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1、备战2018中考系列：数学2年中考1年模拟第七篇 专题复习篇 专题40 存在性问题 解读考点知识点名师点晴抛物线的存 在性等腰、直角三角形来源:学科网ZXXK来源:学科网ZXXK来源:学科网ZXXK掌握等腰三角形与直角三角形的性质，并能求出相关的点的存在性问题来源:Z§xx§k.Com来源:学*科*网平行四边形问题理解并掌握抛物线与特殊的平行四边形的求法相似三角形理解并掌握抛物线与相似三角形问题的解法等腰梯形、直角梯形理解并掌握抛物线与梯形的存在性问题的求法线段最值掌握线段最大值或线段和的最小值的求法面积最值问题解决相关的三角形或四边形的面积最大（小）值问题2年中考【201
2、7年题组】一、选择题二、填空题三、解答题1（2017四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由【答案】（1）
3、；（2）S=，运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；（3）t=或t=【解析】（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案试题解析：（1）点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1，A（2，0），把点A（2，0）、B（4，0）、点C（0，3），分别代入（a0），得：，解得：，所以该抛物线的解析式为：；（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，MB=63t由题意得，点C的坐标为（0，3）在RtBOC中，BC=5如图1，过点N作NHAB于点H，NHCO，BHNBOC，即，HN=t，SMBN=MBHN=（63t）t，即S= =，当PBQ存在时，0t2，当t=1时，SPBQ最大=
4、答：运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；（3）如图2，在RtOBC中，cosB=设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，MB=63t当MNB=90°时，cosB=，即，化简，得17t=24，解得t=；当BMN=90°时，cosB=，化简，得19t=30，解得t=综上所述：t=或t=时，MBN为直角三角形考点：1二次函数综合题；2最值问题；3二次函数的最值；4动点型；5存在型；6分类讨论；7压轴题学科网2（2017四川省凉山州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6（1）求抛物线的解析式；（2）点M从
5、A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当MBN存在时，求运动多少秒使MBN的面积最大，最大面积是多少？（3）在（2）的条件下，MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使BPC的面积是MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）运动秒使MBN的面积最大，最大面积是；（3）P（3，）或（5，）【解析】（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为由二次函数图象上点的坐标特征可设点P的坐标为（m，）过点P作PEy轴，交BC于
6、点E结合已知条件和（2）中的结果求得SPBC=则根据图形得到SPBC=SCEP+SBEP=EPm+EP（8m），把相关线段的长度代入推知：=试题解析：（1）OA=2，OB=8，OC=6，根据函数图象得A（2，0），B（8，0），C（0，6），根据题意得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，MB=103t由题意得，点C的坐标为（0，6）在RtBOC中，BC=10如图，过点N作NHAB于点H，NHCO，BHNBOC，即，HN=t，SMBN=MBHN=（103t）t=（t）2+，当MBN存在时，0t2，当t=时，SMBN最大=答：运动秒使MBN的面积最大，最大
7、面积是；（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k0）把B（8，0），C（0，6）代入，得：，解得：，直线BC的解析式为 点P在抛物线上，设点P的坐标为（m，），如图，过点P作PEy轴，交BC于点E，则E点的坐标为（m，）EP=（）=，当MBN的面积最大时，SPBC=9 SMBN=，SPBC=SCEP+SBEP=EPm+EP（8m）=×8EP=4×（）=，即=解得m1=3，m2=5，P（3，）或（5，）考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3最值问题；4动点型；5存在型；6压轴题3（2017四川省宜宾市）如图，抛物线与x轴分别交于A（1，0），B（5，0）两点（1）求抛
8、物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将RtACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）m的值为7或9；（3）Q点的坐标为（2，7）或（6，7）或（4，5）【解析】（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EFx轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，
9、则可证得PQNEFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标试题解析：（1）抛物线与x轴分别交于A（1，0），B（5，0）两点，解得：，抛物线解析式为；（2）AD=5，且OA=1，OD=6，且CD=8，C（6，8），设平移后的点C的对应点为C，则C点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=，解得x=1或x=3，C点的坐标为（1，8）或（3，8），C（6，8），当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位
