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1、33第6章四边形之与正方形有关的其他题型一、单选题1如图，四边形是正方形，是的中点，连接与对角线相交于点，连接并延长，交于点，连接交于点以下结论：；其中正确结论的个数有（ ）A1B2C3D4【答案】D【分析】证明ABEDCE，可得结论正确；由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD，BE=CE，DCE=ABE=90°，ABD=CBD=45°，可证ABEDCE，ABGCBG，可得BCF=CDE，由余角的性质可得结论；证明DCECBF可得结论，证明CHFCBF即可得结论正确【详解】解：四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，AB=AD=BC=CD，BE=CE，DCE=ABE=9
2、0°，ABD=CBD=45°，ABEDCE（SAS）DEC=AEB，BAE=CDE，DE=AE，故正确，AB=BC，ABG=CBG，BG=BG，ABGCBG（SAS）BAE=BCF，BCF=CDE，且CDE+CED=90°，BCF+CED=90°，CHE=90°，CFDE，故正确，CDE=BCF，DC=BC，DCE=CBF=90°，DCECBF（ASA），CE=BF，CE=BC=AB，BF=AB，AF=BF，故正确，BCF+BFC=90°，DEC=BFCBCF+DECC=90°，CHE=90°CHE=FB
3、C又DEC=BFCCHFCBF BC=2CE， 故选：D【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键2如图，正方期ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且为F，则EF的长为（ ） A2BCD【答案】D【分析】在AF上取FG=EF，连接GE，可得EFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EG=，EGF=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BAE+AEG=EGF，然后求出BAE=AEG=22.5°，根据等角对等边可得AG=EG，再根据正
4、方形的对角线平分一组对角求出ABD=45°，然后求出BEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BF=EF，设EF=x，最后根据AB=AG+FG+BF列方程求解即可【详解】解：如图，在AF上取FG=EF，连接GE，EFAB，EFG是等腰直角三角形，EG=EF，EGF=45°，由三角形的外角性质得，BAE+AEG=EGF，BAE=22.5°，EGF=45°，BAE=AEG=22.5°，AG=EG，在正方形ABCD中，ABD=45°，BEF是等腰直角三角形，BF=EF，设EF=x，AB=AG+FG+BF，4=x+x+x，解得x=故
5、选：D【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出等腰直角三角形并根据正方形的边长AB列出方程3如图，已知正方形ABCD的边长为12，BEEC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：ADGFDG；GB2AG；GDB45°；SBEF 在以上4个结论中，正确的有（）A1B2C3D4【答案】C【解析】试题解析：由折叠可知，DF=DC=DA，DFE=C=90°，DFG=A=90°，ADGFDG，正确；正方形边长是12，BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，由
6、勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12-x）2，解得：x=4AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，正确；BE=EF=6，BEF是等腰三角形，易知GED不是等腰三角形，错误；SGBE=×6×8=24，SBEF=SGBE=，正确故选C考点：正方形综合题.4如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，于点E，于点F，连接AP，给出下列结论：；四边形PECF的周长为8；一定是等腰三角形；的最小值为其中正确结论的序号为( ) ABCD【答案】A【分析】根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，求得；根据等腰直角三角形和矩形
7、的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形；由PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明；当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于【详解】如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H， PEBC，PFCD，BCD=90°，四边形PECF为矩形，PF=CE，GFBC，DPF=DBC，四边形ABCD是正方形，DBC=45°DPF=DBC=45°，PDF=DPF=45°，PF=EC=DF，在RtDPF中，DP2=DF2
8、+PF2=EC2+EC2=2EC2，DP=EC故正确；四边形PECF为矩形，四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8，故正确；点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ADP=45，当PAD=45或67.5或90时，APD是等腰三角形，除此之外，APD不是等腰三角形，故错误；四边形PECF为矩形，PC=EF，由正方形为轴对称图形，AP=PC，AP=EF，故正确；BD=，由EF=PC，当PC最小时，EF最小，则当PCBD时，即PC=BD=时，EF的最小值等于，故正确；综上所述，正确，故选：A【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用本题难度较
