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1、理论力学虚位移原理第1页，此课件共27页哦假想一个约束允许的位移假想一个约束允许的位移“虚位移虚位移”x（水平向右），（水平向右），则则F与与P在此虚位移上就作了在此虚位移上就作了“虚虚功功”，它们的虚功之和：，它们的虚功之和：F xP x=，而由于假想的虚位移而由于假想的虚位移 x是任意的，所以有：是任意的，所以有：FP=，即：即：F=P 虚位移原理为解决受约束质点系（非自由质点系）的平虚位移原理为解决受约束质点系（非自由质点系）的平衡问题提供了一种新的方法。另外，虚位移原理更重要的意衡问题提供了一种新的方法。另外，虚位移原理更重要的意义还在于它为分析力学的形成和发展奠定了基础。义还在于它为
2、分析力学的形成和发展奠定了基础。第第9章章虚位移原理虚位移原理第2页，此课件共27页哦9.1约束约束虚位移虚位移虚功虚功9.1.1约束及其分类约束及其分类限制物体位置或运动的条件称为限制物体位置或运动的条件称为约束约束。限制条件的数学方程称为限制条件的数学方程称为约束方程约束方程。限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约几何约束。束。1.几何约束和运动约束几何约束和运动约束如如xy第3页，此课件共27页哦第4页，此课件共27页哦限制质点系运动情况的运动学条件称限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。运动约束。第5页，此课件共27页哦2.定常约
3、束和非定常约束定常约束和非定常约束约束方程中显含时间约束方程中显含时间t的约的约束称为束称为非定常约束非定常约束。约束方程中不显含时间约束方程中不显含时间t的约束称的约束称为为定常约束。定常约束。xy第6页，此课件共27页哦3.3.其它分类其它分类约束方程中包含坐标对时间的导数约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有且不可能积分为有限形式的约束称限形式的约束称非完整约束非完整约束。约束方程是等式的，称约束方程是等式的，称双面约束双面约束约束方程为不等式的，称约束方程为不等式的，称单面约束单面约束 n为质点数，为质点数，S 为约束方程数为约束方程数.约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者
4、约束方程中约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的积分项可以积分为有限形式的约束为的积分项可以积分为有限形式的约束为完整约束完整约束。本章只讨论本章只讨论定常的双面、完整、几何约束。定常的双面、完整、几何约束。第7页，此课件共27页哦9.1.2自由度与广义坐标自由度与广义坐标非自由质点系的非自由质点系的自由度自由度（确定位置的独立参数数目确定位置的独立参数数目）对于具有完整约束的系统对于具有完整约束的系统自由度自由度r=3nl,n质点数质点数,l 完整约束数。完整约束数。广义坐标广义坐标 非自由质点系的非自由质点系的3n个物理坐标并不独立个物理坐标并不独立故故取取r=(3nl)个个独
5、独立立参参数数来来描描述述质质点点系系的的位位置置，这这些些独独立立参参数数叫叫“广义坐标广义坐标”。物理坐标可以表示成广义坐标的函数。例：物理坐标可以表示成广义坐标的函数。例：第8页，此课件共27页哦 物物理理坐坐标标：x1,y1,z1;x2,y2,z2；约束方程约束方程：x12+y12=a2 z1=0 z2=0 (x2x1)2+(y2y1)2=b2 广义坐标：广义坐标：a,b 坐标变换：坐标变换：x1=asina ,y1=acosb,x2=asina+bsinb ,y2=acosa+bcosb 自由度：自由度：2，（n=2,l=4,r=3nl=2）第9页，此课件共27页哦9.2.1虚位移虚
6、位移在某瞬时在某瞬时,质点系在约束允许的条件下质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限可能实现的任何无限小的位移称为小的位移称为虚位移虚位移。只与约束条件有关。只与约束条件有关。虚位移虚位移等等实位移实位移等等 实位移实位移是质点系真实实现的位移，它与约束条件、是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、主动力以及运动的初始条件有关时间、主动力以及运动的初始条件有关。1.虚位移的概念虚位移的概念第10页，此课件共27页哦（1）几何法（虚速度法）几何法（虚速度法）按系统必须满足的几何关系或运动关系计算。按系统必须满足的几何关系或运动关系计算。对于定常约束，常用对于定常约束，常用“虚速度虚速度
