《专题12二次函数压轴解答题（共44道）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（,）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题12二次函数压轴解答题（共44道）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（,）.docx（93页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题12二次函数压轴解答题（共44道）一解答题（共44小题）1（2020衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数yx2+px+q的图象过点（1，0），（2，0）（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当2x1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y（2m）x+2m的图象与二次函数yx2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a3b，求m的取值范围【分析】（1）由二次函数的图象经过（1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x2，函数有最大值4；当x=12是函数有最小值-9
2、4，进而求得它们的差；（3）由题意得x2x2（2m）x+2m，整理得x2+（m3）x+m40，因为a2b，ab，（m3）24×（m4）（m5）20，把x3代入（2m）x+2mx2x2，解得m-12【解析】（1）由二次函数yx2+px+q的图象经过（1，0）和（2，0）两点，1-p+q=04+2p+q=0，解得p=-1q=-2，此二次函数的表达式yx2x2；（2）抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1+22=12，在2x1范围内，当x2，函数有最大值为：y4+224；当x=12是函数有最小值：y=14-12-2=-94，的最大值与最小值的差为：4（-94）=254；（3）y（2m）x+2
3、m与二次函数yx2x2图象交点的横坐标为a和b，x2x2（2m）x+2m，整理得x2+（m3）x+m40a3bab（m3）24×（m4）（m5）20m5a3b当x3时，（2m）x+2mx2x2，把x3代入（2m）x+2mx2x2，解得m-12m的取值范围为m-122（2020河南）如图，抛物线yx2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OAOB，点G为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的
4、取值范围【分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出点M，点N坐标，即可求解【解析】（1）抛物线yx2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，点B（0，c），OAOBc，点A（c，0），0c2+2c+c，c3或0（舍去），抛物线解析式为：yx2+2x+3，yx2+2x+3（x1）2+4，顶点G为（1，4）；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，对称轴为直线x1，点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点M的横坐标为2或4，点N的横坐标为6，点M坐标为（2，5）或（4，5），点N坐标（6，21），点Q为抛物线上
5、点M，N之间（含点M，N）的一个动点，21yQ43（2020凉山州）如图，二次函数yax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQx轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标【分析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式
6、为：y=-3x+b，而OB中点的坐标为（34，34），将该点坐标代入CD表达式，即可求解；（3）过点P作y轴额平行线交CD于点H，PH=-3x+3-（233x2-233x）=-233x2-33x+3，即可求解【解析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得c=0a+b+c=032=94a+32b+c，解得a=-233b=-233c=0，故抛物线的表达式为：y=233x2-233x；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y=-3x+b，而OB中点的坐标为（34，34），将该点坐标代入CD表达式并解
7、得：b=3，故直线CD的表达式为：y=-3x+3；（3）设点P（x，233x2-233x），则点Q（x，-3x+3），则PQ=-3x+3-（233x2-233x）=-233x2-33x+3，-2330，故PQ有最大值，此时点P的坐标为（-14，27316）4（2020黑龙江）如图，已知二次函数yx2+（a+1）xa与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知BAC的面积是6（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使SABPSABC若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由【分析】（1）由yx2+（a+1）xa，令y0，即x2+（a+1）xa0，可求出A、B坐标结合三角形
8、的面积，解出a3；（2）根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标【解析】（1）yx2+（a+1）xa，令x0，则ya，C（0，a），令y0，即x2+（a+1）xa0解得x1a，x21由图象知：a0A（a，0），B（1，0）SABC612（1a）（a）6解得：a3，（a4舍去）；（2）a3，C（0，3），SABPSABCP点的纵坐标为±3，把y3代入yx22x+3得x22x+33，解得x0或x2，把y3代入yx22x+3得x22x+33，解得x1+7或x1-7，P点的坐标为（2，3）或（1+7，3）或（1-7，3）5（2020杭州）在平面直角坐
