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1、2018年中考数学备考之黄金考点聚焦考点三十六：解直角三角形 聚焦考点温习理解一、锐角三角函数的定义在RtABC中，C90°，ABc，BCa，ACb正弦：sinA余弦：cosA余切：tanA二、特殊角的三角函数值sincostan30°45°160°三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在RtABC中，C90°，则：(1)三边关系：a2b2c2；(2)两锐角关系：AB90°；(3)边与角关系：sinAcosB，cosAsinB，tanA；(4)sin2Acos2A1四、解直角三角形的应用常用知识1. 仰角和俯角：学=科网仰角：在视线与
2、水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i_坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，itan坡度越大，角越大，坡面_3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角名师点睛典例分类考点典例一、锐角三角函数的定义【例1】（2017年甘肃省兰州市西固区桃园中学中考数学模拟）如图，点A为边上的任意一点，作ACBC于点C，CDAB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是（）A. B. C. D. 【答案】C
3、【解析】ACBC，CDAB，+BCD=ACD+BCD，=ACD，cos=cosACD=，只有选项C错误. 故选C.考点：锐角三角函数的定义【点睛】掌握锐角三角函数的算法，正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边，正切（tan）等于对边比邻边.【举一反三】1. （2017哈尔滨第8题）在中，则的值为( )A.B.C.D.【答案】A考点：锐角三角函数的定义2.（2017江苏无锡第18题）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tanBOD的值等于 【答案】3.【解析】试题解析：平移CD到CD交AB于O，如图所示，则B
4、OD=BOD，tanBOD=tanBOD，设每个小正方形的边长为a，则OB=，OD=，BD=3a，作BEOD于点E，则BE=，OE=，tanBOE=，tanBOD=3.考点：锐角三角函数的定义考点典例二、特殊角的三角函数值【例2】（甘肃省兰州市第36中学2017年九年级数学中考模拟）在ABC中，（tanA）2+|cosB|=0，则C的度数为（）A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°【答案】D【解析】根据非负数的性质可得tanA= ，cosB= ，根据特殊角的三角函数值可得A=60°，B=45°，再由三角形的内角和定理可
5、得C=75°，故选D.考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理【点睛】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理【举一反三】1. （山东省德州市2017年中考数学第三次模拟） 计算：tan45°sin30°（ ）。A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】tan45°=1，sin30°= tan45°+sin30
6、6;=1+ = 故选C2.（2017山东烟台第14题）在中，则 【答案】【解析】试题解析：sinA=，A=60°，sin=sin30°=考点：特殊角的三角函数值考点典例三、解直角三角形【例3】（2017年天津市南开区兴华中学中考数学模拟）如图，已知在ABC中，ABC=30°，BC=8，sinA=，BD是AC边上的中线求：（1）ABC的面积；（2）ABD的余切值【答案】（1）16+8 ；（2）2 +2【解析】试题分析：（1）过点C作CEAB与点E，根据已知条件分别解BCE、ACE可得BE、CE、AE的长，即可计算SABC；（2）过点D作DHAB与点H知DHCE，由D
7、是AC中点可得HE=AE、DH=CE，即可得cotABD（2）过点D作DHAB与点H，CEAB，DHCE，又D是AC中点，AH=HE=AE=4，DH=CE=2，在RTBDH中，cotABD=2+2【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.【举一反三】(广东省广州市南沙区2016-2017学年九年级一模) 如图，在中，则BC=_.学科网【答案】9【解析】在RtABC中，ACB=90°，CDAB，ACD+BCD=90°，ACD+A=90°，BCD=A，tanBCD=tanA=，在RtABC中，AC=12，tan
8、A=，则BC=9，故答案为：9.考点典例四、解直角三角形的实际运用【例4】（2017湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为其中tan=2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米求点H到桥左端点P的距离； 来源:Zxxk.Com若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB【答案】求点H到桥左端点P的距离为250米；无人机的长度AB为5米【解析】试题分析：在RtAHP中，由tanAPH=tan=，即可解决问题；设BCHQ于C在RtBCQ中，求出CQ=1500米，由PQ=1255米，可得CP
9、=245米，再根据AB=HC=PHPC计算即可；考点：解直角三角形的应用仰角俯角问题【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角俯角的定义，及勾股定理的表达式，要注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用【举一反三】（2017湖南常德第24题）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数
10、据：cos75°0.2588，sin75°0.9659，tan75°3.732，1.732，1.414）【答案】3.05【解析】试题分析：延长FE交CB的延长线于M，过A作AGFM于G，解直角三角形即可得到结论试题解析：延长FE交CB的延长线于M，过A作AGFM于G，在RtABC中，tanACB=，AB=BCtan75°=0.60×3.732=2.2392，GM=AB=2.2392，在RtAGF中，FAG=FHD=60°，sinFAG=，sin60°=，FG=2.165，DM=FG+GMDF3.05米答：篮框D到地面的距离是
11、3.05米考点：解直角三角形的应用课时作业能力提升1. （浙江省宁波市李兴贵中学2018届九年级上册期末）在ABC中，C=90°，sinA=， 则tanA的值为（）A. B. C.
