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1、二次函数图象综合应用 知识互联网 题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系思路导航图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面若二次函数解析式为（或）（），则：开口方向，越大，开口越小对称轴（或）顶点坐标，或，单调性 当时，在对称轴的左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随的增大而增大（如图1）；当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点 与轴的交点：； 与轴的交点：，其中是方程的两根图象与轴的交点个数 当时，图象与轴有两个交点 当时，图象与轴只有一个交点 当时，图象与轴没有交点当时，图象落在轴的
2、上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有例题精讲【引例】 二次函数的图象如图所示，判断，的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以；函数的对称轴，所以；函数图象与轴的交点小于，所以；函数图象与轴有两个不同的交点，所以；同时，所以；所对应的函数值小于，所以；所对应的函数值大于，所以典题精练【例1】 二次函数的图象如图所示，则点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（） A B C D 一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，点的坐标为，则下列结
3、论中，正确的是（）A B C D【解析】 B. BD.【例2】 如图，抛物线，下列关系中正确的是（ ）A B C D ） 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，若，则的值为 【解析】 A提示：把代入即可 提示：先把B代入，得，再把代入即可【例3】 函数与的图象如图所示，有以下结论：0；当1x3时，其中正确的为 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；，（的实数）； ；，其中正确的结论有（ ）A个B个C个D个【解析】 C对称轴在轴的右边得（由开口向下得，故），抛物线与轴交于正半轴得，不正确；当时，函数值为，不正确；当时，函数值，正确；其实和到对称轴的距离相等，函数值相等得，代入，即，正确；当
4、，可知正确；由对称轴得，故正确；抛物线与轴有两个交点，故，故不正确；，故，故不正确题型二：二次函数的最值思路导航 对于二次函数（表示的最大值，表示的最小值） 若自变量的取值范围为全体实数，如图，函数在顶点处时，取到最值 若，如图，当，；当， 若，如图，当，；当， 若，且，,如图，当，；当，例题精讲【引例】 若为任意实数，求函数的最小值； 若，求的最大值、最小值； 若，求的最大值、最小值； 若，求的最大值、最小值； 若为整数，求函数的最小值【解析】 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当时，的最小值是 由图象可知：当时，函数单调递增，当时，最小，且，当时，最大，且 由图象可知：当时，函数是先减后
5、增，当，最小，且当时，；当时， ，当时，最大，且 由函数图象开口向上，且，故当时，取最大值为，当时，取最小值为 ，当时，取最小值为【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标是否在给定区域内若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）典题精练【例4】 已知m、n、k为非负实数，且，则代数式的最小值 为 已知实数满足，则的最大值为 当时，二次函数的最小值为（ ）A B C D 【解析】 m、n、k为非负实数，且，m、n、k最小为0，当n=0时，k最大为：；，故最小值为2.
6、5 提示：，令，当，的最大值为本题属于为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握 B提示：二次函数的对称轴为，且抛物线的开口向上，故时，的最小值为【例5】 如图，抛物线经过点，且与抛物线相交于两点yxPAOBMENF 求值； 设与轴分别交于两点（点在点的左边），与轴分别交于两点（点在点的左边），观察四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明； 设两点的横坐标分别记为，若在轴上有一动点，且，过作一条垂直于轴的直线，与两条抛物线分别交于两点，试问当为何值时，线段有最大值？其最大值为多少？yxPAOBDQC【解析】 点在抛物线上，解得NFEM 由知，抛物线，当时，解得，点在点的左边，当时，解
7、得，点在点的左边，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称 抛物线开口向下，抛物线开口向上根据题意，得又，消可解得，则当时，的最大值为【例6】 二次函数的图象的一部分如图所示，求的取值范围 二次函数的图象的一部分如图所示，试求的取值范围【解析】 根据二次函数图象可知，又此二次函数图象经过，则有，得，据图象得对称轴在轴左侧，于是有 由图象可知又顶点在轴的右侧，在轴的下方，则：，又当时，当时，即精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息： 根据抛物线的开口方向判断的正负性
8、根据抛物线的对称轴的位置判断与之间的关系 根据抛物线与轴的交点，判断的大小 根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于的等式 根据抛物线的顶点，判断的大小例. 的图象如图所示设，则（ ） A B C D不能确定为正，为负或为分析：依题意得，又当时，当时， 故，故选C【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲)区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例求在