9、标系中，设二次函数y1x2+bx+a，y2ax2+bx+1（a，b是实数，a0）（1）若函数y1的对称轴为直线x3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r0，求证：函数y2的图象经过点（1r，0）（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n0，求m，n的值【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r0，可得r2+br+a0，推出1+br+ar2=0，即a（1r）2+b1r+10，推出1r是方程ax2+bx+1的根，可得结论（3）由题意a0，m=4a-b24，n=4a-b24a，根据m
10、+n0，构建方程可得结论【解析】（1）由题意，得到-b2=3，解得b6，函数y1的图象经过（a，6），a26a+a6，解得a2或3，函数y1x26x+2或y1x26x+3（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r0，r2+br+a0，1+br+ar2=0，即a（1r）2+b1r+10，1r是方程ax2+bx+1的根，即函数y2的图象经过点（1r，0）（3）由题意a0，m=4a-b24，n=4a-b24a，m+n0，4a-b24+4a-b24a=0，（4ab2）（a+1）0，a+10，4ab20，mn06（2020安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y
11、x+m经过点A，抛物线yax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点（1）判断点B是否在直线yx+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线yax2+bx+1，使其顶点仍在直线yx+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线yx+m上；（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；（3）设平移后的抛物线为yx+px+q，其顶点坐标为（p2，p24+q），根据题意得出p24+q=p2+1，由抛物
12、线yx+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=p24-p2-1=-14（p1）2+54，从而得出q的最大值【解析】（1）点B是在直线yx+m上，理由如下：直线yx+m经过点A（1，2），21+m，解得m1，直线为yx+1，把x2代入yx+1得y3，点B（2，3）在直线yx+m上；（2）直线yx+1与抛物线yax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，抛物线只能经过A、C两点，把A（1，2），C（2，1）代入yax2+bx+1得a+b+1=24a+2b+1=1，解得a1，b2；（3）由（2）知，抛物线为yx2+2x+1，设平移后的抛物线为yx+px+q，其顶点坐标为（p2
13、，p24+q），顶点仍在直线yx+1上，p24+q=p2+1，q=p24-p2-1，抛物线yx+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，q=p24-p2-1=-14（p1）2+54，当p1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为547（2020陕西）如图，抛物线yx2+bx+c经过点（3，12）和（2，3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点要使以P、D、E为顶点的三角形与AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标【分析】（1）将点（3，12）和（2，3）代入抛物线表达式，即可求解；（2
14、）由题意得：PDDE3时，以P、D、E为顶点的三角形与AOC全等，分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可【解析】（1）将点（3，12）和（2，3）代入抛物线表达式得12=9+3b+c-3=4-2b+c，解得b=2c=-3，故抛物线的表达式为：yx2+2x3；（2）抛物线的对称轴为x1，令y0，则x3或1，令x0，则y3，故点A、B的坐标分别为（3，0）、（1，0）；点C（0，3），故OAOC3，PDEAOC90°，当PDDE3时，以P、D、E为顶点的三角形与AOC全等，设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m（1）3，解得：m2，故n22+2
15、×255，故点P（2，5），故点E（1，2）或（1，8）；当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（4，5），此时点E坐标同上，综上，点P的坐标为（2，5）或（4，5）；点E的坐标为（1，2）或（1，8）8（2020武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA2OC8OB点P是第三象限内抛物线上的一动点（1）求此抛物线的表达式；（2）若PCAB，求点P的坐标；（3）连接AC，求PAC面积的最大值及此时点P的坐标【分析】（1）抛物线yax2+bx2，则c2，故OC2，而OA2OC8OB，则OA4，OB=12，确定点A、B
16、、C的坐标；即可求解；（2）抛物线的对称轴为x=-74，当PCAB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；（3）PAC的面积SSPHA+SPHC=12PH×OA，即可求解【解析】（1）抛物线yax2+bx2，则c2，故OC2，而OA2OC8OB，则OA4，OB=12，故点A、B、C的坐标分别为（4，0）、（12，0）、（0，2）；则ya（x+4）（x-12）a（x2+72x2）ax2+bx2，故a1，故抛物线的表达式为：yx2+72x2；（2）抛物线的对称轴为x=-74，当PCAB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（-74，2）；（3）过点P作PHy轴交AC于点H，由点A、