9、大，综合性较强，在解答时要认真审题5如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转90°得到，连接，给出结论：；若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，有最小值其中结论正确的是（ ）ABCD【答案】B【分析】延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证AMEHCE，可得AEEH，由直角三角形的性质可得AEEFEH，即可判断；由四边形内角和定理可求2ADE2EDF270°，可得ADF135°，即可判断；由连接AC，过点E作EPAD于点P，过点F作FNEP于N，交CD于G，连接CF，由梯形中位线定理可求PE（AMCD），由“AAS”可证APEENF，可得
10、APNEAD，即可求AM2DG2×DF，即可判断；由垂线段最短，可得当CFDF时，CF有最小值，由等腰直角三角形的性质可求CF的最小值，即可判断【详解】如图，延长AE交DC的延长线于点H，点E是CM的中点，MEEC，ABCD，MAEH，AMEHCE，AMEHCE（AAS），AEEH，又ADH90°，DEAEEH，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，AEEF，AEF90°，AEDEEF，故正确；AEDEEF，DAEADE，EDFEFD，AEFDAEADEEDFEFD360°，2ADE2EDF270°，ADF135°，CDFAD
11、FADC135°90°45°，故正确；EPAD，AMAD，CDAD，AMPECD，1，APPD，PE是梯形AMCD的中位线，PE（AMCD），FDC45°，FNCD，DFGFDC45°，DGGF，DFDG，AEPFEN90°，AEPEAP90°，FENEAP，又AEEF，APEENF90°，APEENF（AAS），APNEAD，PE（AMCD）NENPADNP，AMNPDG，AM2DG2×DF，故错误；如图，连接AC，过点E作EPAD于点P，过点F作FNEP于N，交CD于G，连接CF，EPAD，FNEP，
12、ADC90°，四边形PDGN是矩形，PNDG，DGN90°，CDF45°，点F在DF上运动，当CFDF时，CF有最小值，CD2，CDF45°，CF的最小值，故正确；故选：B【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例，梯形中位线的定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键6如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，过B作BGDE交AD于G，BG与AF交于点M对于下列结论：AFDE；G是AD的中点；GBPBPE；SAGM：SDEC1：4正确的个数是（）A1
13、个B2个C3个D4个【答案】C【分析】根据正方形性质得出；，证，推出，求出即可判断；证明四边形GBED为平行四边形，则可知正确；由平行线的性质可得正确；证明，可得出：则不正确【详解】解：正方形ABCD，E，F均为中点ADBCDC，ECDFBC，在ADF和DCE中，ADFDCE（SAS），AFDDEC，DEC+CDE90°，AFD+CDE90°DGF，AFDE，故正确，四边形GBED为平行四边形，GDBE，BEBC，GDAD，即G是AD的中点，故正确，GBPBPE，故正确，AFDE，AFBG，ANGADF90°，GAMFAD，AGMAFD，设AGa，则AD2a，AF
14、a，ADFDCE，SAGM：SDEC1：5故错误故选：C【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的判定与和性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键7如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的点，且CE=2BE，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PFAE交CB的延长线于点F，下列结论：AED+EAC+EDB90°；AP=FP；AE=AO；若四边形OPEQ的面积为2，则该正方形的面积为36；CE·EF=EQ·DE其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】先根据
15、正方形的性质证得AOP是直角，再利用三角形的外角的性质即可判定；直接利用四点共圆可证AFP=ABP=45°；设BE=a则EC=2a，然后利用勾股定理得到AE和OA的长，即可得出结论；利用相似得到BP与DP的比导出BP与OP的比，同理求出OQ与QC的比，设BEP的面积为S，再利用同高时面积比即为底的比求出OPE和OQE的面积，表示出四边形OPEQ的面积，求出S的值，再通过正方形面积是24S即可求出结果；如果当E是BC边中点时可得FPEDCE，可得结论，因为已知中EC=2BE时，所以FPE与DCE不相似，所以错误【详解】解：如图，连接OE、 AF，ABCD是正方形，ACBD，AOP=90
16、°，AED+EDB=APO，AED+EAC+EDB=APOEAC=90°，故正确；PFAE，APF=ABF=90°，即A、P、B、F四点共圆，AFP=ABP=45°，PAF=PFA=45°，PA=PF，故正确；设BE=a，则EC=2a，则AE=a，OA=OC=OB=OD=a， ，AE=AO，故错误；连接OE，CE=2BE，BE：EC：BC=1：2：3AD/BCBEPDAP，EQCDQA，BP：DP=1：3，CQ：AQ=2：3，BP：OP=1：1，OQ：CQ=1：4，设SBEP=S，则SOPE=S，则SBEO=2S，SECO=4S，SOEQ=，S