10、，m的值为7或9；（3）= ，抛物线对称轴为x=2，可设P（2，t），由（2）可知E点坐标为（1，8），分两种情况讨论：当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EFx轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，则BEF=BMP=QPN，在PQN和EFB中，QPN=BEF，PNQ=EFB，PQ=BE，PQNEFB（AAS），NQ=BF=OBOF=51=4，设Q（x，y），则QN=|x2|，|x2|=4，解得x=2或x=6，当x=2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=7，Q点坐标为（2，7）或（6，7）；当BE为对角线时，B（5，0），E（1，8），线
11、段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），设Q（x，y），且P（2，t），x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，Q（4，5）；综上可知Q点的坐标为（2，7）或（6，7）或（4，5）考点：1二次函数综合题；2平移的性质；3分类讨论；4存在型；5压轴题4（2017四川省绵阳市）如图，已知ABC中，C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将MNF关于直线NF对称后得
12、到ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），ENF与ANF重叠部分的面积为y（cm2）（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；（3）当y取最大值时，求sinNEF的值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（2）分两种情况：当0t2时，由三角形面积得出 ；当2t4时，作GHNF于H，由（1）得：NF=（8t），GH=NH，GH=2FH，得出GH=NF=（8t），由三角形面积得出（2t4）；（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF=BF，EM=2CN=
13、2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FDNE于D，由勾股定理求出EB= =，求出EF=EB=，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF= HF=，在RtDEF中，由三角函数定义即可求出sinNEF的值试题解析：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：连接ME交NF于O，如图1所示：C=90°，NMC=45°，NFAC，CN=CM=t，FNBC，AN=8t，ANFACB， =2，NF=AN=（8t），由对称的性质得：ENF=MNF=NMC=45°，MN=NE，OE=OM
14、=CN=t，四边形MNEF是正方形，OE=ON=FN，t=×（8t），解得：t=；即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；（2）分两种情况：当0t2时，y=×（8t）×t=，即（0t2）；当2t4时，如图2所示：作GHNF于H，由（1）得：NF=（8t），GH=NH，GH=2FH，GH=NF=（8t），y=NFGH=×（8t）×（8t）=，即（2t4）；综上所述： （3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，如图3所示：则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，BM=4t，2t=2（4t），解得：t=2，
15、CN=CM=2，AN=6，BM=42=2，NF=AN=3，EM=2BM=4，作FDNE于D，则EB= = =，DNF是等腰直角三角形，EF=EB=，DF= HF=，在RtDEF中，sinNEF= = =考点：1四边形综合题；2最值问题；3动点型；4存在型；5分类讨论；6压轴题5（2017四川省达州市）如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边BCD，连接AD交BC于E（1）直接回答：OBC与ABD全等吗？试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）当点C运动到使AC2=AEAD时，如图2，经
16、过O、B、C三点的抛物线为y1试问：y1上是否存在动点P，使BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数的图象l与M有公共点试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值【答案】（1）OBC与ABD全等；证明见解析；（2）P（3，）或（2，）；（3）m0【解析】（2）首先证明DEBC，再求直线AE与抛物线的交点就是点P，所以分别求直线AE和抛物线y1的解析式组成方程组，求解即可；（3）先画出如图3，根据图形画出直线与图形M有个公共点时，两个边界的直线，上方到，将向下平移即可满足l与图形M有
17、3个公共点，一直到直线l与y2相切为止，主要计算相切时，列方程组，确定0时，m的值即可试题解析：（1）OBC与ABD全等，理由是：如图1，OAB和BCD是等边三角形，OBA=CBD=60°，OB=AB，BC=BD，OBA+ABC=CBD+ABC，即OBC=ABD，OBCABD（SAS）；OBCABD，BAD=BOC=60°，OBA=BAD，OBAD，无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）如图2，AC2=AEAD，EAC=DAC，AECACD，ECA=ADC，BAD=BAO=60°，DAC=60°，BED=AEC，ACB=ADB，ADB=ADC，BD
18、=CD，DEBC，RtABE中，BAE=60°，ABE=30°，AE=AB=×2=1，RtAEC中，EAC=60°，ECA=30°，AC=2AE=2，C（4，0），等边OAB中，过B作BHx轴于H，BH= =，B（1，），设y1的解析式为：y=ax（x4），把B（1，）代入得： =a（14），a=，设y1的解析式为：y1=x（x4）=，过E作EGx轴于G，RtAGE中，AE=1，AG=AE=，EG=，E（，），设直线AE的解析式为：y=kx+b，把A（2，0）和E（，）代入得：，解得：，直线AE的解析式为：，则，解得：，P（3，）或（2，）；（
