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1、备战2018中考系列：数学2年中考1年模拟第一篇 数与式专题03 因式分解解读考点知识点名师点晴因式分解的概念 就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式 因式分解与整式乘法是互逆运算因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底因式分解的方法来源:Z§xx§k.Com来源:学科网1提取公因式法：mambmc=m（a+b-c）来源:学科网ZXXK来源:学+科+网Z+X+X+K确定好公因式是解题的关键来源:Z。xx。k.Com2公式法：（1）平方差公式：a2b2=（a+b）（a-b）；（2）完全平方公式：a2
2、7;2abb2=（a±b）2.要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式进考虑完全平方公式化3十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）这个是课后的内容，不做硬性的要求，熟练运用在高中学习就会轻松许多一定要熟记公式的特点 因式分解的步骤一“提”（取公因式），二“用”（公式）一“提”（取公因式），二“用”（公式）要分解到不能在分解为止2年中考【2017年题组】一、选择题1（2017湖南省常德市）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）Aa（m+n）=am+anBCD【答案】C【解析】考点：因式分解的意义二、填空题2（2017广东省）分解因式：= 【答案】a（
3、a+1）【解析】试题分析：直接提取公因式分解因式得出即可试题解析：=a（a+1）故答案为：a（a+1）考点：因式分解提公因式法3（2017吉林省）分解因式：= 【答案】【解析】试题分析：=故答案为：考点：1因式分解运用公式法；2因式分解学科网4（2017四川省内江市）分解因式：= 【答案】 【解析】试题分析：=故答案为：点睛：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底考点：提公因式法与公式法的综合运用5（2017四川省内江市）若实数x满足，则= 【答案】2020【解析】点睛：本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题
4、的关键，整体代入思想的利用比较重要考点：1因式分解的应用；2降次法；3整体思想6（2017广西百色市）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项3=1×3=1×（3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（1）=1 1×（1）+2×3=5 1×（3）+2×1=1 1×1+2×（3）=5（3）发现第个“交叉相乘之和”的结果1×（3）+2×1=1，等于一次项系数1即：，则像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十
5、字相乘法仿照以上方法，分解因式： 【答案】（x+3）（3x4）【解析】试题分析：根据“十字相乘法”分解因式得出=（x+3）（3x4）即可试题解析：=（x+3）（3x4）故答案为：（x+3）（3x4）考点：1因式分解十字相乘法等；2阅读型7（2017贵州省黔东南州）在实数范围内因式分解：= 【答案】【解析】考点：实数范围内分解因式三、解答题8（2017枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且pq），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解并规定：F（n）=例如12可以分解成1×1
6、2，2×6或3×4，因为1216243，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1xy9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3）【解析】试题分析：（1）对任意一个完全平方数m，设
7、m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；学科！网（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t，则t=10y+x，由“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可试题解析：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），|nn|=0，n×n是m的最佳分解，对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t，则t=10y+x，t是“吉祥数”，tt=（10y+x）（10x+y）=9（yx）=36，y=x+4，1xy9，x，y为
8、自然数，满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）=，F（59）=，所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为点睛：此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键考点：1因式分解的应用；2新定义；3因式分解；4阅读型9（2017重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到32
9、1，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1x9，1y9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值【答案】（1）F（243）=9，F（617）=14；（2）【解析】试题解析：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；F（617）=（167+716+671）÷111=14（2）s，t都是“相异数”，s=100x+32，t
10、=150+y，F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6F（t）+F（s）=18，x+5+y+6=x+y+11=18，x+y=71x9，1y9，且x，y都是正整数，或或或或或s是“相异数”，x2，x3t是“相异数”，y1，y5，或或，或或，k=或k=1或k=，k的最大值为点睛：本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F（n）的定义式，求出F（243）、F（617）的值；（2）根据s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18
