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1、概率论与数理统计多维随机变量连续现在学习的是第1页，共21页 P(0 X 1,0 Y 2)例例4(P P88 例例4)试求：试求：常数常数C;分分布函数布函数F(x,y);P(0X 1,0Y 2)与与P(Y X).解解 由规范性知：由规范性知：C=12;记为G yxoGGP(X Y)现在学习的是第2页，共21页例5 设 r.v.(X,Y)的联合 d.f.为其中k 为常数.求(1)常数 k;(2)P(X+Y 1),P(X 0.5);(3)联合分布函数 F(x,y);(4)边缘 d.f.与边缘分布函数例5现在学习的是第3页，共21页y=x10 xy解解 令D(1)现在学习的是第4页，共21页x+y
2、=1y=x10 xy(2)0.5x+y=1y=x10 xyy=x10 xy0.5现在学习的是第5页，共21页的分段区域y=x10 xyD现在学习的是第6页，共21页当0 x 1,0 y x 时，1(3)当x0 或 y0 时,F(x,y)=0当0 x1,x y1时，v=u10uv现在学习的是第7页，共21页当0 x 1,y 1时，v=u10uv1现在学习的是第8页，共21页当x 1,0 y 1时，v=u10uv1当 x 1,y 1 时，现在学习的是第9页，共21页F(x,y)=0,x 0 或 y 0y4,0 x 1,0 y x，2x2y2y4,0 x 1,x y 1，2x2x4,0 x 1,y
3、1，y4,x 1,0 y 1，1,x 1,y 1，现在学习的是第10页，共21页(4)=0,x 0，2x2x4,0 x 1,1,x 10,y 0y4,0 y 1,1,y 1=现在学习的是第11页，共21页现在学习的是第12页，共21页 yxoG 设设 G 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为S.若二维随机变量若二维随机变量 (X,Y)的的概率密度为概率密度为则称则称(X,Y)在在G上服从上服从均匀分布均匀分布.向平面上有界区域向平面上有界区域 G 内任投一质点，内任投一质点，四、两个常见的二维分布四、两个常见的二维分布1.均匀分布均匀分布 B若质点落在若质点落在 G 内任一小
4、区域内任一小区域 B 的概率与的概率与小区域的面积成正比，而与小区域的面积成正比，而与B的形状及的形状及位置无关位置无关.则质点的坐标则质点的坐标(X,Y)在在 G 上上服从均匀分布服从均匀分布.现在学习的是第13页，共21页 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度其中其中均为常数均为常数,2.正态分布正态分布 则称则称(X,Y)服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.记作记作(X,Y)N().().且且 现在学习的是第14页，共21页2 边缘分布边缘分布 联合分布联合分布F(X,Y)（X,Y）整体地看整体地看 局部地看局部地看 FY(y)FX(x)X Y
5、二维联合分布二维联合分布F(X,Y)全面地反映了二维随机变量全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概的取值及其概率规律率规律.问题：二者之间有什么关系吗问题：二者之间有什么关系吗?分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数 但作为一维随机变量但作为一维随机变量,X,Y 也有自己的分布函数也有自己的分布函数.由联合分布可以确定边缘分布由边缘分布一般不能确定联合分布由边缘分布一般不能确定联合分布 反之反之?转化为一维时的情形现在学习的是第15页，共21页FX(x)=F(x,+)X 和和Y 的联合分布函数为的联合分布函数为F(x,y),),则则(X,Y)关于关于X 的的边缘分布函数边缘分布函数
6、为为(X,Y)关于关于Y 的的边缘分布函数边缘分布函数为为二、连续型二维随机变量的二、连续型二维随机变量的边缘概率密度边缘概率密度(X,Y)关于关于Y 的的边缘概率密度边缘概率密度为为则则(X,Y)关于关于X 的的边缘概率密度边缘概率密度为为现在学习的是第16页，共21页例例2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解 求求边缘密度边缘密度.分段函数积分应注意其表达式 yx 0 1 y=x y=x2 在在求求连连续续型型随随机机变变量量的的边边缘缘密密度度时时，往往往往要要对对联合密度在一个变量取值范围上进行积分联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度是当联合密度是分段函数分段函数时
7、，在时，在计算积分时应特别注意积分限计算积分时应特别注意积分限.现在学习的是第17页，共21页 yx -a 0 a 例例3(P(P9393 例例6)6)设设(X,Y)服从椭圆域服从椭圆域 上的均匀分布上的均匀分布,求求(1)求求(X,Y)的的边缘密度函数边缘密度函数 解解(1)由题知由题知(X,Y)的概率密度为的概率密度为同理可得同理可得(2)(2),其中其中A为区域为区域:X 与Y 不服从均匀分布二维均匀分布的两个二维均匀分布的两个边缘密度未必是边缘密度未必是均匀分布的均匀分布的二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布 yx a0 a Ax+y=a 现在学习的
8、是第18页，共21页 解解例例4(P94(P94 例例7)7)求求二维正态分布二维正态分布的边缘密度的边缘密度.二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 均与均与 无关无关 逆命题成立吗？由边缘分布一般不能确定联合分布请看下例请看下例 现在学习的是第19页，共21页例例5(P96)(P96)若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的的概率密度为概率密度为 求边缘密度函数求边缘密度函数 解解同理同理 但反之不真但反之不真二维正态分布性质二维正态分布性质二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的正正 态态 分分 布布 的的 联
9、联 合合 分分 布布 未未 必必 是是 正正 态态 分分 布布但反之不真但反之不真现在学习的是第20页，共21页联合分布和边缘分布的关系联合分布和边缘分布的关系:我们与一维情形相对照，采用类比和转化的手段我们与一维情形相对照，采用类比和转化的手段,介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布介绍了二维随机变量的联合分布、边缘分布.由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.在什么情况下在什么情况下,由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？正正 态态 分分 布布 的的 联联 合合 分分 布布 未未 必必 是是 正正 态态 分分 布布现在学习的是第21页，共21页