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1、数学模型及基本概念第1页，此课件共54页哦2.12.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型一一.机械优化设计方法解决实际问题的步骤机械优化设计方法解决实际问题的步骤 1.分析分析实际问题，建立建立优化化设计的数学模型；的数学模型；分析：分析：设计的要求（的要求（目目标、准、准则）；）；设计的限制（的限制（约束束）条件；）条件；设计的参数，确定的参数，确定设计变量量。建立：机械建立：机械优化化设计方法相方法相应的的数学模型数学模型。2.分析数学模型的分析数学模型的类型，型，选择合适的求解方法（合适的求解方法（优化算法化算法）。）。3.求数学模型的最求数学模型的最优解，并解，并对计算的算的结果果
2、进行行评价分析价分析,最最终确确定是否定是否选用此次用此次计算的解。算的解。第2页，此课件共54页哦2.12.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型二.二.举例举例1 1：圆形等截面销轴的优化设计的数学模型：圆形等截面销轴的优化设计的数学模型 已知：已知：轴的一端作用的一端作用载荷荷 P=1000N，扭矩，扭矩 M=100Nm；轴长不得小于不得小于8cm；材；材料的料的许用弯曲用弯曲应力力 w=120MPa，许用扭剪用扭剪应力力=80MPa，许用用挠度度 f=0.01cm；密度；密度=7.8t/m，弹性模量性模量E=2105MPa。分析：分析：设计目目标是是轴的的质量最量最轻Q=1/4 d2
3、 l min.；要求：要求：设计销轴，在，在满足上述条件的同足上述条件的同时，轴的的质量量应为最最轻。设计限制限制条件有条件有5个：个：弯曲弯曲强度：度：max w 扭扭转强度：度：刚度：度：f f 结构尺寸：构尺寸：l 8,d 0 设计参数中的未定参数中的未定变量量：d、l第3页，此课件共54页哦2.12.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型具体化：目具体化：目标函数函数Q=1/4 d2 l min.约束函数束函数max =Pl/(0.1d3)w =M/(0.2d3 )f=Pl3/(3EJ)f l 8 d 0代入数据整理得数学模型：代入数据整理得数学模型：设：X=x1,x2 T=d,l
4、T min.f(x)=x12x2 X R2 s.t.g1(x)=8.33 x2 -x13 0 g2(x)=6.25-x13 0 g3(x)=0.34 x23-x14 0 g4(x)=8-x2 0 g5(x)=-x1 0二二.举例举例1 1（续）（续）第4页，此课件共54页哦2.12.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型二.二.举例举例2 2：包装箱尺寸参数设计：包装箱尺寸参数设计 已知：已知：一个体一个体积为5m3的薄板包装箱，其中一的薄板包装箱，其中一边长度不小于度不小于4m。分析：分析：传统设计方法方法：首先固定包装箱一：首先固定包装箱一边长度度 a=4m,满足包装箱体足包装箱体积为5
5、m3的的设计要求，要求，则有很多有很多设计方案。方案。要求：要求：使薄板耗材最少，确定包装箱的尺寸参数：使薄板耗材最少，确定包装箱的尺寸参数：长a、宽b和高和高h。优化化设计方法方法：在：在满足包装箱的体足包装箱的体积abh=5，长度度a4,宽度度b0 和高和高度度h0的限制条件下，确定的限制条件下，确定设计参数参数a、b、h的的值，使包装箱的表面，使包装箱的表面积s达到达到最小。最小。选择合适的合适的优化方法化方法对该优化化设计问题进行求解，得到的行求解，得到的优化化结果是：果是：第5页，此课件共54页哦2.1 2.1 优化设计的数学模型优化设计的数学模型机械机械优化化设计数学模型的一般形式
6、：数学模型的一般形式：设X=x1,x2,xnT min.f(x)=f(x1,x2,xn)X Rn s.t.gu(x)0 u=1,2,m hv(x)=0 v=1,2,p n 设计变量量 目目标函数函数 约束函数束函数（性能（性能约束）束）约束函数（性能束函数（性能约束）束）约束函数（性能束函数（性能约束）束）约束函数（几何束函数（几何约束）束）约束函数（几何束函数（几何约束）束）（不等式（不等式约束）束）（等式（等式约束束）属于属于2维欧氏空欧氏空间根据例子中的数学模型：根据例子中的数学模型：设：X=x1,x2 T=d,l T min.f(x)=x12x2 X R2 s.t.g1(x)=8.33
