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1、建筑力学位移法三力矩分配法第1页，此课件共42页哦图15.27 第2页，此课件共42页哦n在M作用下，结点1产生转角位移1。利用位移法转角位移方程，可以写出各杆端弯矩(1尚为未知)：nM12=3i121nM13=4i131nM14=i141nM21=0nM31=2i131nM41=-i141(a)(b)第3页，此课件共42页哦n取结点1为隔离体如图15.27(b)所示。由平衡条件M1=0得nM12+M13+M14=Mn将式(a)代入式(c)，解得n1=M/（3i12+4i13+i14）n将1代回式(a)和式(b)，即可求出各杆的杆端弯矩值如下：nM12=3i12M/(3i12+4i13+i14
2、)nM13=4i13M/(3i12+4i13+i14)nM14=i14M/(3i12+4i13+i14)(e)(d)(c)第4页，此课件共42页哦nM21=0nM31=1/24i13M/(3i12+4i13+i14）nM41=-i14M/(3i12+4i13+i14)n由此可绘出结构的弯矩图M如图15.27(c)所示。n（1）转动刚度Sn式(a)中列出的各杆杆端弯矩式可统一写成nM1k=S1k1n式中：S1k称为1k杆1端的转动刚度。第5页，此课件共42页哦n（2）分配系数n式(e)中的各杆端弯矩可统一写成n 第6页，此课件共42页哦n（3）传递系数Cn式(f)中的各杆端弯矩可统一写成nMk1
3、=C1kM1kn式中：C1k称为1k杆1端的传递系数。传递系数即表示当杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。第7页，此课件共42页哦n掌握了上述基本运算，再利用叠加原理，即可用力矩分配法计算荷载作用下具有一个结点转角的结构。其计算步骤为n(1)先在本来能发生转角位移的刚结点i处假想加入附加刚臂，使其不能转动。由表14.2算出汇交于i结点各杆端的固端弯矩后，利用该结点的力矩平衡条件求出附加刚臂给予结点的约束力矩，它等于汇交于该结点各杆的固端弯矩之和，并以MFi表示。约束力矩规定以顺时针转向为正。15.7.2 具有一个结点转角结构的计算具有一个结点转角结构的计算第8页，此课件共42页哦n(
4、2)结点i处并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，为了能恢复到实际状态，抵消掉约束力矩MFi的作用，我们在结点i处施加一个与它反向的外力偶Mi=-MFi。结构在Mi作用下的各杆端弯矩，应用一次基本运算即可求出。n(3)结构的实际受力状态，为以上两种情况的叠加。将第1步中各杆端的固端弯矩分别和第2步中各杆端的分配弯矩或传递弯矩叠加，即得汇交于i结点之各杆的近端或远端的最后弯矩。第9页，此课件共42页哦n【例15.11】试作图15.28(a)所示连续梁的弯矩图。n【解】(1)先在结点B加一附加刚臂(图15.28(b)使结点B不能转动，此步骤常称为“固定结点”。此时各杆端产生的固端弯矩由表19.2求得：
5、nMFBA=ql2/8=180kNmnMFCB=-100kNmnMFCB=100kNmn由结点B的平衡条件MB=0求得约束力矩：nMFB=MFBA+MFBCn=(180-100)kNm=80kNm第10页，此课件共42页哦图15.28 第11页，此课件共42页哦n(2)为了消除约束力矩MFB，应在结点B处加入一个与它大小相等方向相反的力矩MB=-MFB(图15.28(c)，在约束力矩被消除的过程中，结点B即逐渐转动到无附加约束时的自然位置，故此步骤常简称为“放松结点”。将图15.28(b)和图15.28(c)相叠加就得到图15.28(a)中的结果。对于图15.28(c)，我们可用上述力矩分配法
6、的基本运算求出各杆端弯矩。n为此，先按式(15.12)算出各杆端分配系数：nSBA=3iBA=32EI/12=1/2EInSBC=4iBC=4EI/8=1/2EI第12页，此课件共42页哦n则nBA=SBA/(SBA+SBC)=0.5nBC=BBC/(SBA+SBC)=0.5n利用公式1k=1进行校核：nBk=BA+BC=0.5+0.5=1n所以分配系数计算正确。n根据公式(151.11)计算各杆近端的分配弯矩：nMBA=BAMB=0.5(-80)kNm=-40kNmnMBC=BCMB=0.5(-80)kNm=-40kNm第13页，此课件共42页哦n然后计算各杆远端的传递弯矩：nMCAB=CB
