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1、算法合集之动态规划算法时间效率的优化第1页，共13页，编辑于2022年，星期一动态规划算法的时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间第2页，共13页，编辑于2022年，星期一一、减少状态总数二、减少每个状态转移的状态数三、减少状态转移的时间1、改进状态表示；（例一）1、减少决策时间（例三）方法：采用恰当的数据结构；2、减少计算递推式的时间方法：进行预处理，利用计算结果等；2、其他方法：选取恰当的规划方向等；1、根据最优解的性质减少决策量；（例二）2、其他方法：利用四边形不等式证明决策的单调性等；第3页，共13页，编辑于2022年，星期一例一、RaucousRockers演
2、唱组（USACO96）问题描述现有n首由RaucousRockers演唱组录制的歌曲，计划从中选择一些歌曲来发行m张唱片，每张唱片至多包含t分钟的音乐，唱片中的歌曲不能重叠。按下面的标准进行选择：(1)这组唱片中的歌曲必须按照它们创作的顺序排序；(2)包含歌曲的总数尽可能多。输入n，m，t，和n首歌曲的长度，它们按照创作顺序排序，没有一首歌超出一张唱片的长度，而且不可能将所有歌曲的放在唱片中。输出所能包含的最多的歌曲数目。第4页，共13页，编辑于2022年，星期一设n首歌曲按照创作顺序排序后的长度为long1.n，则动态规划的状态表示描述为：gi,j,k，(0in，0jm，0kt),表示前i首
3、歌曲，用j张唱片另加k分钟来录制，最多可以录制的歌曲数目。状态转移方程为：当klongi，i1时：gi,j,k=maxgi-1,j,k-longi+1，gi-1,j,k当klongi，i1时：gi,j,k=maxgi-1,j-1,t-longi+1，gi-1,j,k规划的边界条件为：当0jm，0kt时：g0,j,k=0;问题的最优解为：gn,m,0。算法的时间复杂度为：O(n*m*t)。第5页，共13页，编辑于2022年，星期一改进的状态表示描述为：gi,j=(a,b)，0in，0ji，0am，0bt，表示在前i首歌曲中选取j首录制所需的最少唱片为：a张唱片另加b分钟。状态转移方程为：gi,j
4、=mingi-1,j，gi-1,j-1+longi其中(a,b)+longi=(a,b)的计算方法为：当b+longit时：a=a;b=b+longi;当b+longit时：a=a+1;b=longi;规划的边界条件：当0in时，gi,0=(0,0)题目所求的最大值是：answer=maxk|gn,k(m-1,t)算法的时间复杂度为：O(n2)。Back第6页，共13页，编辑于2022年，星期一例三、石子合并问题(NOI95)问题描述在一个操场上摆放着一圈n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记为该次合并的得分。试编程求出将n堆
5、石子合并成一堆的最小得分和最大得分以及相应的合并方案。本例只考虑最大得分。第7页，共13页，编辑于2022年，星期一ij规划的边界条件为：mi,i=0令si,j=k，表示合并的最优断开位置。算法的时间复杂度为O(n3)。设各堆的石子数依次为d1.n，则动态规划的状态表示为：mi,j，1i,jn，表示合并di.j所得到的最大得分：令 ，则状态转移方程为：第8页，共13页，编辑于2022年，星期一合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置si,j要么等于i，要么等于j-1，也就是说最优合并方案只可能是：(i)(i+1 j)或 (i j-1)(j)证明：设合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置si,j=p，
6、且ipj-1。情况1、ti,ptp+1,j由于ip，所以可以设q=si,p。于是最优合并方案为：(iq)(q+1.p)(p+1j)它的得分F1=mi,q+mq+1,p+mp+1,j+ti,j+ti,pti,p我们可以构造如下的合并方案：(iq)(q+1.p)(p+1j)它的得分F2=mi,q+mq+1,p+mp+1,j+ti,j+tq+1,jtq+1,j由于qp，所以ti,ptp+1,jtq+1,j所以F1tp+1,j与情况1是对称的。第9页，共13页，编辑于2022年，星期一状态转移方程优化为：mi,j=maxmi+1,j,mi,j-1+ti,jij规划的边界条件是：mi,i=0算法的时间复
7、杂度O(n2)。Back第10页，共13页，编辑于2022年，星期一例三、LOSTCITY(NOI2000)问题描述现给出一张单词表、特定的语法规则和一篇文章：文章和单词表中只含26个小写英文字母az。单词表中的单词只有名词，动词和辅词这三种词性，且相同词性的单词互不相同。单词的个数不超过1000，单词的长度均不超过20。语法规则可简述为：名词短语：任意个辅词前缀接上一个名词；动词短语：任意个辅词前缀接上一个动词；句子：以名词短语开头，名词短语与动词短语相间连接而成。文章的长度不超过5k。且已知文章是由有限个句子组成的，句子只包含有限个单词。编程将这篇文章划分成最少的句子，在此前提之下，要求划
8、分出的单词数最少。第11页，共13页，编辑于2022年，星期一我们分别用v,u,a表示动词，名词和辅词，给出的文章用L1.M表示，则状态表示描述为：F(v,i)：表示将L的前i个字符划分为以动词结尾（当iM时，可带任意个辅词后缀）的最优分解方案下划分的句子数与单词数；F(u,i)：表示将L的前i个字符划分为以名词结尾（当iM时，可带任意个辅词后缀）的最优分解方案下划分的句子数与单词数。状态转移方程为：F(v,i)=minF(u,j)+(0,1)，L(j+1.i)为动词；F(v,j)+(0,1)，L(j+1.i)为辅词，iM；F(u,i)=minF(u,j)+(1,1),L(j+1.i)为名词；
9、F(v,j)+(0,1),L(j+1.i)为名词；F(u,j)+(0,1),L(j+1.i)为辅词，iM；边界条件：F(v,0)=(1,0)；F(u,0)=(,)；问题的解为：minF(v,M),F(u,M)；第12页，共13页，编辑于2022年，星期一顺序查找二分查找哈希表检索树算法的时间复杂度O(20*M*N)O(20*M*log2N)O(20*M)O(M)最坏情况下的比较次数1081061055*103Input.009超时1.27s0.32s0.05sInput.010超时1.33s0.33s0.05sBack采用不同的方法查找字符串的比较：设单词表的规模为N（N的最大值为1000）设文章的长度为M（M的最大值为5000）（测试环境：Pentium200/32MB）第13页，共13页，编辑于2022年，星期一