7、 x2 -x13 0 g2(x)=6.25-x13 0 g3(x)=0.34 x23-x14 0 g4(x)=8-x2 0 g5(x)=-x1 0三三.优化设计的数学模型优化设计的数学模型第6页，此课件共54页哦2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素一一.设计变量：设计变量：设计变量量：在：在优化化设计过程中是程中是变化的，需要化的，需要优选确定的量。确定的量。设计参数参数：在：在优化化设计过程中保持不程中保持不变或或预先确定数先确定数值。可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置运运动学参数：例，位移、速度、加速度学参数：例，位移、速度、加速度动力
8、学参数：例，力、力矩、力学参数：例，力、力矩、应力力其它物理量：例，其它物理量：例，质量、量、转动惯量、量、频率、率、挠度度非物理量：非物理量：例，效率、寿命、成本例，效率、寿命、成本设计变量量：优化化设计问题有有 n 个个设计变量量 x1,x2,xn，用用 xi(i=1,2,n)表示，是表示，是设计向量向量 X 的的 n个分量。个分量。设计向量向量：用：用 X=x1,x2,x nT 表示，表示，是定是定义在在 n 维欧氏空欧氏空间中的一个向量。中的一个向量。第7页，此课件共54页哦2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素设计点点:X(k)（x1(k),x2(k),x n(k)）：
9、）：是是设计向量向量X(k)的端点，代表的端点，代表设计空空间中的一个点，也代表第中的一个点，也代表第 k 个个设计方案。方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。设计空空间 Rn：以以x1,x2,xn 为坐坐标轴，构成，构成 n 维欧氏欧氏实空空间Rn。它包。它包含了所有可能的含了所有可能的设计点，即所有点，即所有设计方案。方案。例：右例：右图三三维空空间中中第第1设计点：点：X(1)=x1(1),x2(1),x3(1)T第第2设计点：点：X(2)=x1(2),x2(2),x3(2)T 其中：其中：X(2)=X(1)+X(1)增量：增量：X(1)=x1(1
10、),x2(1),x3(1)T 即即x1(2)=x1(1)+x1(1)x2(2)=x2(1)+x2(1)x3(2)=x3(1)+x3(1)一一.设计变量（续设计变量（续1 1）第8页，此课件共54页哦2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素设计变量的量的选取原取原则:尽量减少尽量减少设计变量的个数量的个数，就是，就是说尽可能将那些不很活尽可能将那些不很活跃的参数，根据的参数，根据过去去设计经验或者考或者考虑工工艺、结构布置等方面的因素，可以构布置等方面的因素，可以预先取定，作先取定，作为设计参数参数来来处理。理。将将设计指指标影响影响较大的大的设计参数参数作作为设计变量来量来处理。理
11、。一一.设计变量（续设计变量（续2 2）设计变量的向量形式量的向量形式:=xi是是n维向量向量X的第的第i个分量，个分量，T是是转置符，即表示把列向量置符，即表示把列向量转置置为行向量。行向量。第9页，此课件共54页哦2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素设计约束束：设计变量量值(设计点点)的的选择不不仅要使目要使目标函数达到最函数达到最优值，同同时还会受一定的条件限制，会受一定的条件限制，这些制些制约条件称条件称设计约束。束。约束函数束函数：设计约束是束是设计变量的函数，称量的函数，称为约束函数。束函数。不等式不等式约束函数：束函数：gu(x)0 u=1,2,m 等式等式约束数