17、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=-12x2，则PAC的面积SSPHA+SPHC=12PH×OA=12×4×（-12x2x2-72x+2）2（x+2）2+8，20，S有最大值，当x2时，S的最大值为8，此时点P（2，5）9（2020齐齐哈尔）综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OAOB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为yx+4，点M的坐标为（2，2），cosABO22；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将AO
18、C的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为（2，2）或（0，4）；（3）在y轴上找一点Q，使得AMQ的周长最小具体作法如图，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时AMQ的周长最小请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）点A（4，0），OBOA4，故点B（0，4），即可求出AB的表达式；OP将AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，即可求解；（3）AMQ的周长
19、AM+AQ+MQAM+AM最小，即可求解；（4）分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可【解析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：12×16-4b+c=012×4+2b+c=6，解得b=2c=0，故直线AB的表达式为：y=12x2+2x；（2）点A（4，0），OBOA4，故点B（0，4），由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：yx+4；则ABO45°，故cosABO=22；对于y=12x2+2x，函数的对称轴为x2，故点M（2，2）；OP将AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，则yPyC=13或23，即yP6=13或23，解得
20、：yP2或4，故点P（2，2）或（0，4）；故答案为：yx+4；（2，2）；22；（2，2）或（0，4）；（3）AMQ的周长AM+AQ+MQAM+AM最小，点A（4，0），设直线AM的表达式为：ykx+b，则4k+b=0-2k+b=-2，解得k=13b=-43，故直线AM的表达式为：y=13x-43，令x0，则y=-43，故点Q（0，-43）；（4）存在，理由：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（4，0）、（2，6）、（0，0），当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即0±6m，0±
21、6n，解得：mn±6，故点N（6，6）或（6，6）；当AC是对角线时，由中点公式得：4+2m+0，6+0n+0，解得：m2，n6，故点N（2，6）；综上，点N的坐标为（6，6）或（6，6）或（2，6）10（2020枣庄）如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BCM为线段OB上的一个动点，过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PNBC，垂足为点N设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存
22、在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PNPQsin45°=22（-13m2+43m）=-26（m2）2+223，即可求解；（3）分ACCQ、ACAQ、CQAQ三种情况，分别求解即可【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a-3b+4=016a+4b+4=0，解得a=-13b=13，故抛物线的表达式为：y=-13x2+13x+4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+4；设点M（m，0），则点P
23、（m，-13m2+13m+4），点Q（m，m+4），PQ=-13m2+13m+4+m4=-13m2+43m，OBOC，故ABCOCB45°，PQNBQM45°，PNPQsin45°=22（-13m2+43m）=-26（m2）2+223，-260，故当m2时，PN有最大值为223；（3）存在，理由：点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，4），则AC5，当ACCQ时，过点Q作QEy轴于点E，则CQ2CE2+EQ2，即m2+4（m+4）225，解得：m±522（舍去负值），故点Q（522，8-522）；当ACAQ时，则AQAC5，在RtAMQ中，由勾股定理得：
24、m（3）2+（m+4）225，解得：m1或0（舍去0），故点Q（1，3）；当CQAQ时，则2m2m（3）2+（m+4）2，解得：m=252（舍去）；综上，点Q的坐标为（1，3）或（522，8-522）11（2020上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）抛物线yax2+bx（a0）经过点A（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线yax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线yax2+bx的顶点D位于AOB内，求a的取值范围【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；（2）设点C（m，-12m+5），则B
25、C=52|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，25a），即可得出结论【解析】（1）针对于直线y=-12x+5，令x0，y5，B（0，5），令y0，则-12x+50，x10，A（10，0），AB=52+102=55；（2）设点C（m，-12m+5），B（0，5），BC=m2+(-12m+5-5)2=52|m|，BC=5，52|m|=5，m±2，点C在线段AB上，m2，C（2，4），将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线yax2+bx（a0）中，得100a+