9、上的最大值和最小值分析：先求最小值因为的对称轴是，可分以下三种情况： 当时，在上为增函数，所以； 当时，为最小值，； 当时，在上为减函数，所以综上所述：最大值为与中较大者：，（1）当时，则；（2）当时，则故点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较与的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况3、轴定区间动：例若函数当时的最小值为，求函数当时的最值分析：，按直线与区间的不同位置关系分类讨论：若，
10、则；若，即，则；若，即，则函数在内是减函数，在内是常值函数，在内是增函数，又，故在区间内，（当时取得），小结：（i）解此类问题时，心中要有图象；（ii）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与轴交点的横坐标因此，可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的
11、实根分布问题设二次方程的两个实根、，方程对应的二次函数为1当方程有一根大于，另一根小于时，对应二次函数的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：；2当方程两根均大于时，对应函数的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：， ，；3当方程两根均在区间内，对应二次函数的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：， ，；4当两根中仅有一根在区间内，对应函数的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ；5当两根在区间之外时：对应函数的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：，；6当两根分别在区间、内，且，对应函数的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：， 小结： 由函
12、数图像与轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：判别式的符号；对称轴的位置分布；二次函数在实根分布界点处函数值的符号例若方程的两个根均大于2，求实数的取值范围分析：令，如图得充要条件：，解得思维拓展训练(选讲)训练1. 已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（ ） A B C D【解析】 B由，且，可得， ，且过点，由，且=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：，另一方法：，从而得到训练2. 已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论： 当时，； 当时，； 方程有两个不相等的实数根、；，；，其中所有正确的结论是_.（只需填写序号）【解析】 当时，代入得，故正确
13、；因为的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当时，故不正确；联立方程可得，抛物线与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根当时，若，若，故正确，故不正确.训练3. 如图所示，二次函数的图象交轴于和，交轴于，当线段最短时，求线段的长【解析】 设，则，是方程的两根，则当时，取最小值，即最短，此时，抛物线为， 可求得的纵坐标为，即线段的长是训练4. 小明为了通过描点法作出函数的图象，先取自变量的个值满足：，再分别算出对应的值，列出表：表1：记，；， 判断、之间关系； 若将函数“”改为“”，列出表2：表2：其他条件不变，判断、之间关系，并说明理由； 小明为了通过描点法作出函数的图象，列出表3：表3：
14、由于小明的粗心，表3中有一个值算错了，请指出算错的值（直接写答案）【解析】 ； 证明：同理， 表中的改为 复习巩固题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 函数与在同一坐标系中图象大致是图中的（ ） 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 A D【练习2】 如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经点和且与轴交于负半轴1 下列四个结论：；， 其中正确的结论的序号是 给出下列四个结论：； ；其中正确的结论的序号是 【解析】 图象开口向上得；对称轴可得；当时，即；由时，即故由可知；对称轴，；点和在抛物线上，代入解析式得两式相加得，得
15、，即故【练习3】 如图，表示抛物线的一部分图象，它与轴的一个交点为，与轴交于点则的取值范围是（ ）A B C D【解析】 B【练习4】 二次函数的图象大致如图所示，判别，和的符号，并说明理由；如果，求证：【解析】 解：因为抛物线开口向上，因为抛物线与轴交于负半轴，又因为抛物线对称轴在轴的右侧，即，异号，由，得因为抛物线与轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实根，所以其判别式 证明：由于点坐标为，而，所以点坐标为，把代入，得因为，所以题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x的一元二次方程. 求证：方程有两个实数根； 若，求证方程有一个实数根为； 在的条件下，设方程的另一个根为.
16、当时，关于m的函数与的图象交于点、（点在点的左侧），平行于轴的直线与、的图象分别交于点、. 当沿由点平移到点时，求的最大值. 【解析】 证明：. ， . 方程有两个实数根. 解：由，得 当x=1时，等号左边.等号右边=0.左边=右边. 是方程的一个实数根. 解：由求根公式，得. x =m或 ， .当时， 如图，当l沿AB由点A平移到点B时， 由，得解得m=2或m=1. mA=2，mB=1. 2<<1，当m=时，CD取得最大值. 课后测【测试1】 设二次函数图像如图所示，试判断：的符号【解析】由图像可知，于是【测试2】 若，求的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当时，函数是先减后增，当，最小，且当时，当时， ，当时，最大，且15