12、：束数：hv(x)=0 v=1,2,pn 问题：是否每个：是否每个设计约束中都必束中都必须包含包含 n个个设计变量？量？m+p个个约束呢束呢？不等式不等式约束能否表达成束能否表达成 gu(x)0？p 为什么必什么必须小于小于 n?例：有三个不等式例：有三个不等式约束束g1(x)=-x1 0 g2(x)=-x2 0 g3(x)=x12+x22-1 0 再加一个等式再加一个等式约束束h(x)=x1-x2=0D D二二.约束函数约束函数第10页，此课件共54页哦2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素约束（曲）面束（曲）面：对于某一个不等式于某一个不等式约束束 gu(x)0 中，中，满足
13、足 gu(x)=0的的 x 点的集合构成一点的集合构成一个曲面，称个曲面，称为约束（曲）面。束（曲）面。它将它将设计空空间分成两部分：分成两部分：满足足约束条件束条件 gu(x)0 的部分和不的部分和不满足足约束条束条件件 gu(x)0 的部分。的部分。设计可行域可行域（简称称为可行域）可行域）对于一个于一个优化化问题，所有不等式，所有不等式约束的束的约束面将束面将组成一个复合的成一个复合的约束曲面，束曲面，包包围了了设计空空间中中满足所有不等式足所有不等式约束的区域，称束的区域，称为设计可行域可行域。记作作 D D=g u(x)0 u=1,2,mh v(x)=0 v=1,2,p问题：等式：等
14、式约束与束与约束曲面是什么关系？束曲面是什么关系？D D 二二.约束函数约束函数 （续（续1 1）第11页，此课件共54页哦2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素可行可行设计点点（内点）：（内点）：在可行域内任意一点称在可行域内任意一点称为可行可行设计点，代表一个可行方案。点，代表一个可行方案。极限极限设计点点（边界点）：界点）：在在约束面上的点称束面上的点称为极限极限设计点。点。若若讨论的的设计点点 x(k)点使得点使得 gu(x(k)=0，则 gu(x(k)0 称称为 适适时约束束或或起作用起作用约束。束。非可行非可行设计点点（外点）：（外点）：在可行域外的点称在可行域外的点
15、称为非可行非可行设计点，代表不可采用的点，代表不可采用的设计方案。方案。二二.约束函数约束函数 （续（续2 2）问题：极限极限设计点是否代表可行点是否代表可行设计方案？方案？什么什么约束一定是适束一定是适时约束？束？可行域是否一定封可行域是否一定封闭？第12页，此课件共54页哦二维设计平面可行域中的内点、外点和边界点二维设计平面可行域中的内点、外点和边界点第13页，此课件共54页哦2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素等式等式约束的特殊性束的特殊性：等式等式约束条件是束条件是对设计变量的一种特殊量的一种特殊组合，从理合，从理论上上讲，有一个等式，有一个等式约束束条件就存在一个从最
16、条件就存在一个从最优化化设计中消去某个中消去某个设计变量的机会，即降低最量的机会，即降低最优化化设计问题维数的一次机会。数的一次机会。等式等式约束条件数束条件数p必必须小于小于优化化设计问题的的维数数n，若，若np，则由由n个等式个等式约束函数方程限制了束函数方程限制了设计方案只能有唯一的解，没有最方案只能有唯一的解，没有最优化的余地。化的余地。可行域的可行域的边界一般是等式界一般是等式约束，在二束，在二维设计空空间中，等式中，等式约束表束表现为一条曲一条曲线，在三在三维设计空空间中，等式中，等式约束一般表束一般表现为一一张曲面。曲面。二二.约束函数约束函数 （续（续3 3）第14页，此课件共
17、54页哦2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素目目标函数函数：优化化设计的的过程是从可行程是从可行设计解中，找出一解中，找出一组最最优解的解的过程。需要一个程。需要一个准准则来来评价当前价当前设计点（解）的最点（解）的最优性。性。这个准个准则包含各个包含各个设计变量，作量，作为评价函数，一般称价函数，一般称为目目标函数，也称函数，也称为评价函数、准价函数、准则函数、价函数、价值函数。函数。多目多目标函数函数：由于由于评价准价准则的的非唯一性非唯一性，目，目标函数可以是一个函数可以是一个单目目标函数，也可以是多个函数，也可以是多个称称为多目多目标函数。函数。单目目标函数的表达式函数
