最优控制课件.ppt

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1、关于最优控制第1页，此课件共118页哦6.1 引言引言问题1：电动机的运动方程为其中，为转矩系数；为转动惯量；为恒定的负载转矩；要求：在时间区间0，tf 内，电动机从静止起动，转过一定角度后停止，使电枢电阻 上的损耗 最小，求第2页，此课件共118页哦采用状态方程表示，令于是初始状态末值状态控制 不受限制性能指标因为 是时间的函数，E 又是 的函数，E 是函数的函数，称为泛函。第3页，此课件共118页哦问题2：如果电动机从初始时刻 的静止状态转过 角度又停下，求控制 （是受到限制的），使得所需时 间最短。末值状态这也是一个最优控制问题：系统方程为初始状态性能指标最优控制问题为：在状态方程的约束

2、下，寻求最优控制最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制，将，将 转移到转移到 ，使，使J 为极小。为极小。第4页，此课件共118页哦一、性能指标及分类一、性能指标及分类 性能指标函数(又称目标函数、性能泛函)，最优控制问题可归结为求性能指标的极值问题。按照实际控制性能常见：最短时间问题：拦截导弹最短时间控制第5页，此课件共118页哦 最小消耗问题：控制量u(t)与燃料消耗量成正比导弹最小燃料控制第6页，此课件共118页哦有时有以下的加权指标形式：(3)线性调节器问题：考虑在平衡位置x=0附近的状态调节 导弹滚动通道调节问题第7页，此课件共118页哦(3)、(4)两类是工程实践中典型的

3、性能指标，体现了对精度和能耗的双重要求，且精度的要求贯穿于全过程。(4)状态跟踪器问题：如果在过程中要求状态x(t)跟踪目标轨线 弹道导弹的弹道跟踪控制第8页，此课件共118页哦 积分型性能指标：在变分法中这类问题称为拉格朗日问题。它要求状态向量及控制向量在整个动态过程整个动态过程中都满足性能要求。性能指标还可以按其数学形式大致分为下列三类：导弹稳定控制第9页，此课件共118页哦 在变分法中称为迈耶尔问题。只要求状态在过程终端时满足一定要求，而对状态及控制量在整个动态过程中的演变不作要求。终值型性能指标:卫星的指向控制第10页，此课件共118页哦 在变分法中称为波尔札问题。它要求状态在过程终端

4、时满足一定要求，而且状态向量及控制向量在整个动态过程中都应满足一定要求。复合型性能指标：卫星的指向和稳定控制第11页，此课件共118页哦系统状态方程为初始状态为其中：x 为n 维状态向量；u 为r 维控制向量；f 为n 维向量函数，它是 x、u 和t 的连续函数，并且对x、t 连续可微。二、最优控制问题的一般性提法为二、最优控制问题的一般性提法为第12页，此课件共118页哦 最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。最优。其中 是 x、u 和t 的连续函数 寻求在 上的最优控制 或 ，以将系统状态从 转移到 或 的一个集合，并使性能指标)(ftx)(ftx第13页，此课件共118

5、页哦泛函与变分法泛函与变分法一、泛函与变分一、泛函与变分1、泛函的基本定义：、泛函的基本定义：对于某个函数集合 中的每一个函数 ，变量J 都有一个值与之对应，则称变量J 为依赖于函数 的泛函，记作泛函可以理解为“函数的函数”例如：（其中，为在 上连续可积函数）当 时，有 ；当 时，有 第14页，此课件共118页哦泛函 如果满足以下条件时，称为线性泛函：1），其中c 为任意常数；2）对于一个任意小正数 ，总是可以找到 ，当 时，有 就称泛函 在 处是连续的。所谓泛函 的宗量（自变量）的变分是指两个函数间的差2、泛函的变分问题：何为两个函数的差？两个函数距离接近？问题：何为两个函数的差？两个函数距

6、离接近？第15页，此课件共118页哦lK阶近似度第16页，此课件共118页哦其中，是关于 的线性连续泛函，是关于 的高阶无穷小。则 称为泛函 的变分。定义：设 是线性赋范空间 上的连续泛函，其增量可表示为泛函的变分等于泛函的变分等于第17页，此课件共118页哦第18页，此课件共118页哦3、泛函变分的规则、泛函变分的规则1）2）3）4）变分的导数等于导数的变分第19页，此课件共118页哦定理：设 是在线性赋范空间 上某个开子集D 中定义的可微泛函，且在 处达到极值，则泛函 在 处必有4、泛函的极值、泛函的极值设 是在线性赋范空间 上某个子集D 中的线性连续泛函，若存在 的某领域 均有：00或则