19、3）如图3，y1=，顶点（2，），抛物线y2的顶点为（2，），y2=，当m=0时，与图形M两公共点，当y2与l相切时，即有一个公共点，l与图形M有3个公共点，则：，x27x3m=0，=（7）24×1×（3m）0，m，当l与M的公共点为3个时，m的取值是：m0考点：1二次函数综合题；2翻折变换（折叠问题）；3动点型；4存在型；5分类讨论；6压轴题6（2017临沂）如图，抛物线经过点A（2，3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且BDO=BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以
20、点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）D1（0，1），D2（0，1）；（3）存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（2，5）或（0，3）【解析】（3）设M（a，），N（1，n），以AB为边，则ABMN，AB=MN，如图2，过M作ME对称轴y于E，AFx轴于F，于是得到ABFNME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（2，11）；以AB为对角线，BN=AM，BNAM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论试题解析：（1）由得C（03），OC=3，OC=3OB
21、，OB=1，B（1，0），把A（2，3），B（1，0）代入得：，抛物线的解析式为；（2）设连接AC，作BFAC交AC的延长线于F，A（2，3），C（0，3），AFx轴，F（1，3），BF=3，AF=3，BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|，BDO=BAC，BDO=45°，OD=OB=1，|m|=1，m=±1，D1（0，1），D2（0，1）；（3）设M（a，），N（1，n），以AB为边，则ABMN，AB=MN，如图2，过M作ME对称轴y于E，AFx轴于F，则ABFNME，NE=AF=3，ME=BF=3，|a1|=3，a=3或a=2，M（4，5）或（2，5）
22、；以AB为对角线，BN=AM，BNAM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，M（0，3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（2，5）或（0，3）考点：1二次函数综合题；2存在型；3分类讨论；4压轴题7（2017济宁）定义：点P是ABC内部或边上的点（顶点除外），在PAB，PBC，PCA中，若至少有一个三角形与ABC相似，则称点P是ABC的自相似点例如：如图1，点P在ABC的内部，PBC=A，PCB=ABC，则BCPABC，故点P是ABC的自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线（x0）上的任意一点，点N是x轴正
23、半轴上的任意一点（1）如图2，点P是OM上一点，ONP=M，试说明点P是MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）P（，）；（2）（1，）或（2，）；（3）存在， M（，3），N（，0）【解析】（2）作MEx轴于H，由勾股定理求出OM=，直线OM的解析式为y=x，ON=2，MOH=30°，分两种情况：作PQx轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，O
24、Q=ON=1，求出P的纵坐标即可；求出MN=2，由相似三角形的性质得出，求出PN=，在求出P的横坐标即可；（3）证出OM=2=ON，MON=60°，得出MON是等边三角形，由点P在ABC的内部，得出PBCA，PCBABC，即可得出结论试题解析：（1）ONP=M，NOP=MON，NOPMON，点P是MON的自相似点；过P作PDx轴于D，则tanPOD= =，AON=60°，当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0），MNO=90°，NOPMON，NPO=MNO=90°，在RtOPN中，OP=ONcos60°=，OD=OPcos60°=
25、×=，PD=OPsin60°=×=，P（，）；（2）作MEx轴于H，如图3所示：点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），OM= =，直线OM的解析式为y=x，ON=2，MOH=30°，分两种情况：学科#网如图3所示：P是MON的相似点，PONNOM，作PQx轴于Q，PO=PN，OQ=ON=1，P的横坐标为1，y=×1=，P（1，）；如图4所示：由勾股定理得：MN=2，P是MON的相似点，PNMNOM，即，解得：PN=，即P的纵坐标为，代入y=x得： =x ，解得：x=2，P（2，）；综上所述：MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；（
26、3）存在点M和点N，使MON无自相似点，M（，3），N（，0）；理由如下：M（，3），N（，0），OM=ON，MON=60°，MON是等边三角形，点P在ABC的内部，PBCA，PCBABC，存在点M和点N，使MON无自相似点考点：1反比例函数综合题；2阅读型；3新定义；4存在型；5分类讨论；6压轴题8（2017山东省潍坊市）如图1，抛物线经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（
27、2）当t何值时，PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）t=时，PEF的面积最大，最大值的立方根为；（3）t的值为1或【解析】（3）由题意可知有PAE=90°或APE=90°两种情况，当PAE=90°时，作PGy轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当APE=90°时，作PKx轴，AQPK，则可证得PKEAQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值试题解析：（1）由题意可得：，解得：，抛物线解析式为；（2）A（0，3）