18、的表达式为：f(x)=f(x1,x2,xn)多目多目标函数的表达式函数的表达式为：f(x)=1f1(x)+2f2(x)+qfq(x)=其中：其中：f1(x)，f2(x)，fq(x)代表代表 q 个分个分设计目目标；1，2，q 代表代表 q 个加个加权系数。系数。三三.目标函数目标函数第15页，此课件共54页哦2.2 2.2 优化设计的三大要素优化设计的三大要素说明明：f(x)必必须是是x的函数，的函数，应随随设计点的点的变化化f(x)的的值上升、下降；上升、下降；f(x)应该是是实函数，是可函数，是可计算的。但不一定通算的。但不一定通过数学公式，数学公式，还可以用其它数可以用其它数值计算方法算
19、方法计算。算。f(x)可以是有物理意可以是有物理意义，有，有单位的，也可以没有物理意位的，也可以没有物理意义。例如，例如，销轴的的质量：量：Q=1/4d2l，1/4是常数，是常数，目目标函数可函数可简化化为 f(x)=d2 l=x12x2问题：f(x)是否一定是否一定应包含所有的包含所有的设计变量量？f(x)若是越大越好，若是越大越好，则应如何如何处理？理？分目分目标函数函数f1(x)，f2(x)，fq(x)中，有些是越小越好，中，有些是越小越好，有些有些是越大越好，是越大越好，则又又应如何如何处理？理？三三.目标函数目标函数(续）续）第16页，此课件共54页哦2.2 2.2 优化设计的三大要
20、素优化设计的三大要素通常根据通常根据设计准准则建立建立：在机构在机构优化化设计中，中，这种准种准则可以是运可以是运动学和学和动力学的性力学的性质，如运，如运动误差，主差，主动力和力和约束反力的最大束反力的最大值，振，振动特性等特性等在零件和部件在零件和部件设计中，中，设计准准则可以用重量、体可以用重量、体积、效率、可靠、效率、可靠性、承性、承载能力表示能力表示对于于产品品设计，可以将成本、价格、寿命等作，可以将成本、价格、寿命等作为所追求的目所追求的目标。在一般情况下，在一般情况下，这些些设计指指标与与设计变量之量之间都有明都有明显的的函数关系。的的函数关系。三三.目标函数目标函数(续续2 2
21、）第17页，此课件共54页哦2.3 2.3 优化设计的分类优化设计的分类一一.按模型性质分：按模型性质分：确定型确定型优化化问题：静：静态优化化问题（与（与时间无关或忽略无关或忽略时间因素）因素）动态优化化问题（随（随时间变化，系化，系统响响应变化）化）不确定型不确定型优化化问题（随机（随机优化化问题）二二.按设计变量性质分按设计变量性质分 连续变量、量、离散离散变量、量、随机随机变量量三三.按约束情况分按约束情况分1.按有无按有无约束分：束分：无无约束束优化化问题约束束优化化问题 2.按按约束性束性质分：分：区域区域约束（几何束（几何约束、束、边界界约束）束）性能性能约束（功能束（功能约束、
22、性束、性态约束）束）第18页，此课件共54页哦2.32.3 优化设计的分类（续）优化设计的分类（续）四四.按目标函数和约束函数的特性分：按目标函数和约束函数的特性分：线性性规划划问题非非线性性规划划问题几何几何规划划问题二次二次规划划问题五五.按目标函数的个数分：按目标函数的个数分：单目目标优化化问题双目双目标优化化问题多目多目标优化化问题第19页，此课件共54页哦2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础一一.等值（线）面：等值（线）面：对于可于可计算的函数算的函数 f(x)，给定一个定一个设计点点 X(k)(x1(k),x2(k),xn(k)，f(x)总有有一个定一个定值c 与之与
23、之对应；而当；而当f(x)取定取定值 c 时，则有无限多个有无限多个设计点点X(i)(x1(i),x2(i),xn(i)（i=1,2,）与之）与之对应，这些点集构成一个曲面，称些点集构成一个曲面，称为等等值面面。当当 c 取取c1,c2,等等值时，就就获得一族曲面族，称得一族曲面族，称为等等值面族面族。当当f(x)是二是二维时，获得得一族等一族等值线族；族；当当f(x)是三是三维时，获得一得一族等族等值面族；面族；当当f(x)大于三大于三维时，获得一族超等得一族超等值面族。面族。第20页，此课件共54页哦2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础等等值线的的“心心”（以二维为例）一个一
