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1、50第10章规律问题之坐标变化类一、单选题1如图，在平面直角坐标系内有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是（ ）A( 48，47)B(49，48)C(50，49)D (51，50)【答案】D【分析】通过图象可知，当跳到A2n时，坐标为（n+1，n）可得.【解答】解：由图象可知，点A每跳两次，纵坐标增加1，A2、A4、A6、A8各点坐标依次为（2，1）、（3，2）、（4，3）、（5，4）则A2n横坐标为：n+1，纵坐标为n，则A100坐标为（51，50）.故选D.【点评】本题为平面直角
2、坐标系中的点坐标规律探究题，解答时注意分别观察横纵坐标的变化规律2如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为已知，作点N关于点A的对称点N1，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，依此类推，则点的坐标为（ ）ABCD（5，4）【答案】A【分析】先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律即可求解【解答】解：由题意作出如下图形：N点坐标为（-1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（-3，0），N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（-3，-8），N3点关于A点对称的N4点的坐标为（-1，8），N4点关于B点
3、对称的N5点的坐标为（3，-4），N5点关于C点对称的N6点的坐标为（-1，0），此时刚好回到最开始的点N处，其每6个点循环一次，2020÷6=3364，即循环了336次后余下4，故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（-1，8）故选：A【点评】本题考查了平面直角坐标系内点的规律问题，找到点循环的规律是解题的关键3已知点M(2，2)，规定一次变换是：先作点M关于x轴对称，再将对称点向左平移1个单位长度，则连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A(2018，2)B(2018，2)C(2017，2)D(2017，2)【答案】A【分析】根据轴对称判断出点M变换后在x轴上方，然
4、后求出点M纵坐标，再根据平移的距离求出点M变换后的横坐标，最后写出坐标即可【解答】解：由题可得，第2020次变换后的点M在x轴上方，点M的纵坐标为2，横坐标为22020×12018，点M的坐标变为（2018，2），故选：A【点评】本题考查了坐标的对称变换和平移，读懂题目信息，确定出连续2020次这样的变换得到点在x轴上方是解题的关键4如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转45°后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2020次得到正方形，如果点的坐标为（1，0），那么点的坐标为（ ）A(1，1)BC(1，1)D【答案】C【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为
5、半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论【解答】解：如图，四边形OABC是正方形，且OA=1，B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB=，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到AOB=BOB1=B1OB2=45°，B1（0，），B2（-1，1），B3（-，0），B4（-1，-1），
6、发现是8次一循环，所以2020÷8=2524，点B2020的坐标为（-1，-1）故选：C【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型5如图，在平面直角坐标系中，已知点，A2在x轴的正半轴上，且，过点A2作交y轴于点A3；过点A3作交x轴于点A4；过点A4作交y轴于点A5；过点A5作交x轴于点A6；按此规律进行下去，则点A2019的坐标是（）ABCD【答案】A【分析】通过解直角三角形可得出点的坐标，同理可得出点，的坐标，根
7、据坐标的变化可得出变化规律“点的坐标为，为正整数）”，再结合即可得出点的坐标，此题得解【解答】解：，点的坐标为，同理，点的坐标为，为正整数），点的坐标为，即，故选：A【点评】本题考查了特殊角的三角形函数值以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“点的坐标为，为正整数）”是解题的关键6在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，我们把点P(y1，x1)叫做点P的幸运点已知点A1的幸运点为A2，点A2的幸运点为A3，点A3的幸运点为A4，这样依次得到点A1，A2，A3，An若点A1的坐标为(3，1)，则点A2020的坐标为（ ）A(-3，1)B(0，-2)C(3，1)D(0，4)【答案】B
8、【分析】根据题目已知条件先表示出6个坐标，观察其中的规律即可得出结果【解答】解：由题可得：A1(3，1)，A2(0，4)，A3(-3，1)，A4(0，-2)，A5(3，1)，A6(0，4)，所以是四个坐标一次循环，2020÷4=505，所以是一个循环的最后一个坐标，故A2020(0，-2)，故选：B【点评】本题主要考查的是找规律，根据题目给的已知条件找出规律是解题的关键7在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为1个单位长度/秒，点在弧线上的速度为个单位长度/秒，则2