26、10b=04a+2b=4，a=-14b=52，抛物线y=-14x2+52x；（3）点A（10，0）在抛物线yax2+bx中，得100a+10b0，b10a，抛物线的解析式为yax210axa（x5）225a，抛物线的顶点D坐标为（5，25a），将x5代入y=-12x+5中，得y=-12×5+5=52，顶点D位于AOB内，025a52，-110a0；12（2020苏州）如图，二次函数yx2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，3）（1）求b的值；（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形
27、PBCQ为平行四边形过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）若|y1y2|2，求x1、x2的值【分析】（1）抛物线的对称轴为x2，即12b2，解得：b4，即可求解；（2）求出点B、C的坐标分别为（1，3）、（3，3），则BC2，而四边形PBCQ为平行四边形，则PQBC2，故x2x12，即可求解【解析】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，3），故抛物线的对称轴为x2，即12b2，解得：b4，故抛物线的表达式为：yx24x；（2）把y3代入yx24x并解得x1或3，故点B、C的坐标分别为（1，3）、（3，3），则BC2，四边形PBCQ为平
28、行四边形，PQBC2，故x2x12，又y1x124x1，y2x224x2，|y1y2|2，故|（x124x1）（x224x2）2，|x1+x24|1x1+x25或x1+x23，由x2-x1=2x1+x2=5，解得x1=32x2=72；由x2-x1=2x1+x2=3，解得x1=12x2=5213（2020台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s24h（Hh）应用
29、思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离【分析】（1）将s24h（20h）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a（20a）4b（20b）
30、，利用因式分解变形即可得出答案；（3）设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案【解析】（1）s24h（Hh），当H20cm时，s24h（20h）4（h10）2+400，当h10cm时，s2有最大值400，当h10cm时，s有最大值20cm当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；（2）s24h（20h），设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：4a（20a）4b（20b），20aa220bb2，a2b220a20b，（a+b）（ab）20（ab），（ab）（a+b20）0，ab0，或a+b200，ab或a+b20；（3）设垫高的高度为m，则s
31、24h（20+mh）4(h-20+m2)2+（20+m）2，当h=20+m2cm时，smax20+m20+16，m16cm，此时h=20+m2=18cm垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm14（2020绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA2.88m，这时水平距离OB7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关
32、系式（不必写出x取值范围）并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由（2）若球过网后的落点是对方场地号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：2取1.4）【分析】（1）求出抛物线表达式；再确定x9和x18时，对应函数的值即可求解；（2）当y0时，y=-150（x7）2+2.880，解得：x19或5（舍去5），求出PQ62=8.4，即可求解【解析】（1）设抛物线的表达式为：ya（x7）2+2.88，将x0，y1.9代入上式并解得：a=-150，故抛物线的表达式为：y=-150（x7）2+2.88；当x9时，y=-150（x7）2+2.882.
33、82.24，当x18时，y=-150（x7）2+2.880.460，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，在RtOPQ中，OQ18117，当y0时，y=-150（x7）2+2.880，解得：x19或5（舍去5），OP19，而OQ17，故PQ62=8.4，98.40.50.1，发球点O在底线上且距右边线0.1米处15（2020宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+4x3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D点B的坐标是（1，0）（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y0时x的取值范围（2）平移该二次函数的图象，使
34、点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式【分析】（1）利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题（2）由题意点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式【解析】（1）把B（1，0）代入yax2+4x3，得0a+43，解得a1，yx2+4x3（x2）2+1，A（2，1），对称轴x2，B，C关于x2对称，C（3，0），当y0时，1x3（2）D（0，3），点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y（x4）2+516（2020泸州）如图，已知抛物线yax2+bx+c经过A（2，0），B（4，0），C（0
35、，4）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD5DE求直线BD的解析式；已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；先确定出点Q的坐标，设点P（x，-12x2+x+4）（1x4），得出PGx