24、个“心心”：是：是单峰函数的峰函数的极（小）极（小）值点点，是全局极（小），是全局极（小）值点。点。没有没有“心心”：例，：例，线性函数的等性函数的等值线是平行的，无是平行的，无“心心”，认为极极值点在无点在无穷远处。多个多个“心心”：不是：不是单峰函数，每个极（小）峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）点只是局部极（小）值点，必点，必须通通过比比较各个极各个极值点和点和“鞍点鞍点”（须正确判正确判别）的）的值，才能确定极（小），才能确定极（小）值点。点。一一.等值（线）面：等值（线）面：第21页，此课件共54页哦2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础无无约束最束最优解和解和约束
25、最束最优解解 对于无于无约束最束最优化化问题，最，最优解就是目解就是目标函数的极函数的极值点，点，实际上就是目上就是目标函函数等数等值线的中心。的中心。对于于约束最束最优化化问题，最，最优点往往是目点往往是目标函数等函数等值超曲面与超曲面与约束超束超曲面的一个切点，而且可能在两个以上曲面的一个切点，而且可能在两个以上约束超曲面的交集上束超曲面的交集上一一.等值（线）面：等值（线）面：局部最局部最优解和全局最解和全局最优解解第22页，此课件共54页哦2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础等等值线的形状的形状：同心同心圆族、族、椭圆族，近似族，近似椭圆族；族；等等值线的疏密的疏密：沿等
26、沿等值线密的方向，函数密的方向，函数值变化快；化快；沿等沿等值线疏的方向，函数疏的方向，函数值变化慢。化慢。等等值线的疏密定性反的疏密定性反应函数函数值变化率。化率。严重非重非线性函数性函数病病态函数的等函数的等值线族是族是严重偏心和扭曲、分布疏密重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的重不一的曲曲线族。族。一一.等值（线）面：等值（线）面：第23页，此课件共54页哦2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础等等值线的分布的分布规律与目律与目标函数函数变化化规律之律之间的关系的关系：对于求目于求目标函数极小化函数极小化问题来来说，愈靠近极，愈靠近极值点的等点的等值线（面面）所代表的）所代表的目
27、目标函数函数值愈小。愈小。在极在极值点附近的等点附近的等值线呈呈现椭圆形状，其中心就是极形状，其中心就是极值点。点。等等值线举例（二例（二维优化化设计问题）：一一.等值（线）面：等值（线）面：令目令目标函数函数值等于一系列常数等于一系列常数值：则在在设计平面上得到以点平面上得到以点(2，0)为圆心，心，以以为半径的一族同心半径的一族同心圆,曲曲线族中某族中某一条曲一条曲线上的各点都具有相同的目上的各点都具有相同的目标函函数数值。第24页，此课件共54页哦2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础二二维优化化问题的几何描述的几何描述：例：例：对二二维优化化问题一一.等值（线）面：等值（线
28、）面：进行几何描述行几何描述约束束线、可行域、目、可行域、目标函数等函数等值线、约束极束极值点点第25页，此课件共54页哦设，是是设计空空间中的中的任意两个向量，任意两个向量，则有：有：(1)xi=yi(i=1,2,n)时，称，称x与与y相等相等;(2)x与与y的和、差定的和、差定义：(3)向量与向量与实数数的乘的乘积定定义为：(4)当当时，称，称x为零向量。零向量。2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础二二.向量与矩阵：向量与矩阵：向量向量：第26页，此课件共54页哦(1)向量的模：向量的模：(2)向量向量x与与y之之间的距离：的距离：(3)向量向量x与与y的内的内积：(4)非零
