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1、 专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与 证明 类型之一 以等腰三角形为背景的计算与证明 【经典母题】 把一张顶角为 36的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形你能办到吗？请画示意图说明剪法 解：如答图，作ABC 的平分线，交 AC 于点 D.在 BA 上截取 BEBD，连结 ED，则沿虚线 BD，DE 剪两刀，分成的 3 个三角形都是等腰三角形 【思想方法】 等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边长的计算 【中考变形】 12017 湖南已知
2、ABC 的三边长分别为 4，4，6，在ABC 所在平面内画一条直线，将ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 ( B ) A3 条 B.4 条 C.5 条 D.6 条 【解析】 如答图，当 ACCD，ABBG，AFCF，AEBE 时，都能得到符合题意的等腰三角形 22016 杭州已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为 m 和 n(mn)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则 ( C ) Am22mnn20 B.m22mnn20 Cm22mnn20 D.m22mnn20 【解析】 如答图，根据题意，得 m2m2(nm)2，2m2n2
3、2mnm2，m22mnn20. 32017 绍兴已知ABC，ABAC，D 为直线 BC 上一点， E 为直线 AC 上一点， ADAE， 设BAD，CDE. 经典母题答图 中考变形 1 答图 中考变形 2 答图 (1)如图 Z101，若点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上 如果ABC60，ADE70，那么_20_，_10_. 求 ，之间的关系式； (2)是否存在不同于以上中的 ，之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由 图 Z101 解：(1)ABAC，B60，BAC60， ADAE，ADE70，DAE1802ADE40， BAD6040 20
4、， ADCBADB6020 80 ， CDEADCADE10. 设Bx，ADEy，Cx，AEDy， 在DEC 中，yx，在ABD 中，xyx， 2； (2).当点 E 在 CA 的延长线上，点 D 在线段 BC 上时，如答图，设Bx，ADEy，Cx，Ey， 在ABD 中，xy，在DEC 中，xy180， 2180. 中考变形 3 答图 中考变形 3 答图 .当点 E 在 CA 的延长线上，点 D 在 CB 的延长线上时，如答图，同的方法可得 1802. 【中考预测】 2016 菏泽如图 Z102，ACB 和DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连结 BE. (1)如图，若CAB
5、CBACDECED50， 求证：ADBE. 求AEB 的度数； (2)如图，若ACBDCE120，CM 为DCE 中 DE 边上的高线，BN为ABE 中 AE 边上的高线，求证：AE2 3CM2 33BN. 图 Z102 解：(1)证明：CABCBACDECED50， ACBDCE18025080. ACBACDDCB，DCEDCBBCE， ACDBCE. ACB 和DCE 均为等腰三角形， ACBC，DCEC. 在ACD 和BCE 中，ACBC，ACDBCE，DCEC， ACDBCE(SAS)，ADBE； ACDBCE，ADCBEC. 点 A，D，E 在同一直线上，且CDE50， ADC18
6、0CDE130，BEC130， AEBBECCED1305080； (2)证明：ACB 和DCE 均为等腰三角形，且ACBDCE120， CDMCEM12(180120)30. CMDE，CMD90，DMEM. 在 RtCMD 中，CDM30， DE2DM2CMtanCDM2 3CM. ACBDCE120， ACBDCBDCEDCB，即ACDBCE， 又ACBC，CDCE，ACDBCE(SAS)， ADCBEC，ADBE. BECADC18030150， BECCEMAEB， AEBBECCEM15030120， BEN18012060. 在 RtBNE 中，N90，BEN60， BEBNsi
7、nBEN2 33BN. ADBE，AEADDE， AEDEBE2 3CM2 33BN. 类型之二 以直角三角形为背景的计算与证明 【经典母题】 已知：如图 Z103，在ABC 中，ADBC 于点 D，E 为 AC 上一点，且 BFAC，DFDC.求证：BEAC. 证明：ADBC，ADCBDF90， 又BFAC，DFDC， RtBDFRtADC(HL)，DBFDAC， BFDAFE， AEFBDF90，即 BEAC. 【思想方法】 直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛，常与三角形全等知识结合使用 图 Z103 【中考变形】 1如图 Z104，将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转