7、称 在 处达到极大值或极小值。第20页，此课件共118页哦泛函极值的必要条件泛函极值的必要条件欧拉方程欧拉方程固定端点问题固定端点问题第21页，此课件共118页哦泛函极值的必要条件泛函极值的必要条件欧拉方程欧拉方程任意函数任意函数任意小数任意小数第22页，此课件共118页哦求极值问题可以表达为第23页，此课件共118页哦泛函极值的必要条件泛函极值的必要条件欧拉方程欧拉方程第24页，此课件共118页哦泛函极值的必要条件泛函极值的必要条件欧拉方程欧拉方程从变分的角度看从变分的角度看第25页，此课件共118页哦端部条件端部条件第26页，此课件共118页哦第27页，此课件共118页哦第28页，此课件共

8、118页哦l推广到多变量，即向量情况l泛函l必要条件：两端固定两端自由第29页，此课件共118页哦第30页，此课件共118页哦第31页，此课件共118页哦第32页，此课件共118页哦泛函极值泛函极值可变端点问题可变端点问题第33页，此课件共118页哦确定最优轨线和最优时确定最优轨线和最优时刻刻第34页，此课件共118页哦终端时间改变造成的部分，包括函数变分的影响终端时间改变造成的部分，包括函数变分的影响为简单计，在第二项中，只考虑终端时间变分影为简单计，在第二项中，只考虑终端时间变分影响的部分，不考虑函数变分的影响响的部分，不考虑函数变分的影响由于公用用同一 ，显然函数的变分同时包含了函数及其

9、作用时间。第35页，此课件共118页哦等号右边第一项自变量等号右边第一项自变量以单状态的系统为例图示以这点的性能指标乘以时间长度来计算整个区域的性能指标第36页，此课件共118页哦对上式被积函数的第二项分步积分第37页，此课件共118页哦第38页，此课件共118页哦第39页，此课件共118页哦终端约束：第40页，此课件共118页哦连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题第41页，此课件共118页哦连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题分部积分分部积分第42页，此课件共118页哦连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题Or运用多变量情况下欧拉方程直接运用多变量情况下欧拉方程直接推导推导目标函数

10、相对于最优控制 和最优轨线 的变分系统的约束方程系统的约束方程第43页，此课件共118页哦连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题第44页，此课件共118页哦连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题第45页，此课件共118页哦连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题第46页，此课件共118页哦连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题第47页，此课件共118页哦连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题第48页，此课件共118页哦连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题二二.波尔扎问题波尔扎问题系统状态方程初始状态 ，最终状态 满足分部积分终端约束 系统约束 第49页，此课件共118页哦有哪些结构

11、允许的变化？第50页，此课件共118页哦考虑相对于最优控制 最优轨线 和 的变分由泛函方程得到边界条件终端时刻由下式计算状态方程控制方程伴随方程第51页，此课件共118页哦例例第52页，此课件共118页哦哈密尔顿函数边界条件第53页，此课件共118页哦第54页，此课件共118页哦第55页，此课件共118页哦例例 系统的状态方程为性能指标求最优控制 和末值时刻 ，使性能指标泛函取极小值解解哈密顿函数例二第56页，此课件共118页哦由控制方程 ，得或 由伴随方程将 代入状态方程解为其中，、为常数，由 ，确定，得第57页，此课件共118页哦由于 自由，由 由上述各式解得第58页，此课件共118页哦末

12、端状态初始状态性能指标电动机的运动方程为例三求最优控制和最优轨迹第59页，此课件共118页哦1）哈密顿函数为2）由控制方程得到即第60页，此课件共118页哦3）由伴随方程 ，得到（，为积分常为积分常数）数）4）由状态方程得（，为积分常数）第61页，此课件共118页哦根据边界条件，确定积分常数，得代入 和第62页，此课件共118页哦6-8 极小值原理极小值原理状态方程为：初始条件为 ，终态 满足终端约束方程式中，Nm维连续可微的矢量函数，。控制 受不等式约束式中，gl 维连续可微的矢量函数，。如：性能泛函泛函极小可能对应的是允许控制的边界值 如何表示不等式约束 第63页，此课件共118页哦6-8