9、021秒时，点P的坐标是（）A（2021，）BCD（2021，0）【答案】B【分析】设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论【解答】解：设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，观察，发现规律：P1（，），P2（1，0），P3（，），P4（2，0），P5（，），P4n1（，），P4n2（，0），P4n3（，），P4n4（，0），20214×5051，P2021为（，），故选：B【点评】本题主要考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律8如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，ABC=3
10、0°，在ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个AA1B1，第2个B1A2B2，第3个B2A3B3，则第10个等边三角形的边长等于（）ABCD【答案】B【分析】根据题目已知条件可推出，AA1=OB=，B1A2=A1B1=，B2A3=A2B2=，依此类推，第n个等边三角形的边长等于【解答】如图，点C（0，1），ABC=30°，OC=1，OB=OBA1=30°，AA1=OB=，AA1B1、A2B1B2为等边三角形，A1AB1=AA1B1=A2B1B2=60°，AA1B=B1A2B=90°，A1B1
11、A2=60°，则B1A1A2=30°，在RtB1A1A2中，B1A2=A1B1=，同理得：B2A3=A2B2=，依此类推，第n个等边三角形的边长等于，第10个等边三角形的边长=故选：B【点评】本题主要考查了等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，从而归纳出边长的规律9如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（2017，2）的是（）A点AB点CC点ED点F【答案】D【分析】根据题意，做出旋转后的图，根据
12、对应点，判断出这个正六边形旋转一周是6个单位长度，求出旋转单位长度，结合旋转周期即可求解【解答】如下图，当滚动到ADx轴时，E、F、A的对应点分别是E、F、A，连接AD，过点F、E作FGAD，EHAD，垂足分别为G、H，六边形ABCDEF是正六边形，AFG=30°，AG=AF=，同理DH=，AD=2，D（2，0），A（2，2），正六边形滚动6个单位长度是正好是一周，即6个单位长度一循环，从点（2，2）到点（2017，2）正好是2015个单位长度，2015÷6=3355，即滚动335周多5个，会最先会过点（2017 ，2）的是点F故选D【点评】本题考查了正多边形的旋转问题，找
13、到旋转周期和第一次旋转时对应点的坐标是本题的关键10如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OA1A2 的直角边 OA1 在 y轴的正半轴上，且 OA1A1A21，以 OA2 为直角边作第二个等腰直角三角 形 OA A3，以 OA3为直角边作第三个等腰直角三角OA3A4，依此规律，得到等腰直角三角形 OA2017A2018，则点 A2017 的坐标为（ ）A（0，21008）B（21008，0）C（0，21007）D（21007，0）【答案】A【分析】先根据等腰直角三角形的性质发现，的规律，再根据8个点一循环确定的位置，得到它的点坐标【解答】解：等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以
14、为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作等腰直角三角形，、每8个一循环，再回到y轴的正半轴，点在y轴的正半轴上，故选：A【点评】本题考查坐标找规律，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系内点坐标的特点，以及循环问题的求解方法二、填空题11如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，的位置，则点的坐标为_【答案】【分析】根据图形的翻转，分别得出、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可【解答】解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是依此类推下去，、的横坐标是2017，的横坐标是2018.5，的横坐
15、标是2020，的坐标是，故答案为【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、的横坐标，得出规律是解答此题的关键12在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1A1A2A2A3A3A4A4A5”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2020的坐标是_【答案】（1010，0）【分析】通过观察可得，每6个点的纵坐标规律：，0，0，0，点的横坐标规律：，1，2，3，即可求解【解答】解：图中是边长为1个单位长度的等边三角形， A2（1，0）A4（2，0）A6（
16、3，0）每6个点的纵坐标规律：，0，0，0， 2020÷63364，点P2020的纵坐标为0，点的横坐标规律：点的横坐标规律：，1，2，3，点P2020的横坐标为1010，点P2020的坐标（1010，0），故答案为（1010，0）【点评】本题考查点的规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，确定点的坐标规律是解题的关键13在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示那么点A2020的坐标是_【答案】（1010,0）【分析】这是一个关于坐标点的周期问题，先找到蚂蚁运动的周期，蚂蚁每运动4次为一个周期