36、1，GQ=-12x2+x+3，再利用三垂线构造出PQGQRH（AAS），得出RHGQ=-12x2+x+3，QHPGx1，进而得出R（-12x2+x+4，2x），最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论【解析】（1）抛物线yax2+bx+c经过A（2，0），B（4，0），设抛物线的解析式为ya（x+2）（x4），将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为ya（x+2）（x4）中，得8a4，a=-12，抛物线的解析式为y=-12（x+2）（x4）=-12x2+x+4；（2）如图1，设直线AC的解析式为ykx+b'，将点A（2，0），C（0，4），代入ykx+b'中，得
37、-2k+b'=0b'=4，k=2b'=4，直线AC的解析式为y2x+4，过点E作EFx轴于F，ODEF，BODBFE，OBBF=BDBE，B（4，0），OB4，BD5DE，BDBE=BDBD+DE=5DE5DE+BE=56，BF=BEBD×OB=65×4=245，OFBFOB=245-4=45，将x=-45代入直线AC：y2x+4中，得y2×（-45）+4=125，E（-45，125），设直线BD的解析式为ymx+n，4m+n=0-45m+n=125，m=-12n=2，直线BD的解析式为y=-12x+2；抛物线与x轴的交点坐标为A（2，0）
38、和B（4，0），抛物线的对称轴为直线x1，点Q（1，1），如图2，设点P（x，-12x2+x+4）（1x4），过点P作PGl于G，过点R作RHl于H，PGx1，GQ=-12x2+x+41=-12x2+x+3，PGl，PGQ90°，GPQ+PQG90°，PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，PQRQ，PQR90°，PQG+RQH90°，GPQHQR，PQGQRH（AAS），RHGQ=-12x2+x+3，QHPGx1，R（-12x2+x+4，2x），由知，直线BD的解析式为y=-12x+2，x2或x4（舍），当x2时，y=-12x2+x+4=-12
39、15;4+2+44，P（2，4）17（2020天津）已知点A（1，0）是抛物线yax2+bx+m（a，b，m为常数，a0，m0）与x轴的一个交点（）当a1，m3时，求该抛物线的顶点坐标；（）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线1平行于x轴，E是直线1上的动点，F是y轴上的动点，EF22当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AEEF时，求点F的坐标；取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是22？【分析】（）将A（1，0）代入抛物线的解析式求出b2，由配方法可求出顶点坐标；（）根据题意得出a1，bm1求出抛物线的解析式为yx2（m+1）x+m则点C（0，m）
40、，点E（m+1，m），过点A作AHl于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；得出CN=12EF=2求出MC=-2m，当MC2，即m1时，当MC2，即1m0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可【解析】（）当a1，m3时，抛物线的解析式为yx2+bx3抛物线经过点A（1，0），01+b3，解得b2，抛物线的解析式为yx2+2x3yx2+2x3（x+1）24，抛物线的顶点坐标为（1，4）（）抛物线yax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m0，0a+b+m，0am2+bm+m，即am+b+10a1，bm1抛物线的解析式为yx2（m+1
41、）x+m根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），过点A作AHl于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）在RtEAH中，EH1（m+1）m，HA0mm，AE=EH2+HA2=-2m，AEEF22，-2m22，解得m2此时，点E（1，2），点C（0，2），有EC1点F在y轴上，在RtEFC中，CF=EF2-EC2=7点F的坐标为（0，2-7）或（0，2+7）由N是EF的中点，得CN=12EF=2根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上，由点M（m，0），点C（0，m），得MOm，COm，在RtMCO中，MC=MO2+CO2=-2m当MC2，即m1时，满足条件的点N在线段MC上MN的最
42、小值为MCNC=-2m-2=22，解得m=-32；当MC2，即1m0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NCMC=2-（-2m）=22，解得m=-12当m的值为-32或-12时，MN的最小值是2218（2020泰安）若一次函数y3x3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数yax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CDx轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分DBE求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接
43、BP，SBFPmSBAF当m=12时，求点P的坐标；求m的最大值【分析】（1）函数y3x3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）证明BCDBCM（AAS），则CMCD2，故OM321，故点M（0，1），即可求解；（3）过点P作PNx轴交BC于点N，则PFNAFB，则AFPF=ABPN，而SBFPmSBAF，则AFPF=1m=4PN，解得：m=14PN，即可求解【解析】（1）一次函数y3x3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得0=a-b+c0=9a+3b+cc=-3，解得a=1b=-2c=-3，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）设直线BE交y轴于点M，从抛物线表达式