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1、第三单元 函数第14课时二次函数的综合应用 60分钟1. (2019陕西黑白卷)已知抛物线C1：yax24xc与x轴交于M(4，0)和N两点，且抛物线过点A(2，4)(1)求抛物线C1的表达式；(2)抛物线C2与抛物线C1关于直线xm(m2)对称，点M的对应点为P，若AMP是等腰三角形，求m的值及抛物线C2的表达式第1题图2. 如图，抛物线L：yax2bxc与x轴交于A(2，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C(0，2)(1)求抛物线L的表达式；(2)如何平移抛物线L，使平移后的抛物线L经过点A，且在抛物线L上有一点M，使CBM是以CBM为直角的等腰直角三角形第2题图3. 已知抛物线L：ya
2、x2xc经过点A(0，2)、B(5，2)，且与x轴交于C、D两点(点C在点D左侧)(1)求点C、D的坐标；(2)判断ABC的形状；(3)把抛物线L向左或向右平移，使平移后的抛物线L与x轴的一个交点为E，是否存在以A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出抛物线L的表达式；若不存在，请说明理由4. (2018西安铁一中模拟)二次函数yax2bxc(a0)的图象顶点为A(5，4)，与x轴交于点B(2，0)(1)求二次函数的表达式；(2)将原抛物线绕坐标平面内的某一点旋转180°，得到的新抛物线与x轴的一个交点为点C，若新抛物线上存在一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形
3、是以AB为边的菱形，求新抛物线的表达式5. (2019陕西黑马卷)如图，已知抛物线L：yax2bx4与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线L的表达式；(2)若抛物线L关于原点对称的抛物线为L，求抛物线L的表达式；(3)在抛物线L上是否存在一点P，使得SABC2SABP，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第5题图6. 在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C1：yx2沿x轴翻折，再平移得到抛物线C2，恰好经过点A(3，0)、B(1，0)，抛物线C2与y轴交于点C，抛物线C1与抛物线C2的对称轴交于点D.(1)求抛物线C2的表达式；(2)在抛物线C2的对称轴
4、上是否存在一点M，使得以M、O、D为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 参考答案第14课时二次函数的综合应用点对面·跨板块考点迁移1. 解：(1)抛物线C1：yax24xc过点M(4，0)和点A(2，4)，解得，抛物线C1的表达式为yx24x；(2)令x24x0，解得x10，x24，点N的坐标为(0，0)易得抛物线C1的对称轴为直线x2，且点A(2，4)为抛物线C1的顶点若AMP是等腰三角形，分为以下三种情况：如解图，设点P的坐标为(x，0)，当AMAP1时，点M与点P1关于直线x2对称，直线xm与抛物线C1的对称轴x2重合，m2，此时不符合题意，故
5、舍去；当MP2AP2时，有(x4)2(x2)216，解得x1，P2(1，0)，m.顶点A关于直线x对称的点为A1(1，4) ，抛物线C2的表达式为y(x1)24；当MP3AM，MP4AM时，有(x4)22242，解得x4±2，P3(42，0)，P4(42，0)，m4±，顶点A关于直线x4，x4的对称点分别为A2(62，4)，A3(62，4)，抛物线C2的表达式为y(x62)24或y(x62)24.综上所述，当AMP是等腰三角形时，m的值为，4或4，此时抛物线C2的表达式分别为y(x1)24或y(x62)24或y(x62)24.第1题解图2. 解：(1)设抛物线L的表达式为y