13、 极小值原理极小值原理保证g 0，表示成约束方程u(t)虽然不一定连续，为连续函数第64页，此课件共118页哦6-8 极小值原理极小值原理第65页，此课件共118页哦6-8 极小值原理极小值原理分部积分状态轨迹为自变量，时间视为常数状态轨迹和时间均为自变量，与时间联系，因此为微分。第66页，此课件共118页哦6-8 极小值原理极小值原理类似有不含w第67页，此课件共118页哦欧拉方程欧拉方程横截条件横截条件6-8 极小值原理极小值原理第68页，此课件共118页哦6-8 极小值原理极小值原理第69页，此课件共118页哦6-8 极小值原理极小值原理在最优轨迹上，采用最优控制时目标泛函最小注意已在最

14、优轨迹上。此时把H看成只有一个变量u，使H取极小值最优控制 保证哈密尔顿函数取全局最小值，所谓“极小值原理”一词正源于此。第70页，此课件共118页哦例 设系统的状态方程为控制约束 求 使 解：由哈密尔顿函数当 时应取 （上界）时应取 （下界）根据极小值原理，在最优轨迹上，最优控制u使H取极小。如果即不论为何值，等式右边第二项都能取得极小，所对应的u为最优控制。u的上界为1，下界为1/2，因此 极小第71页，此课件共118页哦由协态方程 得其解为求 以确定u的切换点当 时故u切换点：令 ，得，对应 ，对应 ，g中不含x第72页，此课件共118页哦求最优状态轨线解状态方程当 时 得考虑 故当 时

15、 得考虑第一段终值 为第二段初值，故各有关曲线如图所示。第73页，此课件共118页哦第74页，此课件共118页哦 线性二次型最优控制性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数的线性系统最优控制问题。提出的控制规律是状态变量的函数，可以通过状态反馈实现闭环最优控制。性能函数：半正定的状态加权阵。一般可选为对角阵，权重越大，该项越受重视。正定的控制加权阵。不管正功、负功都统计。半正定的终端加权阵。第75页，此课件共118页哦 线性状态调节器1 引言 线性系统以二次型为性能指标的最优控制问题，已经在国内、外的工程实践中得到应用。原因如下：1）被控对象是线性的，最优控制问题容易求得解析解。2）最优控制器

16、是线性的，易于实现。3）线性、二次型性能指标的最优控制问题除了得到最优解外，还可以导出经典控制理论的一些特性。第76页，此课件共118页哦2 有限时间状态调节器线性时变系统的状态方程为其中，x 为n 维状态向量；u 为r 维控制向量，且u 不受限制。状态调节器：偏离了平衡状态，通过控制使之回到平衡状态。优化问题：如，如何在不消耗过多能量的前提下回到平衡状态？因为线性系统，如果用状态与平衡状态的误差来代替状态，系统的状态方程不变第77页，此课件共118页哦2 有限时间状态调节器问题简化为：在平衡状态（控制的目标状态）附近，线性时变系统的状态方程为寻找一个最优控制 ，使为极小。如何理解？能量、过程

17、误差和最终误差的综合最优第78页，此课件共118页哦 求解这个最优控制问题，可以用极小值原理。哈密顿函数为伴随方程为控制方程为故J 取极小值与状态有关 将 代入状态方程得初始状态为第79页，此课件共118页哦状态反馈的求解方式状态反馈的求解方式其中，为待定的实对称、正定 时变阵 对t 求导横截条件为由伴随方程：与状态有关、与时变系数矩阵第80页，此课件共118页哦又比较上两式，可以得到称为Riccati微分方程。边界条件边界条件得到第81页，此课件共118页哦加入控制后的闭环系统为状态反馈矩阵K(t)线性调节器的设计步骤设计性能指标，即确定加权矩阵求解Riccati方程，得到P(t)，进而得到

18、状态反馈矩阵K(t)求最优控制、最优轨线及性能最优值第82页，此课件共118页哦两点说明：1）由于矩阵黎卡提微分方程的解为对称阵因此有 个独立的非线性标量微分方程。2）最优性能指标为（证明请见教材）第83页，此课件共118页哦例 系统状态方程为求最优控制 ，使性能指标取极小值解 矩阵的黎卡提方程为求解上面的微分方程，有第84页，此课件共118页哦其中即即最优控制为第85页，此课件共118页哦由最优轨线为第86页，此课件共118页哦第87页，此课件共118页哦l关于P(t)的性质及相应的x(t)，u(t)变化如图所示。la=-1,q0=0,q1=1,x(0)=1,tf=1q2很小时，起始部分近似