7、”来分析来分析“虚位移虚位移”之间之间的关系。如下例：的关系。如下例：2.建立虚位移关系的方法建立虚位移关系的方法看作：看作：d d rA=vA，d d rB=vB 则则A、B的的“虚速度虚速度”关系有关系有：vA=vBcos60故有故有：d rA=d rB cos60即即：2d rA=d rB 此即所求的虚位移关系式。此即所求的虚位移关系式。第11页，此课件共27页哦（2 2）解析法）解析法通过对各有关点的坐标关系式进行通过对各有关点的坐标关系式进行变分运算，找出各变分之间的关系即各变分运算，找出各变分之间的关系即各虚位移之间的关系。如右例：虚位移之间的关系。如右例：求：机构平衡时求：机构平
8、衡时F2与与F1的对应的虚的对应的虚位移之间的关系。位移之间的关系。设设j j 为广义坐标（系统是一个自由为广义坐标（系统是一个自由度），有：度），有：对各式变分；变分后的以下三式给出虚位移关系对各式变分；变分后的以下三式给出虚位移关系(以以dj dj 为为“自变量自变量”)：第12页，此课件共27页哦9.2.2 虚功虚功 9.2.3理想约束理想约束如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为和等于零，称这种约束为理想约束理想约束。力在虚位移中作的功称虚功。力在虚位移中作的功称虚功。光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不
9、可伸长光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束。的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束。第13页，此课件共27页哦即即设质点系处于平衡设质点系处于平衡,有有或记为或记为此方程称此方程称虚功方程虚功方程,其表达的原理称其表达的原理称虚位移原理或虚功原理虚位移原理或虚功原理.9.3虚位移原理及应用虚位移原理及应用对于具有理想约束的质点系对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是：其平衡的充分必要条件是：作作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。解析式为解析式为第1
10、4页，此课件共27页哦已知：如图所示已知：如图所示,在螺旋压榨机的手柄在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平上作用一在水平 面内的力偶面内的力偶(),),其力矩其力矩 ,螺杆螺杆 的导程为。螺杆与螺母间的摩擦忽略不计。的导程为。螺杆与螺母间的摩擦忽略不计。求：机构平衡时加在被压物体上的力求：机构平衡时加在被压物体上的力.例题例题1 1第15页，此课件共27页哦解解:1、以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象，受力如图。、以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象，受力如图。力偶力偶M对应的虚位移对应的虚位移力力FN对应的虚位移对应的虚位移2、由虚位移原理、由虚位移原理3、虚位移关系分析、虚位移关系分
11、析代入上式得代入上式得第16页，此课件共27页哦已知：已知：图中所示结构图中所示结构,各杆自重不计各杆自重不计,在在点作用一铅直向上的点作用一铅直向上的 力力,.求：支座求：支座的水平约束力的水平约束力.例题例题2 2第17页，此课件共27页哦解解:解除解除B端水平约束端水平约束,以力以力 代替代替,如图如图(b).(b).代入虚功方程代入虚功方程第18页，此课件共27页哦解得解得如图在如图在CG 间加一弹簧间加一弹簧,刚度刚度k,且已有伸长量且已有伸长量,仍求仍求 。在弹簧处也代之以力在弹簧处也代之以力,如图。如图。虚位移关系分析虚位移关系分析第19页，此课件共27页哦已知：已知：如图所示机
12、构，不计各构件自重与各处摩擦。如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦。求：机构在图示位置平衡时，主动力偶矩求：机构在图示位置平衡时，主动力偶矩与主动力与主动力之间的之间的关系关系。例题例题3 3第20页，此课件共27页哦解解:虚位移虚位移由图中关系有由图中关系有代入虚功方程得代入虚功方程得第21页，此课件共27页哦求求:支座支座的约束力的约束力 .已知：如图所示无重组合梁已知：如图所示无重组合梁.例题例题4 4第22页，此课件共27页哦解：解除解：解除A处约束，代之处约束，代之 ，给虚位移，如图，给虚位移，如图（b）代入虚功方程代入虚功方程,得得第23页，此课件共27页哦例题5已知：平面结构，杆重和摩擦不计。已知：平面结构，杆重和摩擦不计。求：支座求：支座B和和A处的约束力。处的约束力。第24页，此课件共27页哦解：解：1.支座支座B处约束力处约束力.虚功方程虚功方程虚位移之间的关系虚位移之间的关系第25页，此课件共27页哦2.支座支座A处水平约束力处水平约束力虚功方程虚功方程虚位移之间的关系虚位移之间的关系第26页，此课件共27页哦支座支座A处铅直约束力处铅直约束力虚功方程虚功方程虚位移之间的关系虚位移之间的关系第27页，此课件共27页哦