12、0; D. 【答案】C【解析】sinA=，设BC=12x，AB=13x，由勾股定理得：AC=5x，tanA=.故选C.2. （2017年内蒙古赤峰二中中考数学二模）已知：sin（x）=sinx，cos（x）=cosx，sin（x+y）=sinxcosy+cosxsiny，则下列各式不成立的是（ ）A. cos（45°）= B. sin75°= C. sin2x=2sinxcosx&#
13、160; D. sin（xy）=sinxcosycosxsiny【答案】B3. （2017广西百色第10题）如图，在距离铁轨200米处的处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，10秒钟后，动车车头到达处，恰好位于处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒. A B C. 200 D300【答案】A【解析】试题分析：作BDAC于点D在RtABD中，ABD=60°，AD=BDtanABD=200 （米），同理，CD=BD=200（米）则AC=200+200 （米）则平均速度是 =20（+1）米/秒来源:学.科.网故选A考点：
14、1.解直角三角形的应用方向角问题；2.勾股定理的应用4. （2017黑龙江绥化第9题）某楼梯的侧面如图所示，已测得的长约为3.5米， 约为，则该楼梯的高度可表示为（ ）A米 B米 C米 D米 【答案】A【解析】试题分析：在RtABC中，sinACB= ，AB=BCsinACB=3.5sin29°，故选A考点：解直角三角形的应用坡度坡角问题5. （2017重庆A卷第11题）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin4
15、0°0.64，cos40°0.77，tan40°0.84）A5.1米B6.3米C7.1米D9.2米【答案】A.【解析】试题解析：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQAP于点Q，CEAP，DPAP，四边形CEPQ为矩形，CE=PQ=2，CQ=PE，i=，设CQ=4x、BQ=3x，由BQ2+CQ2=BC2可得（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2或x=2（舍），则CQ=PE=8，BQ=6，DP=DE+PE=11，在RtADP中，AP=13.1，AB=APBQPQ=13.162=5.1，故选A考点：解直角三角形的应用.6. （2017山东烟台第12题）如图，数
16、学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平底面处安置侧倾器得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为.已知侧倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为（ ）（结果精确到0.1米，）A米 B米 C.米 D米【答案】C【解析】试题解析：过B作BFCD于F，AB=AB=CF=1.6米，在RtDFB中，BF=，在RtDFB中，BF=DF，BB=AA=20，BFBF=DF=20，DF34.1米，CD=DF+CF=35.7米，答：楼房CD的高度约为35.7米，故选C考点：解直角三角形的应用仰角俯角问题7. （2017辽宁大连第15题）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南
17、方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处.此时，处与灯塔的距离约为 .（结果取整数，参考数据：）【答案】102.【解析】试题分析：根据题意得出MPA=PAD=60°，从而知PD=APsinPAD=43，由BPD=PBD=45°根据BP=，即可求出即可过P作PDAB，垂足为D，考点：解直角三角形的应用方向角问题；勾股定理的应用.8. （2017广西贵港第16题）如图，点 在等边的内部，且，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的值为 【答案】【解析】试题解析：连接PP，如图，线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，CP=CP=6，PCP=60
18、6;，CPP为等边三角形，PP=PC=6，ABC为等边三角形，来源:Z#xx#k.ComCB=CA，ACB=60°，PCB=PCA，在PCB和PCA中 PCBPCA，PB=PA=10，62+82=102，PP2+AP2=PA2，APP为直角三角形，APP=90°，sinPAP=考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形9. （2017郴州第22题）如图所示，城市在城市正东方向，现计划在两城市间修建一条高速铁路（即线段），经测量，森林保护区的中心在城市的北偏东方向上，在线段上距城市的处测得在北偏东方向上，已知森林保护区是以点为圆心，为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高