11、，找出关于x、y的二元一次方程考点：1因式分解的应用；2二元一次方程的应用；3新定义；4阅读型；5最值问题；6压轴题【2016年题组】一、选择题1（2016吉林省长春市）把多项式分解因式，结果正确的是（）ABC（x+3）（x3）D（x+9）（x9）【答案】A【解析】考点：因式分解-运用公式法2（2016山东省滨州市）把多项式分解因式，得（x+1）（x3）则a，b的值分别是（）Aa=2，b=3Ba=2，b=3Ca=2，b=3Da=2，b=3【答案】B【解析】试题分析：（x+1）（x3）=，=，a=2，b=3故选B考点：因式分解的应用3（2016山东省潍坊市）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式
12、a+1的是（）ABCD【答案】C【解析】考点：因式分解的意义4（2016山东省聊城市）把进行因式分解，结果正确的是（）ABCD【答案】C【解析】试题分析：=故选C考点：提公因式法与公式法的综合运用学科#网5（2016广西贺州市）n是整数，式子计算的结果（）A是0B总是奇数C总是偶数D可能是奇数也可能是偶数【答案】C【解析】试题分析：当n是偶数时，=0，当n是奇数时，=，设n=2k1（k为整数），则=k（k1），0或k（k1）（k为整数）都是偶数，故选C考点：1因式分解的应用；2探究型；3分类讨论6（2016湖北省宜昌市）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：ab，xy，x
13、+y，a+b，分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A我爱美B宜晶游C爱我宜昌D美我宜昌【答案】C【解析】试题分析：=，xy，x+y，a+b，ab四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故选C考点：因式分解的应用7（2016福建省厦门市）设681×2019681×2018=a，2015×20162013×2018=b，则a，b，c的大小关系是（）AbcaBacbCbacDcba【答案】A【解析】考点：因式分解的应用二、填空题8（2016云南省）因式分解：= 【答案】（x+1）
14、（x1）【解析】试题分析：原式=（x+1）（x1）故答案为：（x+1）（x1）考点：1因式分解-运用公式法；2因式分解9（2016内蒙古巴彦淖尔市）分解因式：=_【答案】【解析】试题分析：=故答案为：考点：提公因式法与公式法的综合运用10（2016北京市）下图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式： 【答案】am+bm+cm=m（a+b+c）【解析】试题分析：由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）故答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）考点：因式分解-提公因式法11（2016四川省宜宾市）分解因式：= 【答案】【解析】考点：提公因式法与公式法的综合运用12（2016四川省
15、巴中市）把多项式分解因式的结果是 【答案】m（4m+n）（4mn）【解析】试题分析：原式=m（4m+n）（4mn）故答案为：m（4m+n）（4mn）考点：提公因式法与公式法的综合运用13（2016山东省威海市）分解因式：= 【答案】3（a+b）（ab）【解析】试题分析：原式=（2a+b+a+2b）（2a+ba2b）=3（a+b）（ab）故答案为：3（a+b）（ab）考点：因式分解-运用公式法14（2016山东省烟台市）已知，则的值为 【答案】4【解析】试题分析：，xy+2=0，x+y2=0，xy=2，x+y=2，=（xy）（x+y）=4故答案为：4考点：1因式分解-运用公式法；2非负数的性质：
16、绝对值；3非负数的性质：算术平方根；4整体思想15（2016广东省深圳市）分解因式：= 【答案】【解析】试题分析：原式=故答案为：考点：提公因式法与公式法的综合运用16（2016广西贺州市）将分解因式的结果是 【答案】m（x2）（m1）（m+1）【解析】考点：提公因式法与公式法的综合运用17（2016江苏省常州市）分解因式：= 【答案】【解析】试题分析：=故答案为：考点：提公因式法与公式法的综合运用学科￥网18（2016江苏省南京市）分解因式：2a（b+c）3（b+c）= 【答案】（b+c）（2a3）【解析】试题分析：原式=（b+c）（2a3），故答案为：（b+c）（2a3）考点：因式分解-提
17、公因式法19（2016浙江省杭州市）若整式（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 （写出一个即可）【答案】1【解析】考点：因式分解-运用公式法20（2016湖南省株洲市）分解因式：（x8）（x+2）+6x= 【答案】（x+4）（x4）【解析】试题分析：原式=（x+4）（x4）故答案为：（x+4）（x4）考点：因式分解-运用公式法21（2016贵州省黔东南州）分解因式：= 【答案】x（x+4）（x5）【解析】试题分析：原式=x（x+4）（x5）故答案为：x（x+4）（x5）考点：1因式分解-十字相乘法等；2因式分解-提公因式法22（2016湖北省荆门市）分解因式：（m+1
18、）（m9）+8m= 【答案】（m+3）（m3）【解析】试题分析：（m+1）（m9）+8m=（m+3）（m3）故答案为：（m+3）（m3）考点：因式分解-运用公式法学科网23（2016贵州省毕节市）分解因式：= 【答案】【解析】试题分析：原式=故答案为：考点：提公因式法与公式法的综合运用三、解答题24（2016黑龙江省大庆市）已知a+b=3，ab=2，求代数式的值【答案】18【解析】考点：提公因式法与公式法的综合运用考点归纳归纳 1：因式分解的有关概念基础知识归纳： 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算注意问题归纳：1. 符合因式分解的等式左边
19、是多项式，右边是整式积的形式2因式分解与整式乘法是互逆运算【例1】下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）A B C D【答案】B【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键考点：因式分解的有关概念归纳 2：提取公因式法分解因式基础知识归纳： 将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂提取公因式法：mambmc=m（a+b-c）注意问题归纳：1. 提公因式要注意系数；2. 要注意查