28、，D（2，3），BC=AD=2，B（1，0），C（1，0），线段AC的中点为（，），直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，直线l过平行四边形的对称中心，A、D关于对称轴对称，抛物线对称轴为x=1，E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得：，解得：，直线l的解析式为，联立直线l和抛物线解析式可得：，解得：或，F（，），如图1，作PHx轴，交l于点M，作FNPH，P点横坐标为t，P（t，），M（t，），PM=（）=，SPEF=SPFM+SPEM=PMFN+PMEH=PM（FN+EH）=（）（3+）=，当t=时，PEF的面积最大，其最大值为，最大值的立方根
29、为 =；（3）由图可知PEA90°，只能有PAE=90°或APE=90°：当PAE=90°时，如图2，作PGy轴，OA=OE，OAE=OEA=45°，PAG=APG=45°，PG=AG，t=t2+2t+33，即t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去）；当APE=90°时，如图3，作PKx轴，AQPK，则PK=t2+2t+3，AQ=t，KE=3t，PQ=t2+2t+33=t2+2t，APQ+KPE=APQ+PAQ=90°，PAQ=KPE，且PKE=PQA，PKEAQP，即，即t2t1=0，解得t=或t=（舍去）综上可
30、知存在满足条件的点P，t的值为1或考点：1二次函数综合题；2动点型；3最值问题；4存在型；5分类讨论；6压轴题9（2017山东省烟台市）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写
31、出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）l=，l的最大值为；（3）M的坐标为（2，）或（4，）或（2，2）【解析】（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得MFNAOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标试题解析：（1）矩形OBDC的边CD=1，OB=1，AB=4，OA=3，A（3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，抛物线解析式为；（2）在中，令y=2可
32、得2=，解得x=0或x=2，E（2，2），直线OE解析式为y=x，由题意可得P（m，），PGy轴，G（m，m），P在直线OE的上方，PG=（m）=，直线OE解析式为y=x，PGH=COE=45°，l=PG= =，当m=时，l有最大值，最大值为；（3）当AC为平行四边形的边时，则有MNAC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则ALF=ACO=FNM，在MFN和AOC中，MFN=AOC，FNM=ACO，MN=AC，MFNAOC（AAS），MF=AO=3，点M到对称轴的距离为3，又，抛物线对称轴为x=1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x
33、=2或x=4，当x=2时，y=，当x=4时，y=，M点坐标为（2，）或（4，）；当AC为对角线时，设AC的中点为K，A（3，0），C（0，2），K（，1），点N在对称轴上，点N的横坐标为1，设M点横坐标为x，x+（1）=2×（）=3，解得x=2，此时y=2，M（2，2）；综上可知点M的坐标为（2，）或（4，）或（2，2）考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3最值问题；4存在型；5分类讨论；6动点型；7压轴题10（2017山东省青岛市）已知：RtEFP和矩形ABCD如图摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，EFP=90&#
34、176;，如图，EFP从图的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s过点Q作QMBD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，FQ，当点Q停止运动时，EFQ也停止运动设运动时间为t（s）（0t6），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBD？（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（
35、1）；（2）y（0t6）；（3）t=2s；（4）t=s【解析】（4）如图3中，连接MG、MP，作MKBC于K理由勾股定理，根据MG=MP，列出方程即可解决问题；试题解析：（1）如图1中，当PQBD时，s时，PQBD（2）如图2中，当0t6时，y=S五边形AFPQM=S梯形AFCDSDMQSPQC=（8+8t+8）6（6t）（6t）（8t）t（0t6）（3）如图2中，假设存在，则有（）：48=9：8，解得t=2或18（舍弃），t=2s时，S五边形AFPQM：S矩形ABCD=9：8（4）存在理由：如图3中，连接MG、MP，作MKBC于K易知：AG=6tDQ=6t，DM=KC=（6t），PK=8t（
36、6t），MK=CD=6，点M在PG的垂直平分线上，MG=MP，AG2+AM2=PK2+MK2，（6t）2+8（6t）2=62+8t（6t）2，解得t=或0（舍弃），t=s时，点M在线段PG的垂直平分线上考点：1四边形综合题；2动点型；3存在型；4压轴题11（2017广东省深圳市）如图，抛物线经过点A（1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使？若存在请直接给出点D坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长【答案】（1）；（2）D坐标为（1，3）
37、或（2，3）或（5，3）；（3）【解析】试题解析：（1）抛物线经过点A（1，0），B（4，0），解得：，抛物线解析式为；（2）由题意可知C（0，2），A（1，0），B（4，0），AB=5，OC=2，SABC=ABOC=×5×2=5，SABD=×5=，设D（x，y），AB|y|=×5|y|=，解得|y|=3，当y=3时，由=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；当y=3时，由=3，解得x=2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，3）；综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，3）；（3）AO=1，OC=2，O