17、BCO=2S+4S=6S，四边形OPEQ的面积是2，S+=2，S=，正方形ABCD的面积=4SBCO=24S=，故错误；BE=2ECPEBCED，且FPE不一定与DCE相似， ，又EQPE，CE·EFEQ·DE，故错误；共有2个正确故选：B【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，灵活运用所学知识解决问题是解答本题的关键8如图，四边形是边长为2的正方形，点为线段上的动点，为的中点，射线交的延长线于点，过点作的垂线交于点、交的延长线于点，则以下结论：；当点与点重合时；当时，成立的是ABCD【答案】C【分
18、析】利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识一一判断即可【详解】解：如图1，四边形是正方形，故正确；，故不正确；当点与点重合时，如图2，是的中点，在和中，设，则，中，故正确；如图3，是的中点，中，中，在和中，故不正确；本题成立的结论有：；故选：【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题二、填空题9如图，已知矩形中，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接当四边形为正方形时，_；若，则折叠后重叠部分的面积为_【答案】 【分析】根据正方形的
19、性质证明，令，则，求得，得到，再证明，得到，即可得到结果；【详解】解：四边形为正方形，令，则，（不符合题意，舍去），即为的中点，折叠后重叠部分的面积为：，故答案为：；【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键10如图，将边长为1的正方形绕点逆时针旋转30°到正方形的位置，则图中阴影部分的面积为_【答案】【分析】过点作于点，利用正方形的性质和旋转的性质可证得ADE为等边三角形，由等腰三角形的判定可得MDE为等腰三角形，继而求得，然后设，则，根据勾股定理列方程求解可得，进而由三角形面积公式即可求解【详解】如图，过点作于点，四边形为正方形，正方形绕
20、点逆时针旋转30°到正方形的位置， ADE为等边三角形，MDE为等腰三角形，.在中，设，则，解得：，（舍去），故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形判定与性质，解直角三角形，利用等边三角形和等腰三角形的性质求出，是解题的关键11如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：BEDF，AEB75°，EGFG且AGE90°，BEFGSABESCEF其中正确结论是_（填序号）【答案】【分析】通过条件可以得出ABEADF，从而得出BAEDAF，BEDF，AEB75°；由正方形的性质
21、就可以得出ECFC，得AC垂直平分EF，得EGFG且AGE90°；设ECx，BEy，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出SCEF和2SABE，再通过比较大小就可以得出结论【详解】解：四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，BBCDDBAD90°AEF等边三角形，AEEFAF，EAF60°BAE+DAF30°在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BEDF，所以故正确；BAEDAF，BAE+DAF30°，BAEDAF15°，AEB75°，所以正确；BCCD，BC
22、BECDDF，即CECF，AEAF，AC垂直平分EF，EGFG且AGE90°，所以正确；设ECx，由勾股定理，得EFx，AEEFx，FGBGCGx，EAG30°，AGx，ACAG+CGx+x，ABx，BEBCCExxx，BEFG，所以错误；SCEFCE2x2，SABEABBE×xxx2，SABE×x2SCEF，所以正确综上所述，正确，故答案为：【点评】本题考查正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键12如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD
23、相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点若CEF的周长为18，则OF的长为_ 【答案】【分析】由直角三角形的中线，求出DE的长度，利用三角形中位线定理和勾股定理，求出BE的长度，即可求出答案【详解】解：四边形ABCD是正方形，DCE=90°，OD=OB，DF=FE，CF=FE=FD，EC+EF+CF=18，EC=5，EF+FC=13，DE=13，DC=， BC=CD=12，BE=BC-EC=7，OD=OB，DF=FE，OF=BE=；故答案为：【点评】本题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型13
24、如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAC交BD于点E，则BE的长为_【答案】【分析】过作于，根据正方形性质得出，由勾股定理求出，在中，由勾股定理得：，求出即可【详解】解：过作于，四边形是正方形，则由勾股定理得：，平分，AE=AE,，,四边形是正方形，在中，由勾股定理得：，即，故答案为：【点评】本题考查了角平分线性质和正方形性质，勾股定理的应用，注意：角平分线上的点到线段两个端点的距离相等14如图，正方形ABCD中，AB3，点E为对角线AC上一点，EFDE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为_【答案】4+2【分析】连接BE，DF，
25、过E作ENBF于点N，证明DCEBCE和BEF为等腰三角形，设AF=x，用x表示DE与EF，由根据四边形ADEF的面积为4，列出x的方程求得x，进而求得四边形ADEF的周长【详解】解：如图，连接BE，DF，过E作ENBF于点N，四边形ABCD为正方形，CB=CD，BCE=DCE=45°，在BEC和DEC中，DCEBCE（SAS），DE=BE，CDE=CBE，ADE=ABE，DAB=90°，DEF=90°，ADE+AFE=180°，AFE+EFB=180°，ADE=EFB，ABE=EFB，EF=BE，DE=EF，设AF=x，则BF=3-x，FN=