6、a(x2)(x4)，代入C(0，2)得8a2，解得a，抛物线L的表达式为y(x2)(x4)x2x2；(2)如解图，过点M作MDx轴，垂足为点D.第2题解图CBM是以CBM为直角的等腰直角三角形，BCOMBD, MDBO4，BDOC2，若点M在第一象限，则M1(6，4)；若点M在第四象限，则M2(2，4)设平移后的抛物线L表达式为y2k.把A(2，0)及点M坐标分别代入得或，解得或，平移后的抛物线L的表达式为y2或y2，抛物线L的表达式为yx2x22，将抛物线L先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度或先向左平移3个单位长度，再向下平移个单位长度，即可得到符合题意的抛物线L.3. 解：(1
7、)将点A(0，2)、B(5，2)代入yax2xc，得，解得.抛物线L的表达式为yx2x2，令y0，即x2x20，解得x11，x24.C(1，0)，D(4，0)；(2)A(0，2)、B(5，2)、C(1，0)，AB5，AC，BC2，AB2AC2BC2，ABC为直角三角形；(3)存在设抛物线L的表达式为y(xm)2(xm)2，以A、B、C、E为顶点的四边形为平行四边形，且点E在x轴上，CEAB，CEAB5，C(1，0)，点E的坐标为(6，0)或(4，0)，当点E的坐标为(6，0)时，(6m)2(6m)20，解得m12，m25.此时抛物线L的表达式为yx2x9或yx2x27；当点E的坐标为(4，0)
8、时，(4m)2(4m)20，解得m15，m28.此时抛物线L的表达式为yx2x2或yx2x14.4. 解：(1)顶点为A(5，4)，二次函数表达式可写为ya(x5)24.将点B(2，0)代入得9a40.解得a.该二次函数的表达式为y(x5)24x2x；(2)点A(5，4)，B(2，0)，AB5，以点A、B、C、D为顶点且以AB为边的四边形是菱形，分以下两种情况讨论：当CD在x轴上方时，点C在x轴上，ABAC5，当点C在点B左侧时，点A为原抛物线的顶点，由抛物线对称性可知，点C为原抛物线与x轴的另一个交点，如解图，C(8，0)，此时，点D与点A关于x轴对称，D(5，4)，此时新抛物线的表达式为y
9、(x5)24x2x；当点C在点B右侧时，此时点C与点B重合，不合题意；当CD在x轴下方时，BCAB5，分点C在点B的右侧和左侧两种情况，如解图，当点C在点B的右侧时，点C的坐标(3，0)，以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，D(0，4)，原抛物线绕坐标平面内某一点旋转180°得到新抛物线，设新抛物线表达式为yx2mxn，点C，D均在新抛物线上，解得，新抛物线的表达式为yx2x4；同理，当点C在点B的左侧时，点C的坐标为(7，0)，此时D的坐标为(10，4)，此时新抛物线的表达式为yx2x.综上所述，新抛物线的表达式为yx2x或yx2x4或yx2x.第4题解图5. 解：(1)将点A(
10、1，0)，B(4，0)代入yax2bx4中得，解得，L：yx23x4；(2)点A(1，0)，B(4，0)，C(0，4)关于原点对称的点坐标分别为(1，0)，(4，0)，(0，4)，设L的抛物线解析式为ym(x1)(x4)，将点(0，4)代入得，m1，L：y(x1)(x4)x23x4；(3)存在AB5，SABCAB·OC10，SABC2SABP，SABP5，AB·|yP|5，|yp|2，yp±2，将yp2代入yx23x4中得，x1，x2，点P的坐标为(，2)或(，2)；将yp2代入yx23x4中得，x3，x4，点P的坐标为(，2)或(，2)综上所述，点P的坐标为(，
11、2)，(，2)，(，2)，(，2)6. 解：(1)设抛物线C2的表达式为ya(x3)(x1)，由翻折及平移的性质可知抛物线C1与抛物线C2的开口大小相同，方向相反，抛物线C2的二次项系数为1，即a1，抛物线C2的表达式为y(x3)(x1)x22x3；(2)存在如解图，设抛物线C2的对称轴与x轴交于点E.第6题解图抛物线C2的对称轴为直线x1，点E的坐标为(1，0)，将x1代入yx2，得y1，D(1，1)，OEDE1，OED为等腰直角三角形，OD，EODEDO45°，DOB180°EOD135°，在RtEDB中，DB，DOB135°，EDO45°，点M只能在点D下方ODMBOD135°，当时，解得MD2，点M的坐标为(1，3)，当时，解得MD1，点M的坐标为(1，2)综上所述，存在满足题意的点M，点M的坐标为(1，3)或(1，2)