19、速铁路是否穿越保护区，为什么？学&科网（参考数据： ）【答案】这条高速公路不会穿越保护区,理由详见解析.【解析】试题分析：作PHAC于H求出PH与100比较即可解决问题PH=PBsin60°=120× 103.80，103.80100，这条高速公路不会穿越保护区考点：解直角三角形的应用.10. （2017内蒙古呼和浩特第22题）如图，地面上小山的两侧有，两地，为了测量，两地的距离，让一热气球从小山西侧地出发沿与成角的方向，以每分钟的速度直线飞行，分钟后到达处，此时热气球上的人测得与成角，请你用测得的数据求，两地的距离长（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）【答
20、案】A，B两地的距离AB长为200（tan20°）米【解析】试题分析：过点C作CMAB交AB延长线于点M，通过解直角ACM得到AM的长度，通过解直角BCM得到BM的长度，则AB=AMBM考点：解直角三角形的应用11. （2017上海第21题）如图，一座钢结构桥梁的框架是ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且ADBC（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EFBC，垂足为点F，求支架DE的长【答案】（1）sinB= ；（2）DE =5【解析】试题分析：（1）在RtABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB
21、=计算即可；（2）由EFAD，BE=2AE，可得 ,求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；试题解析：（1）在RtABD中，BD=DC=9，AD=6，AB= =3 ，sinB= = （2）EFAD，BE=2AE，EF=4，BF=6，DF=3，在RtDEF中，DE= = =5考点：1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理.12. （2017湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像铜像由像体AD和底座CD两部分组成如图，在RtABC中，ABC=70.5°，在RtDBC中，DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确
22、到0.1米，参考数据：sin70.5°0.943，cos70.5°0.334，tan70.5°2.824）【答案】4.2m考点：解直角三角形的应用13. （2017海南第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，EAC=130°，求水坝原来的高度BC学！科网（参考数据：sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.2）【答案】水坝原来的高度为12米.【解析】试题分
23、析：设BC=x米，用x表示出AB的长，利用坡度的定义得到BD=BE，进而列出x的方程，求出x的值即可试题解析：设BC=x米，在RtABC中，CAB=180°EAC=50°，AB=，在RtEBD中，i=DB：EB=1：1，BD=BE，CD+BC=AE+AB，即2+x=4+，解得x=12，即BC=12，答：水坝原来的高度为12米.考点：解直角三角形的应用，坡度.14. （2017新疆乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口的北偏东方向，距离港口海里处，它沿北偏西方向航行至处突然出现故障，在处等待救援，之间的距离为海里，救援船从港口出发分钟到达处，求救援的艇的航行速度.，结果取整数）【
24、答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时【解析】BAD=30°，AB=20海里，BD=10海里，来源:学#科#网在RtABD中，AD=17.32海里，在RtBCE中，sin37°=，CE=BCsin37°0.6×10=6海里，cos37°=，EB=BCcos37°0.8×10=8海里，EF=AD=17.32海里，FC=EFCE=11.32海里，AF=ED=EB+BD=18海里，在RtAFC中，AC=21.26海里，21.26×364海里/小时学+科网答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时考点：解直角三角形的应用方向角问题来源:学|科|网22原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！