8、 90，得到ABC，连结 AA，若120，则B 的度数是 ( B ) A70 B65 C60 D55 【解析】 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90得到ABC，ACAC，ACA是等腰直角三角形，CAA45，ABC1CAA2045 65 ，由旋转的性质，得BABC65. 22016 济宁如图 Z105，在ABC 中，ADBC，CEAB，垂足分别为 D，E，AD，CE 交于点 H，请你添加一个适当条件_AECE(答案不唯一)_，使AEHCEB. 【解析】 该题为开放型题，根据垂直关系，可以找出AEH与CEB 的两对相等的对应角，只需要找它们的一对对应边相等就可以了 ADBC，CEAB，垂足
9、分别为 D，E， BECAECADB90， 在 RtAEH 中，EAH90AHE， 在 RtABD 中，EAH90B， BAHE. 根据 AAS 添加 AHCB 或 AECE，根据 ASA 添加 EHEB，可证AEHCEB. 故填空答案：AHCB 或 EHEB 或 AECE(答案不唯一) 3如图 Z106，在ABC 中，ABCB，ABC90，D 为AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BEBD，连结 AE，DE，DC. (1)求证：ABECBD； 图 Z104 图 Z105 图 Z106 (2)若CAE30，求BDC 的度数 解：(1)证明：ABC90， DBE180ABC18090
10、 90 ， ABECBD. 在ABE 和CBD 中，ABCB，ABECBD，BEBD， ABECBD(SAS)； (2)ABCB，ABC90， ABC 是等腰直角三角形，ECA45. CAE30，BEAECACAE， BEA4530 75 . 由(1)知BDCBEA，BDC75. 4 如图 Z107， ACB 与ECD 都是等腰直角三角形， ACBECD90，D 为 AB 边上的一点 图 Z107 (1)求证：ACEBCD； (2)若 DE13，BD12，求线段 AB 的长 解：(1)证明：ACB 与ECD 都是等腰直角三角形， CECD，ACBC，ACBECD90， ACEBCD90ACD，
11、 在ACE 和BCD 中，CECD，ACEBCD，ACBC. ACEBCD(SAS)； (2)ACEBCD， AEBD12，EACB45， EADEACCAD454590， 在 RtEAD 中，EAD90，DE13，AE12， 由勾股定理，得 AD DE2AE25， ABBDAD12517. 52017 重庆 B 卷如图 Z108，ABC 中，ACB90，ACBC，点 E 是AC 上一点，连结 BE. (1)如图，若 AB4 2，BE5，求 AE 的长； (2)如图，点 D 是线段 BE 延长线上一点，过点 A 作 AFBD 于点 F，连结CD，CF.当 AFDF 时，求证：DCBC. 图 Z
12、108 【解析】 (1)根据勾股定理先求得 ACBC4， 再利用勾股定理求 CE 的长即可； (2)过 C 点作 CMCF 交 BD 于点 M，构造BCMACF 得 FCMC，即FCM 为等腰直角三角形，AFCDFC135，再证DCFACF即可 解：(1)ACB90，ACBC，BACABC45. AB4 2，BCAC4 2224. 在 RtBCE 中，CE BE2BC2 52423， AEACCE431； (2)证明：如答图，过 C 点作 CMCF 交 BD 于点 M. ACBFCM90，ACFBCM， 中考变形 5 答图 ACBAFE90，BECAEF， FACMBC，在ACF 和BCM 中
13、， ACFBCM，ACBC，FACMBC，ACFBCM(ASA)， FCMC， MFCFMC45， DFC18045 135 ，AFC9045 135 ， DFCAFC.在ACF 和DCF 中， AFDF，AFCDFC，CFCF，ACFDCF(ASA)， ACDC.ACBC，DCBC. 【中考预测】 如图 Z109，ABAC，AEAF，BACEAF90，BE，CF 交于 M，连结 AM. (1)求证：BECF； (2)求证：BECF； (3)求AMC 的度数 图 Z109 中考预测答图 解：(1)证明：BACEAF90， BACCAEFAECAE， BAECAF，在CAF 和BAE 中， AC
14、AB，CAFBAE，AFAE，CAFBAE(SAS)， BECF； (2)证明：设 AC 与 BE 交点为 O，如答图， CAFBAE，ABEACF， BAC90，ABOBOA90， BOACOM，COMACF90， CMO18090 90 ，BECF； (3)如答图，过点 A 分别作 AGBE 于 G，AHCF 于 H， 则AGBAHC90，在AGB 和AHC 中， ABGACH，AGBAHC，ABAC， AGBAHC(AAS)，AGAH， AGBE，AHFC，BECF， AGMGMHAHM90， 四边形 AHMG 是正方形， GMH90，AMG12HMG45， AMC9045 135 .