38、B=4，AB=5，AC= =，BC=，AC2+BC2=AB2，ABC为直角三角形，即BCAC，如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FMx轴于点M，由题意可知FBC=45°，CFB=45°，CF=BC=，即，解得OM=2，即，解得FM=6，F（2，6），且B（4，0），设直线BE解析式为y=kx+m，则可得：，解得：，直线BE解析式为y=3x+12，联立直线BE和抛物线解析式可得：，解得：或，E（5，3），BE= =考点：1二次函数综合题；2存在型；3分类讨论；4旋转的性质；5压轴题12（2017新疆）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（1）试求A，B，C的
39、坐标；（2）将ABC绕AB中点M旋转180°，得到BAD求点D的坐标；判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使BMP与BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）A（1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）D（3，2）；矩形；（3）点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，1.25），（1.5，5），（1.5，5）【解析】试题解析：（1）当y=0时，解得：x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）；（2）过点D作DEx轴于点E，将ABC绕AB中点M旋转
40、180°，得到BAD，DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，D（3，2）；将ABC绕AB中点M旋转180°，得到BAD，AC=BD，AD=BC，四边形ADBC是平行四边形，AC= =，BC=，AB=5，AC2+BC2=AB2，ACB是直角三角形，ACB=90°，四边形ADBC是矩形；（3）由题意可得：BD=，AD=，则=，当BMPADB时，=，可得：BM=2.5，则PM=1.25，故P（1.5，1.25），当BMP1ABD时，P1（1.5，1.25），当BMP2BDA时，可得：P2（1.5，5），当BMP3BDA时，可得：P3（1.5，5）综上所述：点P的
41、坐标为：（1.5，1.25），（1.5，1.25），（1.5，5），（1.5，5）考点：1二次函数综合题；2探究型；3存在型；4分类讨论；5压轴题13（2017江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE的面积为，BCE的面积为，求的最大值；过点D作DFAC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得CDF中的某个角恰好等于BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；
42、2或【解析】根据勾股定理的逆定理得到ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（，0），得到PA=PC=PB=，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，DCF=2BAC=DGC+CDG，情况二，FDC=2BAC，解直角三角形即可得到结论试题解析：（1）根据题意得A（4，0），C（0，2），抛物线经过A、C两点，；（2）如图，令y=0，x1=4，x2=1，B（1，0），过D作DMx轴于M，过B作BNx轴交于AC于N，DMBN，DMEBNE， =，设D（a， ），M（a，），B（1.0），N（1，），=；当a=-2时，的最大值是；A（4，0），B（1，0），C（
43、0，2），AC=，BC=，AB=5，AC2+BC2=AB2，ABC是以ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，P（，0），PA=PC=PB=，CPO=2BAC，tanCPO=tan（2BAC）=，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G分两种情况：情况一：如图，DCF=2BAC=DGC+CDG，CDG=BAC，tanCDG=tanBAC=，即，令D（a，），DR=a，RC=，a1=0（舍去），a2=2，xD=2情况二，FDC=2BAC，tanFDC=，设FC=4k，DF=3k，DC=5k，tanDGC=，FG=6k，CG=2k，DG=k，RC=k，RG=k，DR=kk=k，a1=0（舍
44、去），a2=综上所述：点D的横坐标为2或考点：1二次函数综合题；2动点型；3最值问题；4存在型；5分类讨论；6压轴题14（2017江苏省苏州市）如图，二次函数的图象与x轴交于 AB两点，与y轴交于点C，OB=OC点D在函数图象上，CDx轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点（1）求b、c的值；（2）如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐
45、标；如果不存在，说明理由【答案】（1）b=-2， c=3；（2）F（0，2）；（3）Q（， ）或（，）【解析】（3）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QRPN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在RtQRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标试题解析：（1）CDx轴，CD=2，抛物线对称轴为x=1，=1，b=-2OB=OC，C（0，c），B点的坐标为（c，0），0=c2+2c+c，解得c=3或c=0（舍去），c=3；（2）设点F的坐标为（0，m）对称轴为直线x=1，点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）由（1）可知