7、AMBA=0nMCCB=CBCMBC=1/2(-40)kNm=-20kNmn(3)最后将各杆端的固端弯矩(图15.28(b)与分配弯矩、传递弯矩(图15.28(c)相加，即得各杆端的最后弯矩值：nMAB=MFAB+MCAB=0nMBA=MFBA+MBA=(180-40)kNm=140kNmnMBC=MFBC+MBC=(-100-40)kNm=-140kNmnMCB=MFCB+MCCB=(100-20)kNm=80kNm第14页，此课件共42页哦n【例15.12】用力矩分配法作图15.29(a)所示封闭框架的弯矩图。已知各杆EI等于常数。n【解】因该封闭框架的结构和荷载均有x、y两个对称轴，可以
8、只取四分之一结构计算如图15.29(b)所示。作出该部分弯矩图后，其余部分根据对称结构承受对称荷载作用弯矩图亦应是对称的关系便可作出。n(1)计算固端弯矩n由表14.2查得各杆的固端弯矩为nMF1A=-ql2/3=-7.5kNmnMFA1=-ql2/6=-3.75kNmn写入图15.29(c)各相应杆端处。第15页，此课件共42页哦图15.29 第16页，此课件共42页哦n(2)计算分配系数n转动刚度：nS1A=i1A=EI/1.5nS1C=i1C=EI/1=EIn分配系数：n1A=S1A/(S1A+S1C)=0.4n1C=S1C/(S1A+S1C)=0.6n将分配系数写入图15.29(c)结
9、点1处。第17页，此课件共42页哦n(3)进行力矩的分配和传递，求最后杆端弯矩。n 结点力的约束力矩MF1=MF1A+MF1C=-7.5kNm，将其反号并乘以分配系数，便得到各杆近端的分配弯矩。n 将各杆分配弯矩乘以传递系数便得到远端的传递弯矩(C1A=C1C=-1)。n 最后将各杆端的固端弯矩和分配弯矩(或传递弯矩)相叠加即可得到各杆端的最后杆端弯n矩。在最后弯矩下画双横线。n以上工作均在图15.29(c)所示图上进行。n(4)作弯矩图n根据对称关系作出弯矩图如图15.29(d)所示。第18页，此课件共42页哦15.8 用力矩分配法计算连续梁和用力矩分配法计算连续梁和结点无侧移刚架结点无侧移
10、刚架n对于具有多个刚结点的连续梁和无侧移的刚架，只要逐次对每一个结点应用上一节的基本运算，就可求出各杆端弯矩。第19页，此课件共42页哦n【例15.13】试用力矩分配法作图15.30(a)所示连续梁的弯矩图。n【解】（1）计算分配系数n结点B：nSBA=3iBA=34EI/2=6EInSBC=4iBC=49EI/3=12EInBA=SBA/(SBA+SBC)=1/3nBC=SBC/(SBA+SBC)=2/3n校核：1/3+2/3=1第20页，此课件共42页哦图15.30第21页，此课件共42页哦n结点C：nSCB=SBC=12EInSCD=4iCD=44EI/2=8EInCB=SCB/(SCB
11、+SCD)=3/5nCD=SCD/(SCB+SCD)=2/5n校核：3/5+2/5=1n将分配系数填入图15.30(b)的相应位置。n(2)计算固端弯矩n固定刚结点B和C，则连续梁变成三根单跨超静定梁，因此可由表19.2求得各杆的固端弯矩：第22页，此课件共42页哦nMFBA=3/16Pl18.75kNmnMFBC=-ql2/12=-15kNmnMFCB=ql2/12=15kNmn其余各固端弯矩均为零。n将各固端弯矩填入图15.30(b)所示相应位置。n结点B和结点C的约束力矩分别为nMFB=MFBA+MFBC=(18.75-15)kNm=3.75kNmnMFC=MFCB+MFCD=15kNm
12、n由图15.30(b)中可以很清楚看出各结点的约束力矩。第23页，此课件共42页哦n(3)放松结点C(结点B仍固定)：n对于具有多个刚结点的结构，可按任意选定的次序轮流放松结点，但为了使计算收敛得快些，通常先放松约束力矩较大的结点。在结点C进行力矩分配(即将MFC反号乘以分配系数)，求得各相应杆端的分配弯矩为nMCB=3/5(-15)kNm=-9kNmnMCD=2/5(-15)kNm=-6kNmn同时可求得各杆远端的传递弯矩(即将分配弯矩乘上相应的传递系数)为nMCBC=CCBMCB=1/2(-9)kNm=-4.5kNmnMCDC=CCDMCD=1/2(-6)kNm=-3kNm 第24页，此课
