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1、第四节 二次函数的图象与性质知识点一：二次函数的概念及解析式 1.一次函数的定义形如yax2bxc (a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a0.2.解析式（1）三种解析式：一般式：y=ax2+bx+c;顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; 交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.注意：若已知条件是图象上的三个点
2、或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.变式练习：如图，对称轴为直线x2的抛物线yx2bxc与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(1，0)(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出B，C两点的坐标；(3)求过O，B，C三点的圆的面积(结果用含的代数式表示)解：(1)由A(1，0)，对称轴为x2，可得解得抛物线解析式为yx24x5(2)由A点坐标为(1，0)，且对称轴方程为x2，可知AB6，OB5，B点坐标为(5，0)，yx24x5，C点坐标为(0，5)(3)如图，连接BC，则OBC是直角三角形， 过O
3、，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，在RtOBC中，OBOC5，BC5，圆的半径为，圆的面积为()2知识点二 ：二次函数的图象与性质1.二次函数的图象和性质图象来源:学§科§网Z§X§X§K开口向上向下对称轴 x 顶点坐标增减性当x>时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小.当x>时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大.最值x=，y最小.x=，y最大.注意：（1）比较二次函数函数值大小的方法：直接代入求值法；性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化
4、到同侧，再利用性质比较；图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.来源:Zxxk.Com来源:学+科+网失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解. 变式练习2：当0x5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 .变式练习2：二次函数yax2bxc(a0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是()A. 函数有最小值B. 对称轴是直线xC. 当x时，y随x的增大而减小D. 当1x2时，y0【解析】A.由抛物线的开口向上，可知a0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B.由图象可知，对称轴为x，正确，故本选项不符合题意
5、；C.因为a0，所以，当x时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D.由图象可知，当1x2时，y0，错误，故本选项符合题意2.系数a、b、c的关系系数a、b、ca决定抛物线的开口方向及开口大小当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下.a、 b决定对称轴（x=-b/2a）的位置当a，b同号，-b/2a0，对称轴在y轴左边；当b0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-b/2a0，对称轴在y轴右边c决定抛物线与y轴的交点的位置当c0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c0时，抛物线经过原点；当c0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b24ac决定抛物线与x轴的交点个数
6、b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点;b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点;b24ac0时，抛物线与x轴没有交点注意某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y的值；4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判断对称某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y的值；4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判断对称 a±b+c即为x=±1时，y的值；4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判断对称轴
7、-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a1，再根据a的符号即可得出结果.2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.3已知函数yax22ax1(a是常数，a0)，下列结论正确的是( D )A当a1时，函数图象过点(1，1)B当a2时，函数图象与x轴没有交点C若a0，则当x1时，y随x的增大而减小D若a0，则当x1时，y随x的增大而增大知识点三 ：二次函数的平移平移与解析式的关系注意：1)二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式2)抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.无论是什么函数，左右移影响着x的变化
8、，左移x加，右移x减；上下移影响着y的变化，上移y减，下移y加。变式练习1：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x2）2变式练习2：如果将抛物线yx22向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C )Ay(x1)22 By(x1)22Cyx21 Dyx23变式练习3：已知二次函数yx24xa，下列说法错误的是()A. 当x1时，y随x的增大而减小B. 若图象与x轴有交点，则a4C. 当a3时，不等式x24xa0的解集是1x3D. 若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1， 2)，则a3【解析】Cyx24xa，对称轴x2，画二次函数的草图如解图，