20、找相同字母，要提净【例2】（2017贵州省安顺市）已知，则的值为 【答案】 【分析】根据，可以求得的值【解析】，=xy（x+y）= =.故答案为：【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确因式分解的方法，利用题目中的已知条件解答考点：因式分解的应用【例3】（2017辽宁省沈阳市）因式分解：= 【答案】a（3a+1）【分析】直接提公因式a即可【点评】此题主要考查了提公因式法进行因式分解，关键是正确确定公因式考点：因式分解提公因式法归纳 3：运用公式法分解因式基础知识归纳：运用平方差公式：a2b2=（a+b）（a-b）；运用完全平方公式：a2±2abb2=（a±b）2
21、注意问题归纳：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解【例4】（2017江苏省镇江市）分解因式：= 【答案】（3+b）（3b）【分析】原式利用平方差公式分解即可【解析】原式=（3+b）（3b），故答案为：（3+b）（3b）【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键考点：1因式分解运用公式法；2因式分解【例5】（2017山东省济南市）分解因式：= 【答案】【分析】直接用完全平方公式分解即可【解析】=故答案为：【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2考点
22、：因式分解运用公式法归纳 4：综合运用多种方法分解因式基础知识归纳：因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项注意问题归纳：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底【例6】（2017辽宁省鞍山市）分解因式的结果是 【答案】2y（x+2）（x2）【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可【点评】此题考查了提公因式法与
23、公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键考点：1提公因式法与公式法的综合运用；2因式分解【例7】分解因式：【答案】【分析】此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组；解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组【解析】解法一：原式=；解法二：原式=【点评】二二分组有三种可能分组方法：一组，为一组或一组，为一组或一组，为一组；可以多试一下考点：因式分解的意义【例8】分解因式：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继
24、续分解，所以只能另外分组；（2）前三项作为一组，最后一项作为一组，先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解即可【点评】对于三一分组，一组的三项必须能够应用完全平方公式，然后再用平方差公式考点：因式分解的意义【例9】分解因式：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5由于6=2×3=（-2）×（-3）=1×6=（-1）×（-6），从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5（2）将y看成常数，把原多项式看成关于x的二次三项式，利用十字相乘法进行分解；（3）把看作一个整体【解析】（
25、1）原式=；（2）原式=；（3）原式=【点评】先按某个字母降幂排列后，再用口诀：首尾分解放两边，斜乘相加凑中间有些时候需要多试几次对于齐次多项式的分解，可以将其中一个字母看成常数，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，然后利用十字相乘法进行分解考点：因式分解的意义1年模拟一、选择题1下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A BC D【答案】C【解析】考点：因式分解的意义二、填空题2分解因式：= 【答案】x（x1）【解析】试题分析：首先提取公因式x，进而分解因式得出答案试题解析：=x（x1）故答案为：x（x1）考点：因式分解提公因式法3分解因式：= 【答案】（x+5）（x5）【解析】试
26、题分析：直接利用平方差公式分解即可试题解析：=（x+5）（x5）故答案为：（x+5）（x5）考点：因式分解运用公式法4分解因式：= 【答案】2x（x+2）（x2）【解析】考点：提公因式法与公式法的综合运用5因式分解：= 【答案】（x+1）（x2）【解析】试题分析：通过两次提取公因式来进行因式分解试题解析：原式=x（x2）+（x2）=（x+1）（x2）故答案为：（x+1）（x2）考点：因式分解提公因式法三、解答题6已知非零实数a，b满足a+b=3，求代数式的值【答案】6【解析】试题分析：将a+b=3代入求得ab的值，然后将其代入所求的代数式进行求值试题解析：，a+b=3，ab=2，=ab（a+b
27、）=2×3=6考点：1因式分解的应用；2分式的加减法7由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：示例：分解因式：（1）尝试：分解因式：_）；（2）应用：请用上述方法解方程：【答案】（1）2，4；（2）x=1或x=4【解析】考点：1解一元二次方程因式分解法；2因式分解十字相乘法等8发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数验证 （1）的结果是5的几倍？（2）设五个连续整数的中间一个为，写出它们的平方和，并说明是5的倍数延伸 任意三个连续整数的平方和被3整除余数是几呢？请写出理由【答案】（1）3；（2）见解析；延伸 2，理由见解析【解析】试题分析：（1）直接计算这个算式的值；（2）先用代数式表示出这几个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论试题解析：（1）=1+0+1+4+9=15=5×3，结果是5的3倍（2）n为整数，这个和是5的倍数延伸 余数是2理由：设中间的整数为n，被3除余2考点：1因式分解的应用；2完全平方公式；3整式的加减