13、件共42页哦n(4)重新固定结点C，并放松结点B：在结点B进行力矩分配，注意此时结点B的约束力矩为nMFB+MCBC=(3.75-4.5)kNm=-0.75kNmn然后将其反号乘以分配系数，即得相应的分配弯矩为nMBA=1/30.75kNm=0.25kNmnMBC=2/30.75kNm=0.5kNmn传递弯矩为nMCAB=0nMCCB=CBCMBC=1/20.5kNm=0.25kNmn将计算结果填入图15.30(b)相应位置。第25页，此课件共42页哦n(5)进行第二轮计算n按照上述步骤，在结点C和B轮流进行第二次力矩分配与传递，计算结果填入图15.30(b)相应位置。这样轮流放松、固定各结点
14、，进行力矩分配与传递。由于分配系数和传递系数均小于1，所以收敛是很快的。n由上看出，经过两轮计算后，结点的约束力矩已经很小，附加刚臂的作用基本解除，结构已接近于实际的平衡状态，若认为已经满足计算精度要求时，计算工作便可以停止。第26页，此课件共42页哦n(6)最后将各杆端的固端弯矩和每次的分配弯矩、传递弯矩相加，即得最后的杆端弯矩。见图15.30(b)，最后杆端弯矩下画双横线。n(7)已知杆端弯矩后，应用拟简支梁区段叠加法可画出弯矩图M如图15.30(c)所示。n第27页，此课件共42页哦n现将用力矩分配法计算一般连续梁和无结点侧移刚架的步骤归纳如下：n 计算汇交于各结点的各杆端的分配系数ik
15、，并确定传递系数C1k。n 根据荷载计算各杆端的固端弯矩MFik及各结点的约束力矩MFi。n 逐次循环放松各结点，并对每个结点按分配系数将约束力矩反号分配给汇交于该结点的各杆，然后将各杆端的分配弯矩乘以传递系数传递至另一端。按此步骤循环计算直至各结点上的传递弯矩小到可以略去时为止。第28页，此课件共42页哦n 将各杆端的固端弯矩与历次的分配弯矩和传递弯矩相加，即得各杆端的最后弯矩。n 绘弯矩图，进而可作剪力图和轴力图。第29页，此课件共42页哦n【例15.14】试用力矩分配法作图15.31(a)所示连续梁的弯矩图。n【解】(1)计算分配系数n结点B：nSBA=4iBA=46=24nSBC=4i
16、BC=44=16nBA=SBA/(SBA+SBC)=24/(24+16)=0.6nBC=SBC/(SBA+SBC)=16/(24+16)=0.4n校核：0.6+0.4=1第30页，此课件共42页哦图15.31 第31页，此课件共42页哦n结点C：nSCB=4iCB=44=16nSCD=4iCD=44=16nCB=SCB/(SCB+SCD)=0.5nCD=SCD/(SCB+SCD)=0.5n校核：0.5+0.5=1n结点D：nSDC=4iDC=44=16nSDE=4iDE=46=24第32页，此课件共42页哦nDC=SDC/(SDC+SDE)=16/(16+24)=0.4nDE=SDE/(SDC
17、+SDE)=0.6n校核：0.4+0.6=1n结点E：nSED=4iED=46=24nSEF=0nED=SED/(SED+SEF)=1nEF=SEF/(SED+SEF)=0n校核：1+0=1n将分配系数填入图15.31(b)的相应位置。第33页，此课件共42页哦n(2)计算固端弯矩n将结点B、C、D、E固定，由表14.2求各杆的固端弯矩分别为nMFBC=-Pab2/l2=-90242/62kNm=-80kNmnMFCB=Pa2b/l2=40kNmnMFCD=-ql2/12=-60kNmnMFDC=ql2/12=60kNmnMFDE=-Pl/8=-30kNmnMFED=Pl/8=30kNmnMF
18、EF=-Pl=-202kNm=-40kNm第34页，此课件共42页哦n将各固端弯矩填入图15.31(b)所示相应位置。n(3)按先B、D后C、E的顺序，依次在结点处进行力矩分配与传递，并求得各杆端的最后弯n矩，如图15.31(b)所示。n(4)作M图根据各杆端弯矩和荷载，用叠加法作弯矩图如图15.31(c)所示。第35页，此课件共42页哦n【例15.15】试作图15.32(a)所示刚架的内力图。n【解】(1)计算分配系数n结点B：nSBA=4iBA=4EI/8=0.5EInSBC=4iBC=42EI/8=EInBA=SBA/(SBA+SBC)=0.333nBC=SBC/(SBA+SBC)=0.