29、向量非零向量x与与y的之的之间的的夹角：角：(5)在在实空空间中，称中，称为欧氏空欧氏空间，记作作。2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础二二.向量与矩阵：向量与矩阵：欧式空欧式空间：第27页，此课件共54页哦(1).设为中的中的m个向量个向量(mn)，若有不全，若有不全为零零的的m个数个数，i=1,2,，m，使，使成立，称向量成立，称向量组是是线性相关的。性相关的。(2).若若中一中一组向量向量线性相关，性相关，中任一向量中任一向量x都都可表示可表示为则称称为的一的一组基。基。2.4 优化化设计的数学基的数学基础二二.向量与矩阵：向量与矩阵：向量的向量的线性相关与基性相关与基：设
30、，则有：有：设，为实数，数，则有：有：矩矩阵：第28页，此课件共54页哦当当m=n时，A称称为n阶方方阵，aii,i=1n,称称为方方阵的主的主对角元素。角元素。|称称为方方阵的行列式，且有：的行列式，且有：在在n阶方方阵A中，当主中，当主对角元素均角元素均为，其余各元素都，其余各元素都为零，零，则称称为单位方位方阵E。2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础二二.向量与矩阵：向量与矩阵：方方阵：对于于n阶方方阵A,B，如果如果AB=E，则称称B为A的逆矩的逆矩阵，记为，而且可推得：，而且可推得：当当n阶方方阵各元素各元素aii=aji，i,j=1n,称称A为对称方称方阵。第29页，
31、此课件共54页哦二次型：含有二次型：含有n个个变量量x1,x2,xn的二次的二次齐次函数次函数上式也可表达上式也可表达为：对于任意的非零向量，恒有于任意的非零向量，恒有，则称称f(X)为正二次型，正二次型，A为正定矩正定矩阵。2.4 优化化设计的数学基的数学基础二二.向量与矩阵：向量与矩阵：二次型与正定矩二次型与正定矩阵：函数的偏函数的偏导数数：偏偏导数是指在某坐数是指在某坐标轴方向函数方向函数值的的变化率，化率，连续可微的可微的n维函数函数 ，在点，在点 的一的一阶偏偏导数表示数表示为：，第30页，此课件共54页哦方向方向导数数：二二维问题中，中，f(x1,x2)在在 X(0)点沿方向点沿方
32、向 s的方向的方向导数数为：其中：其中：是是 X(0)点的梯度。点的梯度。S 为s方向的方向的单位向量，位向量，。为 S 的方向角的方向角,方向方向导数数为方向余弦。方向余弦。为梯度梯度在方向在方向 s 上的投影。上的投影。三三.梯度梯度2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础第31页，此课件共54页哦2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础梯度的性质：梯度的性质：梯度是梯度是 X(0)点点处最大的方向最大的方向导数；数；梯度的方向是梯度的方向是过点的等点的等值线的法的法线方向；方向；梯度是梯度是X(0)点点处的局部性的局部性质；梯度指向函数梯度指向函数变化率最大的方向；化
33、率最大的方向；正梯度方向是函数正梯度方向是函数值最速上升的方向，最速上升的方向，负梯度方向是梯度方向是函数函数值最速下降的方向。最速下降的方向。对于于 n 维问题的梯度的梯度三三.梯度梯度第32页，此课件共54页哦例例2-1 求二元函数求二元函数 在在 处的梯度和梯度的模处的梯度和梯度的模解：由梯度的定解：由梯度的定义可得：可得：将将 代入上式得到：代入上式得到：x2P21x12 的模的模为：梯度的梯度的单位向量位向量为：第33页，此课件共54页哦2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础n 维函数函数 f(x)在在 x(k)点的台点的台劳展开式展开式:二二阶近似式：近似式：其中：增量
34、其中：增量 X(k)=x1(k),x2(k),xn(k)T梯度梯度 Hesse 矩矩阵四四.Hesse.Hesse 矩阵与正定矩阵与正定第34页，此课件共54页哦2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础Hesse 矩矩阵的特性：是的特性：是实对称矩称矩阵。矩矩阵正定的充要条件：正定的充要条件：主子式主子式det(ait)0当主子式当主子式 det(ait)0 时，矩，矩阵半正定半正定det(ait)0时，矩，矩阵负定定det(ait)0时，矩，矩阵半半负定定Hesse 矩矩阵的正定性：的正定性：H(x*)正定，正定，是是 x*为全局极小全局极小值点的充分条件点的充分条件；H(x*)半