17、，题目问点的坐标，即，相当于蚂蚁运动了505个周期，再从前4个点中找到与之对应的点即可求出点的坐标.【解答】通过观察蚂蚁运动的轨迹可以发现蚂蚁的运动是有周期性的，蚂蚁每运动4次为一个周期，可得：，即点是蚂蚁运动了505个周期，此时与之对应的点是，点的坐标为（2，0），则点的坐标为（1010，0）【点评】本题是一道关于坐标点的规律题型，解题的关键是通过观察得到其中的周期，再结合所求点与第一个周期中与之对应点，即可得到答案.14如图，已知直线a：y=x，直线b：y=-x和点P(1，0)，过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点p2，过点p2作y轴的平行线交直线a于点
18、p3，过点p3作x轴的平行线交直线b于点p4，按此作法进行下去，则点P2021的横坐标为_【答案】【分析】点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，求得，于是得到结论【解答】解：点，在直线上，轴，的纵坐标的纵坐标，在直线上，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，令，则的横坐标为，故答案为：【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键15如图，在平面直角坐标系中，点，点，作第一个正方形且点在上，点在上，点在上；作第二个正方形且点在上，点在上，点在上，如此下去，其中纵坐标为_，点的纵坐标为_【答案
19、】 【分析】先确定直线AB的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C1和C2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可【解答】解：设直线AB的解析式y=kx+b则有： ，解得： 所以直线仍的解析式是：设C1的横坐标为x，则纵坐标为正方形OA1C1B1x=y，即，解得 点C1的纵坐标为同理可得：点C2的纵坐标为=点Cn的纵坐标为故答案为：，【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键16正方形、按如图放置，其中点、在轴正半轴上，点、在直线上，依此类推，点的坐标是_【答案】【分析】先根据直线的
20、解析式，分别求得B1，B2，B3的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解【解答】解：四边形OA1B1C1是正方形，A1B1=B1C1，设B1的坐标是（x，-x+2），x=-x+2，x=1B1的坐标是（1，1）点A1的坐标为（1，0） A1A2B2C2是正方形，B2C2=A1C2，点B2在直线y=-x+2上，B2C2=B1C2，B2C2=A1B1=，点B2的坐标为（1+，），同理，可得到点B3的坐标为（1+，）依此类推，可得到点Bn的坐标为（1+ ，），即Bn的坐标为.故答案为: .【点评】本题主要考查了一次函数的性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键17如图，在平面直角坐标系
21、中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律，第个点的坐标为_【答案】【分析】根据题意，得到点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，由于，所以第2020个点在第45个矩形右下角顶点，向上5个单位处【解答】根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为，共有个，右下角的点的横坐标为时，共有个，右下角的点的横坐标为时，共有个，右下角的点的横坐标为时，共有个，右下角的点的横坐标为时，共有个，是奇数，第个点是，第个点是，故答案为：【点评】本题考查了规律的归纳总结，重点是先归纳总结规律，然后在根据规律求
22、点位的规律18如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2016次，依次得到点P1，P2，P3，P2016，则点P2016的坐标是_【答案】(4031，)【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1，），在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2016的坐标【解答】边长为2的等边三角形，P1（1，），而P1P2=P2P3=2，P2（3，），P3（5，）；依此类推，Pn（1+2n-2，），即Pn（2n-1，）；当n=2016时，P2016（4031，）故答案为（4031，）【点评】本题主要考查了规律型问
23、题，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值，难度适中19如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，点P2020的坐标是_【答案】（5，0）【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（
24、0，3），2020÷63364，当点P第2020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0），故答案为：（5，0）【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键20正方形，正方形，正方形，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，若点、和、分别在直线和轴上，则点的坐标是_【答案】【分析】根据直线解析式先求出OA1=1，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为22，得出规律，即可求出第n个正方形的边长，从而求得点Bn的坐标，即可求得点B2020的坐标【解答】解：直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=
