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1、2018年中考数学备考之黄金考点聚焦考点十五：二次函数聚焦考点温习理解一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。二、二次函数的解析式 二次函数的解析
2、式有三种形式：（1）一般式：（2）顶点式：（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。四、二次函数的性质 1、二次函数的性质2、二次函数中，的含义：来源:学科网
3、表示开口方向：>0时，抛物线开口向上, <0时，抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为x=表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。名师点睛典例分类考点典例一、二次函数的图象【例1】（2017四川宜宾第8题）如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x4）23交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D
4、、E分别为顶点则下列结论：a=；AC=AE；ABD是等腰直角三角形；当x1时，y1y2其中正确结论的个数是（）学！科网A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】试题解析：抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x4）23交于点A（1，3），3=a（14）23，解得：a=，故正确；E是抛物线的顶点，AE=EC，来源:学科网无法得出AC=AE，故错误；当y=3时，3=（x+1）2+1，解得：x1=1，x2=3，故B（3，3），D（1，1），则AB=4，AD=BD=2，AD2+BD2=AB2，ABD是等腰直角三角形，正确；（x+1）2+1=（x4）23时，解得：x1=1，x2=37，当37x1时，y
5、1y2，故错误故选B考点：二次函数的图象与性质.【点睛】根据二次函数的性质解决即可【举一反三】1. （2017哈尔滨第4题）抛物线的顶点坐标是( )A.B.C.D.2. （广东省2017届初中毕业生学业考试模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，与x轴交点的横坐标分别为-1、3，则下列说法错误的是（） A. 对称轴是直线x=1 B. 方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1，x2=3C. 当x1，y随x的增大而增大 D. 当-1x3时，y0来源:学#科#网Z#X#X#K考点典例二、二次函数的解析式【例2】（2017广西百色第17题）经过三点的抛物线解析式是 【答案】y=x2+
6、 x+3.考点：待定系数法求二次函数解析式【点晴】设抛物线解析式为y=a（x+2）（x4），再把C（0，3）坐标代入二次函数y=a（x+2）（x4）中，求出a的值即可.【举一反三】1. 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，2）它与反比例函数y=的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）Ay=x2x2By=x2x+2 Cy=x2+x2Dy=x2+x+22. （山东省临沂市郯城县红花镇初级中学等五校2017-2018学年九年级10月联考）对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A. y=2x2+8x+3 B. y=2x2
7、8x+3 C. y=2x2+8x5 D. y=2x28x+2考点典例三、二次函数的最值【例3】（2017年北京市东城区中考数学二模）下列关于二次函数y=x2+2x+3的最小值的描述正确的是（）A. 有最小值是2 B. 有最小值是3 C. 有最大值是2 D. 有最大值是3【点睛】根据顶点式得到它的顶点坐标是（-1，2），即可求出函数的最大值【举一反三】当2xl时，二次函数有最大值4，则实数m的值为【 】(A) (B) 或 (c)2或 (D)2或或考点典例四、二次函数的图象与性质【例4】（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，给出下列结论：b2=
8、4ac；abc0；ac；4a2b+c0，其中正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】试题解析：抛物线与x轴有2个交点，=b24ac0，所以错误；x=1时，y0，即ab+c0，对称轴为直线x=1，=1，b=2a，a2a+c0，即ac，所以正确；抛物线的对称轴为直线x=1，x=2和x=0时的函数值相等，即x=2时，y0，4a2b+c0，所以正确学科网所以本题正确的有：，三个，故选C考点：二次函数图象与系数的关系【点睛】根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案.来源:学科网【举一反三】1. （2017山东烟台第11题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：；.其中
9、正确的是（ ）A B C. D2. （湖北省随州市广水市广才中学2017届中考数学模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，其对称轴为直线x=1，给出下列结果：（1）b24ac；（2）abc0；（3）2a+b=0；（4）a+b+c0；（5）ab+c0则正确的结论是（ ）A. （1）（2）（3）（4） B. （2）（4）（5） C. （2）（3）（4） &#
10、160; D. （1）（4）（5）考点典例五、二次函数图象与平移变换【例5】（2017广西贵港第10题）将如图所示的抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A B C. D 【答案】C【解析】试题解析：由图象，得y=2x22，由平移规律，得y=2（x1）2+1，故选：C考点：二次函数图象与几何变换【点睛】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式【举一反三】1. （2017江苏盐城第6题）如图，将函数y=（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应