19、常值；q2很大时，p(t)时变特性渐强。第88页，此课件共118页哦l随着tf的增加，p(t)保持常值的区域增加第89页，此课件共118页哦3 无限时间状态调节器无限时间状态调节器线性时变系统寻找一个最优控制 ，使J 取极小值这里产生一个问题：时，性能指标是否收敛？例如寻找最优控制 ，使J 取极小值前述有限时间状态调节器P(t)时变，实现复杂。如何能使P(t)=P?第90页，此课件共118页哦如果线性时变系统是能控能控的，无限时间状态调节器问题一定有解，并且可以通过有限时间状态调节器的解，取 来获得根据极小值原理，如果有最优解，当 时，J 取极小值。但是但是是不能控的状态分量，而且是不稳定的。

20、导致结论：该问题不存在有意义的解。据前，最优控制为最优性能指标第91页，此课件共118页哦 无限时间状态调节器与有限时间最优调节器类似，均可以用状态负反馈构成状态闭环控制。有限时间最优调节器反馈增益矩阵是时变的，给工程实践带来不便。当时间趋于无穷时反馈增益趋于常数矩阵。可以证明，有以下结论：线性定常系统线性定常系统最优控制为正定常数阵正定常数阵 满足如下黎卡提矩阵代数方程第92页，此课件共118页哦最优性能指标 当这个无限时间状态调节器满足以下条件时，状态反馈增益矩阵才为常数矩阵：1）系统为线性定常系统；2）系统能控；3）终端时刻 ；4）J 中不含终端性能要求项，即 Q0=0 ；第93页，此课

21、件共118页哦无限状态调节器的系统渐近稳定，无论原受控系统的特征值如何。证明：设李亚普诺夫函数P正定，故v(x)正定又由于Q1、Q2均为正定，故负定。若 无恒等于零轨线，Q1可取半负定。第94页，此课件共118页哦因此，定常情况下状态调节器平衡状态 是渐近稳定的。即使开环系统 是不稳定的，也不管 Q 1 和 Q2阵如何选取，只要Q 1 和 Q2阵为正定的，则状态调节器总是渐近稳定的。第95页，此课件共118页哦第96页，此课件共118页哦第97页，此课件共118页哦第98页，此课件共118页哦第99页，此课件共118页哦例 线性定常系统的状态方程为0求最优控制 ，使 J 取极小值。解 检验系统

22、能控性 能控。设代入黎卡提方程第100页，此课件共118页哦当 时，；当 时，。第101页，此课件共118页哦5 5 跟踪器问题跟踪器问题 要求系统输出跟踪某个指定的输入，且不过多消耗能量，称为跟踪器问题。时变系统：有限时间跟踪器问题。定常系统：近似最优的跟踪器线性时变系统方程要求系统的输出跟踪指定的输入函数 z z(t)。z z(t)与输出向量y y 有相同维数。寻求最优控制 ，使以下性能指标取极小值。性能指标J 中的加权阵Q0和 Q1(t)为半正定，Q2(t)为正定。第102页，此课件共118页哦哈密顿函数为由控制方程由伴随方程边界条件为第103页，此课件共118页哦对时间求导，得这时不能

23、像线性状态调节器那样，仅认为 和 有关系，肯定还有和期望输入有关的项，也为时间的函数。为此，设第104页，此课件共118页哦另一方面这时不能像线性状态调节器那样，仅认为 和 有关系，肯定还有和期望输入有关的项，也为时间的函数。为此，设第105页，此课件共118页哦比较两式第106页，此课件共118页哦如状态转移矩阵为第107页，此课件共118页哦如状态转移矩阵为第108页，此课件共118页哦要掌握全部的z(t)第109页，此课件共118页哦解出 和 后，就求得最优控制可见，包括两项：一项是状态x 反馈；另一项代表跟踪 所必须的控制信号。边界条件P(t)与跟踪的信号无关如前第110页，此课件共118页哦第111页，此课件共118页哦线性定常系统能控、能观线性定常系统终端时间tf很大近似的最优控制律要求输出z是常数矢量，误差e(t)=z-y(t)=z-Cx(t)性能泛函Q1，Q2正定第112页，此课件共118页哦第113页，此课件共118页哦第114页，此课件共118页哦第115页，此课件共118页哦Q2减小，系统跟踪能力强终端g、p为零，因此，u为零，且误差增大第116页，此课件共118页哦l6-4，6-10第117页，此课件共118页哦感谢大家观看第118页，此课件共118页哦