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1、线性相关性的判定第1页，共20页，编辑于2022年，星期一x11+x22+xnn=b (3)显然，由（3）式知，若 b 能由1,2,n线性表示，则线性方程组（1）有解，若b不 能由 1,2,n线性表示，则线性方程组（1）无解；当 b=0时，（3）式变为 x11+x22+xnn=0（4）显然，由（4）知，若 1,2,n 线性相关，则它所对应的其次线性方程组 Ax=0 有非零解，若 1,2,n线性无关，则 Ax=0 仅有零解.将A按列分块，由（2）得第2页，共20页，编辑于2022年，星期一例如例如 向量组显然，31+22+03，所以线性方程组 x11+x22+x33=综上所述，向量b能不能由向量
2、组 1,2,n 线性表示，则说明它所对应的非齐次的线性方程组 Ax=b 有没有解的问题；向量组1,2,n的线性相关性，则说明它所对应的齐次线性方程组 Ax=0 有什么样的解的问题.第3页，共20页，编辑于2022年，星期一向量组 由于 1，2，线性无关，所以 不能由1，2线性表示，即线性方程组 x11+x22=亦即无解.即有解.第4页，共20页，编辑于2022年，星期一 又如又如 向量组显然，1，2，3 线性相关，且3 31+22所以，线性方程组x11+x22+x33=0有非零解.第5页，共20页，编辑于2022年，星期一向量组 显然，1 1，2 2，3 3 线性无关，线性无关，所以齐次线性方
3、程组x11+x22+x3=0仅有零解.第6页，共20页，编辑于2022年，星期一二、线性相关性的判定二、线性相关性的判定 定理定理4 向量组 1，2，m线性相关的充分必要条件是它所构成矩阵 A=(1，2，m)的秩小于向量个数 m；向量组线性无关的充分必要条件是 R(A)=m.例例1 n 维向量组称为 n 维单位坐标向量组，试讨论它的线性相关性.第7页，共20页，编辑于2022年，星期一解解 n维单位坐标向量组构成的矩阵E=(e1，e2，en)是 n 阶的单位矩阵由|E|=1 0，知R(E)=n，即 R(E)等于向量组中向量的个数，故由定理4知向量组是线性无关的.例例2 已知试讨论向量组 1，2
4、，3 及向量组 1，2 的线性相关性.第8页，共20页，编辑于2022年，星期一 解解 对矩阵（1，2，3）施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵(1，2，3)及矩阵（1，2）的秩，由定理 4 即可得出结论.（1，2，3）可见 R(1，2，3)=2,由定理4知向量组 1，2，3 线性相关；R(1，2)2，向量组 1，2 线性无关.第9页，共20页，编辑于2022年，星期一 例例3 已知向量组1,2,3线性无关,令 1=1+2,2=2+3,3=3+1,试证向量组1,2,3线性无关.证证 设有x1,x2,x3使x1 1+x2 2+x3 3=0,即 x1(1+2)+x2(2+3)+x
5、3(3+1)=0亦即 (x1+x3)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3=0因 1,2,3 线性无关，故有第10页，共20页，编辑于2022年，星期一由于此方程组的系数行列式 故方程组只有零解 x1=x2=x3=0，所以向量组 1,2,3线性无关.第11页，共20页，编辑于2022年，星期一 定理定理5 （1）若向量组 A:1,2,m 线性相关，则向量组 B:1,2,m,m+1也线性相关.反言之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关.证证 记 A=(1,2,m),B=(1,2,m,m+1)有R(B)R(A)+1，若向量组A线性相关，则由定理4有R(A)m,从而 R(B)R(A)+
6、1 m+1,再由定理4知向量组B 线性相关.由上面的证明知：一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组必线性相关.特别地，含有零向量的向量组一定线性相关.一个向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关.第12页，共20页，编辑于2022年，星期一(2)设(j=1,2,m)即向量j添上一个分量后得向量j,若向量组A:1,2,m线性无关，则向量组B:1,2,m也线性无关，反言之，若向量组 B 线性相关，则向量组 A 也线性相关.证证 记Arm=(1,2,m),B(r+1)m=(1,2,m),有R(A)R(B).若向量组A线性无关，则R(A)=m,从而R(B)m.但 R(B)m,故 R(B)m，因此
7、向量组 B 线性无关.第13页，共20页，编辑于2022年，星期一 （3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量的个数m时一定线性相关.证证 m个n维向量1,2,m构成的矩阵Anm=(1,2,m),有R(A)n.若n m,则R(A)m,故m个向量1,2,m线性相关.推论 若r维的向量线性无关,在r维的向量组 每个向量都添上nr个分量，得n维的向量组，则n维的向量组线性无关.第14页，共20页，编辑于2022年，星期一 例例4 设有向量组iT=(ai,ai2,ain),(i=1,2,m.m n),试证向量组1T,2T,mT,线性无关，其中a1,a2,am 为m个互不相等且不等于零的常数.证证
8、 因为1T=(a1,a12,a1m,a1n)2T=(a2,a22,a2m,a2n)mT=(am,am2,amm,amn)前m个分量作成的行列式第15页，共20页，编辑于2022年，星期一从而向量组1T=(a1,a12,a1m)2T=(a2,a22,a2m)mT=(am,am2,amm)线性无关，所以增加分量后所得的向量组 1T,2T,mT线性无关.第16页，共20页，编辑于2022年，星期一 例例5 设A是nm矩阵，B是mn矩阵，其中nm，若AB=E，证明B 的列向量线性无关.证证 设B=(1,2,n)，其中1,2,n 是 B 的列向量，若x1 1+x2 2+xn n =0即 （1,2,n）=
9、BX=0 两边左乘 A得 ABX=0，即 EX=0，从而X=0，所以1,2,n 线性无关.第17页，共20页，编辑于2022年，星期一 例例6 设向量 可由向量组1，2，m线性表示，但不能向量组()1，2，,m1线性表示，记向量组（），1，2，,m1，则m能由（）线性表示，但不能由()线性表示.证证 由于 可由1，2，m线性表示，即 11+22+m m 又因为不能由向量组 1，2，,m1线性表示，所以 m0，从而故则 m 能由（）线性表示.第18页，共20页，编辑于2022年，星期一假设m能由()线性表示，则有m k11+k22+km1m1 1 1+2 2+m m 11+22+m(k11+k22+km1m1)(1+mk1)1+(2+mk2)2+(m1+mkm1)m1 这与 不能由()线性表示矛盾，故 m不能由()线性表示.所以第19页，共20页，编辑于2022年，星期一作业 128页 4、5、8、9.第20页，共20页，编辑于2022年，星期一