19、667n校核：0.333+0.667=1n结点C：nSCB=4iCB=EInSCE=4iCE=42EI/8=EI第36页，此课件共42页哦图15.32 第37页，此课件共42页哦nSCD=4iCD=4EI/8=0.5EInCB=SCB/(SCB+SCD+SCE)=0.4nCE=SCE/(SCB+SCD+SCE)=0.4nCD=SCD/(SCB+SCD+SCE)=0.2n校核：0.4+0.4+0.2=1n将分配系数填入图215.32(b)的相应位置。n(2)计算固端弯矩n利用表14.2求得各杆的固端弯矩nMFCE=-ql2/12=-53.3kNmnMFEC=ql2/12=53.3kNm第38页，
20、此课件共42页哦n其余各固端弯矩均为零。将固端弯矩填入图15.32(b)所示的相应位置。n(3)在结点C、B循环交替进行力矩分配与传递，并通过叠加求得各杆端最后弯矩，计算过程n如图15.32(b)所示。n(4)作M图根据杆端最后弯矩和荷载作弯矩图如图15.32(c)所示。n(5)作Q图根据各杆的杆端弯矩及杆上的荷载，逐杆求出杆端剪力作剪力图。由图15.32(a)、(c)可见：n AB、BC、CD各杆无荷载，其剪力均等于常数，且Q=-M杆端/l于是第39页，此课件共42页哦nQAB=QBA=0.7kNnQBC=QCB=-2.8kNnQCD=QDC=-2.2kNn CE杆上作用有均布荷载，剪力图应
21、是一斜直线。取CE杆为隔离体如图15.32(d)所示，由MC=0得nQEC8+MEC-MCE+1/21082=0nQEC=1/8(30.5-64.7-320)kN=-44.3kNn由ME=0得nQCE8+MEC-MCE-1/21082=0nQCE=1/8(30.5+320-64.7)kN=35.7kNn根据各杆端剪力，作剪力图如图15.32(e)所示。第40页，此课件共42页哦n(6)作轴力图利用结点力的平衡条件，由杆端剪力求出杆端轴力作轴力图。n 取结点B为隔离体如图15.32(f)所示。n由X=0得 NBC=0.7kN(拉)n由Y=0得 NBA=2.8kN(拉)n 取结点C为隔离体如图15
22、.32(g)所示。n由X=0得nNCE+2.2-0.7=0,NCE=-1.5kN(压)n由Y=0得nNCD+2.8+35.7=0，NCD=-38.5kN(压)n根据各杆端轴力作轴力图如图15.32(h)所示。第41页，此课件共42页哦补充：梁的设计方法梁的设计方法1，简支梁与外伸梁的比较n1）简支梁，单边悬臂，双边悬臂；n2）比较峰值；0.125，0.0429（0.293L），0.0214(0.207L)n3）说明设计方法；2，静定梁铰的设计位置nPage.193 3，超静定梁的优化设计 4，静定和超静定梁的区别n1）内力超静定梁和静定梁都可以进行优化n2）而超静定梁的破坏要比静定梁来的迟 5，超静定结构的弯矩分配，其是按线刚度来分配的，从中我们可以利用这样一个原则，来分析一些实际的结构类型。比如：井字梁，密肋梁结构。第42页，此课件共42页哦