9、A.当x1时，y随x的增大而减小，所以A选项正确；B.b24ac164a0，即a4时，二次函数和x轴有交点，所以B选项正确；C.当a3时，不等式x24xa0的解集是x1或x3，所以C选项错误；D.yx24xa配方后是y(x2)2a4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y(x1)2a3，把(1，2)代入函数解析式，易求a3，所以D选项正确，故选C.知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式1.二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当b24ac0，两个不相等的实数根；注意：二次函数当已知函数值为m，
10、求自变量x的值时，可看做是解一元二次方程ax2+bx+c=m;反过来，解一元二次方程ax2+bx+c=m，可看做是二次函数当已知函数值为m，求自变量x的值。当b24ac0，两个相等的实数根；当b24ac0，无实根2.二次函数与不等式注意：一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。抛物线y= ax2bxc0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2bxc0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2bxc0的解集.变式练习：
11、已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1. 二次函数顺口溜记忆： 二次方程零换y，二次函数便出现。 全体实数定义域，图像叫做抛物线。 抛物线有对称轴，两边单调正相反。 A定开口及大小，线轴交点叫顶点。 顶点非高即最低。上低下高很显眼。 如果要画抛物线，平移也可去描点， 提取配方定顶点，两条途径再挑选。 列表描点后连线，平移规律记心间。 左加右减括号内，号外上加下要减。 二次方程零换y，就得到二次函数。 图像叫做抛物线，定义域全体实数。 A定开口及大小，开口向上是正数。 绝对值大开口小，开口向下A负
12、数。 抛物线有对称轴，增减特性可看图。 线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。 如果要画抛物线，描点平移两条路。 提取配方定顶点，平移描点皆成图。 列表描点后连线，三点大致定全图。 若要平移也不难，先画基础抛物线， 顶点移到新位置，开口大小随基础。变式练习1：已知抛物线yx2xc与x轴没有交点(1)求c的取值范围；(2)试确定直线ycx1经过的象限，并说明理由解：(1)抛物线yx2xc与x轴没有交点，方程x2xc0无解，即b24ac12c0，解得c；(2)直线ycx1经过一、二、三象限，理由如下：c0，则一次函数ycx1中c0，b10，直线ycx1经过一、二、三象限 知识点五 ：二次函数综合题变式练
13、习1：已知二次函数yx22mxm21.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PCPD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由解：(1) 把点O(0，0)代入解析式yx22mxm21，得0m21，解得m±1，二次函数解析式为yx22x或yx22x；(2)当m2时，yx24x3(x2)21，点D的坐标为(2，1)，当x0时，y3，点C的坐标为(0，3)(3)存在如解图，连接CD，交x轴于点P，则点P为所求设直线CD
14、的解析式为ykxb(k0)，将点C(0，3)、D(2，1)代入，得，解得，直线CD的解析式为y2x3.当y0时，2x30，x，P点的坐标为(，0)变式练习2：如图，抛物线yx2x9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.(1)求AB和OC的长；(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留)第2题图 解：(1)令y0，则有x2x90，
15、解得x13，x26，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(6，0)，AB9，抛物线与y轴的交点坐标是(0，9)，OC9；(2)设ADE的边AE上的高为h，直线lBC，ADEACB，即，hm，Sm2(0m9)；(3)mm2 (m)2(0m9)，当m时，CDE的面积最大，最大面积是，BEABAE，××9，BC3，点E到BC的距离为2×÷3，以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为×()2.变式练习3：如图，抛物线yx2x1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C(3，0)(1)求直线AB的函数关系式；(2)动点P在
16、线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向点C移动，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O、点C重合的情况)，连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否为菱形？请说明理由第3题图解：(1)设直线AB的函数关系式为yaxb(a0)，对于抛物线yx2x1，令x0，得y1，即有A(0，1)，将点A的坐标代入直线AB的函数关系式，得b1，令x3，得y，即有B(3，)，将点B的坐标代入直线AB的函数关系式
17、，得a，直线AB的函数关系式为yx1；(2)显然OPt，即P(t，0)，将xt代入抛物线解析式可得yt2t1，即N(t，t2t1)，将xt代入直线AB的函数关系式可得yt1，即M(t，t1)，sMNt2t1(t1)，st2t(0t3)； (3)显然NMBC，要使得四边形BCMN为平行四边形，只要MNBC，即st2t，解得t1或t2.当t1时，M(1，)，MP，CPOCOP2.在RtMPC中，CMBC，四边形BCMN为菱形；当t2时，M(2，2)，MP2，CP1.在RtMPC中，CMBC.四边形BCMN不是菱形综上，当t1或t2时，四边形BCMN为平行四边形；当t1时，平行四边形BCMN为菱形