35、正定半正定,是是 x*为局部极小局部极小值点的充分条件；点的充分条件；H(x*)负定，定，是是 x*为全局极大全局极大值点的充分条件；点的充分条件；H(x*)半半负定定,是是 x*为局部极大局部极大值点的充分条件。点的充分条件。正定的二次函数：曲面正定的二次函数：曲面为椭圆抛物面；抛物面；等等值线族族为椭圆曲曲线族，族，椭圆中心中心为极小极小值点。点。四四.Hesse.Hesse 矩阵与正定矩阵与正定第35页，此课件共54页哦2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础凸集：凸集：设 D为欧氏空欧氏空间Rn 中中X的集合，即的集合，即 D Rn,X D，若若D域内任意两个点域内任意两个点
36、x(1)，x(2)的的连线上的各点都属于上的各点都属于 D域，域，则的集合的集合 D称称为 Rn 内的一个凸集。否内的一个凸集。否则，为非凸集。非凸集。凸函数：凸函数：f(x)是定是定义在在 n 维欧氏空欧氏空间中，凸集上的函数，中，凸集上的函数，同同时x(1)D，x(2)D，0,1，当下式成立，当下式成立时，则称称f(x)为定定义在凸集在凸集D上的凸函数。上的凸函数。f x(1)+(1-)x(2)f(x(1)+(1-)f(x(2)当上式中的当上式中的 为时，f(x)是是严格凸函数。格凸函数。五五.函数的凸性函数的凸性第36页，此课件共54页哦2.42.4 优化设计的数学基础优化设计的数学基础
37、判判别函数函数为凸函数的凸性条件凸函数的凸性条件：按梯度判断凸性：按梯度判断凸性：设f(x)是定是定义在凸集在凸集 D上具有上具有连续一一阶导数的函数，数的函数，则f(x)在在D上上为凸函数的充要条件是：凸函数的充要条件是：对于任意的于任意的 x(1),x(2)D 都有都有成立。成立。按二按二阶偏偏导数判断凸性：数判断凸性：设f(x)是定是定义在凸集在凸集D上具有上具有连续二二阶导数的函数，数的函数，则f(x)在在D上上为凸函数的充要条件是：凸函数的充要条件是：f(x)的的Hesse矩矩阵处处半正定。若半正定。若Hesse矩矩阵处处正定，正定，则f(x)为严格凸函数。格凸函数。凸函数的基本性凸
38、函数的基本性质：若若f(x)是定是定义在凸集在凸集D上的上的严格凸函数，格凸函数，则f(x)在在D上的一个极小点，也就是上的一个极小点，也就是全局最小点。全局最小点。凸函数的凸函数的线性性组合仍然合仍然为凸函数。凸函数。f1(x)f2(x)设x(1),x(2)为凸函数凸函数 f(x)上的两个最小点，上的两个最小点，则其其连线上的任意点也都是最小上的任意点也都是最小点。点。五五.函数的凸性函数的凸性第37页，此课件共54页哦2.5 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件一一.优化设计最优解优化设计最优解无无约束束优化化设计问题最最优解：解：约束束优化化设计问
39、题最最优解解：不受不受约束条件限制，使目束条件限制，使目标函数达到最小函数达到最小值的一的一组设计变量，即最量，即最优点点 x*=x1*,x2*,x n*和最和最优值 f(x*)构成无构成无约束束问题最最优解。解。满足足约束条件，使目束条件，使目标函数达到最小函数达到最小值的一的一组设计变量，量，即最即最优点点 x*=x1*,x2*,x n*和最和最优值 f(x*)构构成成约束束问题最最优解。解。第38页，此课件共54页哦2.5 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件二二.无约束问题的极值条件无约束问题的极值条件必要条件：必要条件：充分条件充分条件：在点在
40、点的一的一阶偏偏导数数为零（即梯度向量零（即梯度向量为零向量）零向量）如果它的二如果它的二阶偏偏导数矩数矩阵（即（即Hesse矩矩阵）是）是负定的，定的，则为极大点；如果它的二极大点；如果它的二阶偏偏导数矩数矩阵是正定的，是正定的，则为极小点。极小点。例例2-2 求三维函数的极值点求三维函数的极值点解：根据三解：根据三维函数存在极函数存在极值的必要条件，令梯度的必要条件，令梯度为零零第39页，此课件共54页哦2.5 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件二二.无约束问题的极值条件无约束问题的极值条件联解得到：解得到：海海赛矩矩阵行列式各行列式各阶主子式主子