25、0时，x=-1，OA1=1，B1（1，1），OA1=1，OA=1，OAA1=45°，A2A1B1=45°，A2B1=A1B1=1，A2C1=2=21，B2（3，2）同理得：A3C2=4=22，B3（7，4）；B4（24-1，24-1），即B（15，8），Bn（2n-1，2n-1），B（22020-1，22019）故答案为（22020-1，22019）【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解题的关键三、解答题21一青蛙要从A点跳到B点，以平均每分钟2米的速度跳跃它先前进1米，再后退2米，又
26、前进3米，再后退4米，（每次跳跃都在A、B两点所在的直线上）（1）5分钟后它离A点多远？（2）若A、B两点相距100米，它可能到达B点吗？如果能，它第一次到达B点需要多长时间？如果不能，请说明理由【答案】（1）距A点2米；（2）能，所用时间为9950分钟【分析】（1）根据题意找出青蛙每次跳跃时离开A点的距离，再进行解答即可；（2）由（1）中得出的规律即可进行解答【解答】解：（1）5分钟青蛙跳跃2×5=10米，这10米正好是青蛙先前进l米，再后退2米，又前进3米，再后退4米的总路程，1-2+3-4=-2米，所以此时青蛙距A点2米；（2）跳第一次，实际前进了1米；到跳第三次时，实际又前进
27、了1米；所以可以发现每跳奇数次会前进1米所以青蛙要到达B点需要跳199次所用时间：（1+2+3+4+199）÷2=19900÷2=9950（分钟）【点评】本题考查的是有理数的加法，根据题意找出规律是解答此题的关键22在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示：（1）填写下列各点的坐标：A5( ， )，A9( ， )，A13( ， )；（2）写出点的坐标（n是正整数）；（3）指出蜗牛从点到点的移动方向【答案】（1）2，1；4，1；6，1；（2）；（3）向上【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写
28、各点的坐标；（2）根据（1）发现规律即可写出点A4n+1的坐标（n为正整数）；（3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向【解答】解：（1）根据点的坐标变化可知：各点的坐标为：A5（2，1），A9（4，1），A13（6，1）；故答案为：2，1；4，1；6，1；根据（1）发现：点A4n+1的坐标（n为正整数）为（2n，1）；因为每四个点一个循环，所以2021÷4=5051所以蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向是向上【点评】本题考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运用规律23在平面直角坐标
29、系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动一个单位，其行走路线如图所示（1）填写下列各点的坐标：A4( )；A8( )；A12( )（2）指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向 【答案】（1）2，0；4，0；6，0；（2）向上【分析】（1）观察图形可知，A4，A8、A12都在x轴上，求出OA4、OA8、OA12的长度，然后写出坐标即可；（2）根据100是4的倍数，可知从点A100到A101的移动方向与从点O到A1的方向一致【解答】解：（1）由图可知，A4，A8、A12都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位，OA42，OA84，OA126，A4（2，0），A8（4
30、，0），A12（6，0）故答案：2，0；4，0；6，0；（2）100÷425，100是4的倍数，从点A100到A101的移动方向与从点O到A1的方向一致，为向上【点评】本题是对点的变化规律的考查，属于常考题型，仔细观察图形，确定蚂蚁移动4次完成一个循环、找到规律是解题的关键24如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，（1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按这些变换规律将三角形变换成三角形，求和的坐标；（2）若按第（1）题的规律将三角形进行了次变换，得到三角形，请推测和的坐标【答案】（1），；（2），【分析
31、】(1)据图形，A4的横坐标是A3的横坐标的2倍，纵坐标相同，B4横坐标是B3的2倍，纵坐标是0；(2)由（1）知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，即可写出An、Bn的坐标【解答】（1），它们的纵坐标都是3，而横坐标依次为因此，即，它们的纵坐标都是0，而横坐标依次是，因此，即；（2）由上题规律可知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1所以An（2n，3），Bn（2n+1，0）故答案分别为，【点评】本题考查了坐标与图形性质，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数幂是解题的关键.25在直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的小
32、正方形的格点上，关于轴的对称图形为，以与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到图形所示的图形（1）观察以上图形并填写下列各点坐标：，（为正整数）（2）若是这组图形中的一个三角形，当时，则 ， 【答案】（1）；（2），【分析】（1）结合图形，先写出、的坐标，然后结合图形可发现规律，的横坐标依次多4，纵坐标没变从而可得的坐标；找出图中A、B、C的角码变化规律，然后根据可得m、k得到值【解答】解：（1）由图可得，由图可得，的纵坐标不变，横坐标多一个就多4，的坐标为，即，故答案为2，2；6，2；，2；（2）因为，所以当n为奇数时，由图可得，对应，对应，对应，对应，对应，故当时，；对应C，B3对应，对应，对应，故当时，故答案为1010，1009【点评】本题主要考查了轴对称与坐标的变化关系，解答此题的关键是弄清向右翻折只变横坐标，纵坐标不变