26、BN=BF=，AN=AF+FN=，BAC=DAC=45°，ANF=90°，EN=AN=，DE=EF=，四边形AFED的面积为4，SADF+SDEF=4，×3x+×，解得，x=-7（舍去），或x=1，AF=1，DE=EF=，四边形AFED的周长为：3+1+=4+，故答案为：4+.【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是由面积列出x的方程，属于中考选择题中的压轴题15如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将DCB绕着点D顺时针旋转45°得到DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于
27、点F，连接FG则下列结论：四边形AEGF是菱形；HED的面积是1；AFG135°；BC+FG其中正确的结论是_（填入正确的序号）【答案】【分析】依据四边形AEGF为平行四边形，以及，即可得到平行四边形AEGF是菱形；依据，即可得到的面积；依据四边形AEGF是菱形，可得；根据四边形AEGF是菱形，可得，进而得到【详解】解：正方形ABCD的边长为1，由旋转的性质可知：，和均为直角边为的等腰直角三角形，在和中，且，四边形AEGF为平行四边形，平行四边形AEGF是菱形，故正确；，的面积，故正确；四边形AEGF是菱形，故正确；四边形AEGF是菱形，故不正确故答案为：【点评】本题考查旋转的性质，
28、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等16如图，以RtABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC=4，CO=，那么BC=_【答案】8【分析】通过作辅助线使得CAOGBO，证明COG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG后，即可求出BC的长【详解】如图，延长CB到点G，使BG=AC根据题意，四边形ABED为正方形，4=5=45°，EBA=90°，1+2=90°又三角形BCA为直角三
29、角形，AB为斜边，2+3=90°131+5=3+4，故CAOGBO，在CAO和GBO中，故CAOGBO，COGO=，7=6，7+8=90°，6+8=90°，三角形COG为等腰直角三角形，CG=，CG=CB+BG，CB=CGBG=124=8，故答案为8【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键三、解答题17已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上（1）如图1，DEF
30、G，求证：BFAE+AG；（2）如图2，DEDF，P为EF中点，求证：BEPC；（3）如图3，EH交FG于O，GOH45°，若CD4，BFDG1，则线段EH的长为 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）作GMBC于M证DAEGMF，得AEFM，AGBM所以BFAE+AG（2）作EQCP交BC于Q证EQ2CP，EQBE可得BECP（3）作BMGF交AD于M，作BNEH交CD于N，得BMGF，BFMG1，BNEH，延长DC到P，使CPAM2，证BAMBCP得ABMCBP，BMBP，再证MBNPBN得MNPN，设CNx，则MNPNCN+PCx+2，DN4x，在RtDMN中
31、，由DM2+DN2MN2求得x，再在BCN中利用勾股定理求解可得【详解】解：（1）如图1，过点G作GMBC于M，则GMBGMF90°，四边形ABCD是正方形，ADAB，AB90°，四边形ABMG是矩形，AGBM，DEGF，ADE+DGFADE+AED90°，AEDDGF，又DGFMFG，AEDMFG，DAEGMF（AAS），AEMF，则BFBM+MFAG+AE；（2）如图2，过点E作EQPC，交BC于点Q，P是EF的中点，PC是EQF的中位线，则EQ2PC，QCCF，ADCEDF90°，ADECDF，又ADCF90°，ADCD，ADECDF（A
32、SA），AECFQC，ABBC，BEBQ，则BEQ45°，EQBE，则2PCBE，BEPC；（3）如图3所示，作BMGF交AD于M，作BNEH交CD于N，则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形，BMGF，BFMG1，BNEH，DG1，CDAD4，AM2，延长DC到P，使CPAM2，BABC，ABCP90°，BAMBCP（SAS），ABMCBP，BMBP，GOH45°，BNEH，BMGF，MBN45°，ABM+CBN45°，CBP+CBN45°，即PBN45°，MBNPBN（SAS），MNPN，设CNx，则MNPNCN+
33、PCx+2，DN4x，在RtDMN中，由DM2+DN2MN2可得22+（4x）2（x+2）2，解得x，则EHBN，故答案为：【点评】本题考查正方形背景中的线段和差，线段倍分，求线段长问题，掌握垂线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，引垂线构造全等，转化线段的相等关系，利用平行线，构造中位线与等腰直角三角形，确定倍数关系，利用勾股定理解决线段的长度问题18已知正方形ABCD中AC与BD交于点O，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于点E，过D作DHAE于H，设直线DH交AC于点N（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：OMON；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE
