222()0fxyfxyxy，所以( )( )0f ufuu成立.(II) 令( )f up于是上述方程成为dppduu ，则dpducpu ，即lnlnpuc ，所以( )cf upu因为(1)1f ，所以1c ，得2( )lnf uuc又因为(1)0f，所以20c ，得( )lnf uu(19)【详解】方法方法 1

15、：把2( ,)( , )f tx tytf x y两边对t求导，得：3( ,)( ,)2( , )xyxf tx tyyftx tytf x y 令1t ，则( , )( , )2 ( , )xyxfx yyfx yf x y ；再令( , ),( , )Pyf x yQxf x y ，所以( , )( , )xQf x yxfx yx ，( , )( , )yPf x yyfx yy得QPxy，所以由格林公式知结论成立.方法方法 2：D是单连通区域，对于D内的任意分段光滑简单闭曲线L，为D内的一曲线( , )( , )0Lyf x y dxxf x y dy ( , )( , )yf x y

16、 dxxf x y dy在D内与路径无关( , )( , )xf x yyf x yxx( , )x yD( , )( , )2 ( , )0 xxfx yyfx yf x y( , )x yD同方法 1，由2( ,)( , )f tx tytf x y可证得上式.因此结论成立.(20)【详解】(I)系数矩阵1111435113Aab未知量的个数为4n ，且又AXb有三个线性无关解， 设123, 是方程组的 3 个线性无关的解, 则2131, 是0AX 的两个线性无关的解. 因为2131, 线性无关又是齐次方程的解，于是0AX 的基础解系中解的个数不少于 2, 得4( )2r A, 从而( )

17、2r A .又因为A的行向量是两两线性无关的, 所以( )2r A . 所以( )2r A .(II)对方程组的增广矩阵作初等行变换:A b= 214311111| 11111|14351 | 10115| 313| 1013|1aabaabaa 321 a 1111|10115|3,004245|42aaba由( )2r A , 得420450aab， 即2,a 3b .所以A b作初等行变换后化为；1024| 20115| 30000| 0，它的同解方程组13423422435xxxxxx 中令3400 x,x求出AXb的一个特解(2, 3,0,0)T；0AX 的同解方程组是1342342

18、45xxxxxx 取3410 x,x,代入得( 2,1,1,0)T；取3401x,x,代入得(4, 5,0,1)T. 所以0AX 的基础解系为( 2,1,1,0)T，(4, 5,0,1)T所以方程组AXb的通解为：12(2, 3,0,0)( 2,1,1,0)(4, 5,0,1)TTTcc，12,c c为任意常数(21)【详解】(I) 由题设条件1100A，2200A，故12, 是A的对应于0的特征向量，又因为12, 线性无关，故0至少是A的二重特征值. 又因为A的每行元素之和为3，所以有(1,1,1)(3,3,3)3(1,1,1)TTTA，由特征值、特征向量的定义，0(1,1,1)T是A的特征

19、向量, 特征值为33，3只能是单根，3030k,k是全体特征向量，从而知0是二重特征值.于是A的特征值为3,0,0；属于3的特征向量:3330k,k；属于0的特征向量:1122kk，12,k k不都为0.() 为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化 .先将0单位化, 得0333(, , )333T.对12, 作施密特正交化, 得122(0, , )22T,2666(, )366T .作123(,)Q , 则Q是正交矩阵,并且-13 0 00 0 00 0 0TQ AQQ AQ(22)【详解】( )( )YYfyFy, 由于( )Xfx是分段函数，所以在计算2P Xy时，要相应分段讨论.

20、求1(,4)2F 211(,4)(,4),22P XYP XX 只是与X有关，不必先求出( , )F x y的函数.(I)因为2( )YFyP YyP Xy，当0y 时，( )0;YFy 当01y时，00113( )()244yYyFyPyXydxdxy；当14y时，0101111( )()2424yYFyPyXydxdxy；当4y 时，( )1;YFy 综上所述，有20, 03, 014( )11,14241, 4YyyyFyP YyP Xyyyy由概率密度是分布函数在对应区间上的的微分，所以，3,0181( )( ),1480,YYyyfyFyyy其他这个解法是从分布函数的最基本的概率定义

21、入手，对 y 进行适当的讨论即可， 属于基本题型.() 由协方差的计算公式232cov(, )cov(,)()()()X YX XE XE XE X需要计算(E X），2()E X，3()E X.02-101( )244XxxE Xxfx dxdxdx（ ）；220222-105( )246XxxE Xx fx dxdxdx（）；330233-107( )248XxxE Xx fx dxdxdx（）.故232cov(, )cov(,)(X YX XE XE XX）7152.8463(III) 根据二维随机变量的定义( , ),F a bP Xa Yb，有21111(,4)(,4),422222

22、FP XYP XXPX 由一维概率计算公式( )bXaP aXbfx dx有，)4 ,21(F1211124dx.(23)【答案】的矩估计32X；的最大似然估计.Nn【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)，所以矩估计的关键在于找出总体的矩()E X.最大似然估计， 实质上就是找出使似然函数最大的那个参数， 问题的关键在于构造似然函数. 样本值中ix小于 1 的概率是，ix大于 1 的概率是1. 因此，似然函数应为：1( );(1).nNn NiiLf x(I) 由数学期望的定义：1201()

23、( ; )(1- )E Xxf xdxxdxxdx133(1)222样本均值11niiXXn用样本均值估计期望有EXX即32X，解得32X.所以参数的矩估计为32X.其中11niiXXn.()对样本nxxx,21按照1或者1进行分类，不妨设：12,pppNxxx1，12,pNpNpnxxx1. 似然函数1212(1),1,1( )0,Nn NpppNpNpNpnxxxxxxL，其他，在12,1pppNxxx，12,1pNpNpnxxx时，等式两边同取自然对数得)1ln()(ln)(lnNnNL，由于ln ( )L和( )L在的同一点取得最大值，所以令01)(lnNnNdLd，解得Nn，所以的最大似然估计值为Nn.