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1、专题03 分式的运算一、分式的概念1.分式：形如AB，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式有意义的条件是分母不等于02.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。 3.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。4.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式. 二、分式运算法则1.分式的四则运算：（1）同分母分式加减法则:同分
2、母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用（2）异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 2.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母. 8.分式的除法法则:(1)两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.(2)除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数.【例题1】（2020安顺）当x1时，下列分式没有意义的是（）Ax+1xBxx-1Cx-1xDxx+1【答案】B【解析】A.x+1x，当x1时，分式有意义不合题意；B.xx-1，当x1时，x10，分式无意义符合题意；C.x-1
3、x，当x1时，分式有意义不合题意；D.xx+1，当x1时，分式有意义不合题意；【点拨】直接利用分式有意义的条件分析得出答案【对点练习】（2019江苏常州）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）Ax1 Bx3 Cx1 Dx3【答案】D【解析】本题考查分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x30得x3，因此本题选D【点拨】分式的分母不能等于0，是求分式有意义的关键。【例题2】（2020金华）分式x+5x-2的值是零，则x的值为（）A2B5C2D5【答案】D【解析】由题意得：x+50，且x20，解得：x5，【点拨】利用分式值为零的条件可得x+50，且x20，再解即可【对点练习】（20
4、19宿迁）关于x的分式方程+1的解为正数，则a的取值范围是 【答案】a5且a3【解析】去分母得：1a+2x2，解得：x5a，5a0，解得：a5，当x5a2时，a3不合题意，故a5且a3【点拨】找出分母等于0时的a的值，把这个值去掉得出的a的取值范围就是正确的结论。【例题3】（2020济宁）已如m+n3，则分式m+nm÷（-m2-n2m-2n）的值是 【答案】13【解析】原式=m+nm÷-(m2+2mn+n2)m=m+nmm-(m+n)2 =-1m+n，当m+n3时，原式=13【点拨】根据分式运算法则即可求出答案【对点练习】（2019湖南株洲）先化简，再求值：，其中a【答案】
5、4【解析】，当a时，原式4【点拨】注意先正确化简，再代数据求值。一、选择题1.（2019广西省贵港市）若分式的值等于0，则的值为A B0 C D1 【答案】【解析】分式的值为零的条件。，；故选：2.（2019北京市）如果，那么代数式的值为A B C1 D3【答案】D【解析】= =又原式=.故选D.3（2019孝感）已知二元一次方程组，则的值是（）A5B5C6D6【答案】C【解析】，×2得，2y7，解得，把代入得，+y1，解得，二、填空题4（2020聊城）计算：（1+a1-a）÷1a2-a= 【答案】a【解析】原式=1-a+a1-aa（a1）=11-aa（a1）a【点拨】直接
6、将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案5（2020南充）若x2+3x1，则x-1x+1= 【答案】2【解析】x-1x+1=x(x+1)-1x+1 =x2+x-1x+1，x2+3x1，x213x，原式=-1-3x+x-1x+1=-2x-2x+1=-2(x+1)x+1=-2，【点拨】根据分式的减法可以将所求式子化简，然后根据x2+3x1，可以得到x213x，代入化简后的式子即可解答本题6.（2019武汉）计算的结果是 【答案】【解析】原式7. (2019黑龙江绥化)当a2018时,代数式的值是_.【答案】2019【解析】8.（2019吉林省）计算 = 【答案】【解析】单项式乘以单
7、项式，分子分母分别相乘，能约分的要约分9.（2019广西梧州）化简：【答案】【解析】原式故答案为：10（2019湖南郴州）若，则 【答案】【解析】，2x+2y3x，故2yx，则三、解答题11（2020连云港）化简a+31-a÷a2+3aa2-2a+1【答案】见解析。【分析】直接利用分式的性质进而化简进而得出答案【解析】原式=a+31-a(a-1)2a(a+3)=a+31-a(1-a)2a(a+3) =1-aa12（2020泸州）化简：（x+2x+1）÷x2-1x【答案】见解析。【解析】根据分式的混合运算顺序和运算法则进行计算原式=2x+2x×x(x+1)(x-1)
8、=2(x+1)x×x(x+1)(x-1)=2x-113（2020德州）先化简：（x-1x-2-x+2x）÷4-xx2-4x+4，然后选择一个合适的x值代入求值【答案】见解析。【解析】(x-1x-2-x+2x)÷4-xx2-4x+4=x(x-1)x(x-2)-(x-2)(x+2)x(x-2)×(x-2)24-x =4-xx(x-2)(x-2)24-x =x-2x，把x1代入x-2x=1-2x=-114.（2019广东深圳）先化简：（1）÷，再将x=1代入求值【答案】见解析。【解析】先把括号内的分式进行通分相减，再把除法化为乘法进行约分化简，最后代
9、入求值原式=×=x+2当x=1时，原式=1+2=115.（2019贵州遵义）化简式子，并在-2，-1,0,1,2中选取一个合适的数作为a的值代入求值.【答案】见解析。【解析】将分式化简为最简分式，再选择不能是分母为0的数作为a的值代入即可.原式=a-1,0,1,2，a=-2,当a=-2时，原式=116.（2019湖南张家界）先化简，再求值：，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值【答案】见解析。【解析】先化简，按分式的运算法则及顺序进行化简；再在给出的三个数中选择使代数式有意义的x的值代入化简后的结果中求值原式x1，2，当x0时，原式117.（2019黑龙江哈尔滨）先化简再
10、求值：,其中x=4tan45°+2cos30°【答案】见解析。【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再据特殊锐角三角函数值求得x的值，代入计算可得原式÷（）当x4tan45°+2cos30°4×1+2×4+时，原式18.（2019湖北十堰）先化简，再求值：（1-1a）÷（a2+1a-2），其中a=3+1【答案】见解析。【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题（1-1a）÷（a2+1a-2）=a-1a÷a2+1-2aa =a-1aa(
11、a-1)2 =1a-1当a=3+1时，原式=13+1-1=3319（2019湖南郴州）先化简，再求值：，其中a【答案】1【解析】，当a时，原式120（2019湖南常德）先化简，再选一个合适的数代入求值：（）÷（1）【答案】【解析】（）÷（1）÷当x2时，原式21（2019湖南娄底）先化简÷（1），再从不等式 2x37 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值【答案】【解析】原式= ÷= ，不等式 2x37，解得：x5，其正整数解为 1，2，3，4，当 x=1 时，原式=22（2019湖南张家界）先化简，再求值：（1）÷，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值【答案】-1【解析】原式（）÷，当x0时，原式123.（2019辽宁本溪） 先化简，再求值：.其中a满足a2+3a-2=0.【答案】1【解析】本题考查分式的化简求值，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a2+3a-2=0，可以求得所求式子的值=··a2+3a20，a2+3a2，原式1