11、点分别为点A'、B'若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）Ay (x2)22 By (x2)2+7 Cy (x2)25 Dy (x2)2+42. （辽宁省大石桥市金桥管理区初级中学2017届九年级上学期期中考试）把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A. y=2（x+3）2+4 B. y=2（x+3）24 C. y=2（x3）24 D. y=2（x3）2+4来源:Z。xx。k.Com考点典例六、二次函数的综合题【例6】（2017甘肃庆阳第28题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交
12、于点B（-2，0），点C（8，0），与y轴交于点A（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系【答案】（1）y=x2+x+4；（2）N（3，0）；（3）OM=AC【解析】试题解析：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，二次函数的表达式为y=x2+x+4；（2）设点N的坐标为（n，0）（2n8），则BN=n+2，CN=8nB（2，0），C（8，0），BC=10，在y=x2+x+4中，
13、令x=0，可解得y=4，点A（0，4），OA=4，SABN=BNOA=（n+2）×4=2（n+2），MNAC， ， 0，当n=3时，即N（3，0）时，AMN的面积最大；（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，MNAC，M为AB边中点，OM=AB，AB=，AC=，AB=AC，OM=AC考点：二次函数综合题【点睛】此题既考查了待定系数法求二次函数的解析式又考查了确定二次函数的最大值，同时把二次函数与相似三角形的性质结合在了一起，是典型的二次函数的综合题.学！科网【举一反三】（2017广西贵港第25题）如图，抛物线与轴交于 两点，与轴的正半轴交于点，其顶点为.（1）写出两点的坐标（用含的式
14、子表示）；（2）设 ，求的值；（3）当是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.课时作业能力提升一选择题1（2017浙江宁波第10题）抛物线(是常数)的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. （2017四川泸州第12题）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则PMF周长的最小值是（）A3B4C5D63（天津市宁河区2017届九年级下学期第一次联考）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是( )A. 1
15、x5 B. x5 C. x1或x5 D. x1且x54. （2017贵州安顺第10题）二次函数y=ax2+bx+c（0）的图象如图，给出下列四个结论：4acb20；3b+2c0；4a+c2b；m（am+b）+ba（m1），其中结论正确的个数是（）A1B2C3D45. （2017江苏徐州第8题）若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是（ ）A且 B C. D6. （2017年河南省商丘市中考数学模拟）若A（4，y1），B（3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4xm的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y1y2y3 B. y2y1y3 C. y3y1y2 D. y
16、1y37. （2017年河北省沧州市中考数学模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（）A. B. C. D. （2017浙江嘉兴第10题）下列关于函数的四个命题：当时，有最小值10；为任意实数，时的函数值大于时的函数值；若，且是整数，当时，的整数值有个；若函数图象过点和，其中，则其中真命题的序号是（ ）ABCD 二填空题9. （2017上海第13题）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，1 ），那么这个二次函数的解析式可以是学！科网 10. （山东省临沂市郯城县红花镇初级中学等五校2017-2018学年九年级1
17、0月联考）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为_11. （2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：；抛物线经过点与点，则；无论取何值，抛物线都经过同一个点；，其中所有正确的结论是 12. （2017湖北武汉第16题）已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与轴的一个交点的坐标为(m,0)，若2<m<3，则a的取值范围是 三解答题13. （山东省德州市六校2018届九年级上学期第一次联考）已知抛物线经过三点A(2,6)、B(-1,0)、C(3,0)求这条抛物线所对应的
18、二次函数的解析式； （2）写出它的对称轴和顶点坐标.14. （2017浙江衢州第22题）定义：如图1，抛物线与轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果ABP的三边满足，则称点P为抛物线的勾股点。（1）直接写出抛物线的勾股点的坐标；（2）如图2，已知抛物线C：与轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件的点Q（异于点P）的坐标15. （2017浙江宁波第25题）如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连结，点在抛物线上，直线与轴交于点.(1)求的值及直线的函数表达式；(2)点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连结与直线交于点，连结并延长交于点，若为的中点.求证：；设点的横坐标为，求的长(用含的代数式表示).16原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！