34、和MN，当ENBD时，求证：四边形DENM是菱形；（3）在（2）的条件下，若正方形边长为4，求EC的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）先证明： 再证明：，可得结论；（2）利用正方形的性质证明： 结合：，利用全等三角形的性质证明： 可得： 结合： 从而可得结论；（3）利用正方形的性质先求解 再利用菱形的性质可得：AH是DN的垂直平分线，证明 求解 再证明： 利用勾股定理可得答案【详解】（1）证明：DHAE，DHA90°，NAH+ANH90°，ODN+DNO90°，ANHDNO，ODNNAH，在和中， ，（AAS），OMON；（2）证明： 正方
35、形， 由（1）可知，OMON，NMO45°CDO，EDNM，ENDM，四边形DENM是平行四边形，DNAE，平行四边形DENM是菱形；（3）四边形ABCD为正方形，AD4，AC，四边形DENM是菱形，AH是DN的垂直平分线，ANAD4，NC，ENDM，ENCDOC90°，ECN45°，EC【点评】本题考查的是三角形全等的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键19如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且EAF45°，将ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到AB
36、Q，连接EQ（1）求证：EA是QED的平分线；（2）已知BE1，DF3，求EF的长【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）直接利用旋转的性质得出AQEAFE（SAS），进而得出AEQAEF，即可得出答案；（2）由全等三角形的性质可得QEEF，ADFABQ，再结合勾股定理得出答案【详解】证明：（1）将ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到ABQ，QBDF，AQAF，BAQDAF，EAF45°，DAF+BAE45°，QAE45°，QAEFAE，在AQE和AFE中，AQEAFE（SAS），AEQAEF，EA是QED的平分线；（2）由（1）得AQEAFE，QEE
37、F，ADFABQ，四边形ABCD是正方形，ADBABD45°，ABQ45°，QBEABQ+ABD90°，在RtQBE中，QB2+BE2QE2，又QBDF，EF2BE2+DF21+910，EF【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明AQEAFE是解题关键20如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N（1）求证AEMN；（2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F求AEF的度数；（3）如图3，若该正方形
38、ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A，过点A作AGMN，垂足分别为G，若AG6，请直接写出AC的长_【答案】（1）见解析；（2）AEF45°；（3）102【分析】（1）过点B作BFMN交CD于点F，则四边形MBFN为平行四边形，得出MNBF，BFAE，由ASA证得ABEBCF，得出AEBF，即可得出结论；（2）连接AQ，过点Q作HIAB，分别交AD、BC于点H、I，则四边形ABIH为矩形，得出HIAD，HIBC，HIABAD，证DHQ是等腰直角三角形，得HDHQ，AHQI，由HL证得RtAHQRtQIE，得AQHQEI，证AQE90°
39、;，得AQE是等腰直角三角形，即可得出结果；（3）延长AG交BC于E，则EGAG6，得AE12，由勾股定理得BE2，则CEBCBE102，由折叠的性质即可得出结果【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABEBCD90°，ABBC，ABCD，过点B作BFMN交CD于点F，如图1所示：四边形MBFN为平行四边形，MNBF，BFAE，ABF+BAE90°，ABF+CBF90°，BAECBF，在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），AEBF，AEMN；（2）解：连接AQ，过点Q作HIAB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：四边形ABCD是正方形，四边形AB
40、IH为矩形，HIAD，HIBC，HIABAD，BD是正方形ABCD的对角线，BDA45°，DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI，MN是AE的垂直平分线，AQQE，在RtAHQ和RtQIE中，RtAHQRtQIE（HL），AQHQEI，AQH+EQI90°，AQE90°，AQE是等腰直角三角形，EAQAEQ45°，即AEF45°；（3）解：延长AG交BC于E，如图3所示：则EGAG6，AE12，在RtABE中，CEBCBE102，由折叠的性质得：AC'CE102，故答案为：102【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、平
41、行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键21如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点现将正方形绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为，当点A第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点M，边交x轴于点N（1）若时，求点A的坐标；（2）设的周长为P，在旋转正方形的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论；【答案】（1）（2，2）；（2）不变【详解】解：（1）如图1，过A作ADy轴，交y轴于点DADy轴，正方形的