41、式计算点算点处的的Hesse矩矩阵Hesse矩矩阵是正定的，是正定的，是极小点，是极小点，对应的目的目标函数函数值第40页，此课件共54页哦2.5 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件三三.有约束问题最优点的几种情况有约束问题最优点的几种情况2.有适有适时约束束目目标函数是凸函数函数是凸函数,可行域是凸集，可行域是凸集，则目目标函数等函数等值线与适与适时约束曲面的切束曲面的切点点为最最优点，而且是全局最点，而且是全局最优点。点。1.无适无适时约束束 目目标函数是凸函数，可行域是凸集，函数是凸函数，可行域是凸集，则最最优点是内点。相当于无点是内点。相当于无
42、约束束问题的最的最优点。点。x(k)为最最优点点x*的条件：的条件：必要条件：必要条件：充分条件：充分条件：Hesse矩矩阵 H(x(k)是正定矩是正定矩阵X*f(x)x*第41页，此课件共54页哦2.5 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件3.3.有适有适时约束束目目标函数是非凸函数（函数是非凸函数（图 a），或可行域是非凸集（），或可行域是非凸集（图 b）：）：则目目标函数等函数等值线与适与适时约束曲面可能存在多个切点，是局部极束曲面可能存在多个切点，是局部极值点，其中只有一个点是全局最点，其中只有一个点是全局最优点。点。三三.有约束问题最优点的几种
43、情况有约束问题最优点的几种情况pQQp第42页，此课件共54页哦2.52.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件四四.K-T.K-T(Kuhn-Tucker Kuhn-Tucker 库恩库恩-塔克塔克)条件条件 有适时约束时获得最优解的条件有适时约束时获得最优解的条件1.有一个适有一个适时约束束时：与与x(k)点目点目标函数的函数的负梯度方向成梯度方向成锐角，即沿角，即沿 S 方方向目向目标函数函数值下降；下降；与与x(k)点点约束函数的梯度方向成束函数的梯度方向成钝角，即保角，即保证 S方方向上各点在可行域内。向上各点在可行域内。此此时，获得最得最优解解 x
44、(k)为最最优点点 x*，f(x(k)为最最优值 f(x*)。从数学上定从数学上定义，当从，当从 x(k)点出点出发不存在一个不存在一个 S 方向能同方向能同时满足：足：;，即，即，则获得最得最优解：解：x(k)为最最优点点 x*，f(x(k)为最最优值 f(x*)。从几何上看，当从从几何上看，当从 x(k)点出点出发不存在一个不存在一个 S 方向能同方向能同时满足足：第43页，此课件共54页哦2.5 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件 相反，当从相反，当从x(k)点出点出发，存在一个，存在一个S方向能同方向能同时满足：足：和和时，则x(k)不是最不是
45、最优点。点。从几何上看，当从从几何上看，当从x(k)点出点出发存在一个存在一个 S 方向能方向能同同时满足：足：与与x(k)点目点目标函数的函数的负梯度方向成梯度方向成锐角，即沿角，即沿 S 方向目方向目标函数函数值下降；下降；与与x(k)点点约束函数的梯度方向成束函数的梯度方向成钝角，即保角，即保证 S方向上各点在可行域内。方向上各点在可行域内。此此时，x(k)不是最不是最优点点 x*。四四.K-T.K-T(Kuhn-Tucker Kuhn-Tucker 库恩库恩-塔克塔克)条件条件 有适时约束时获得最优解的条件有适时约束时获得最优解的条件1.有一个适有一个适时约束束时：第44页，此课件共5
46、4页哦2.5 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件2.有二个适有二个适时约束束时：x(k)成成为约束最束最优点点 x*的必要条件的必要条件为:。几何上几何上位于位于和和所所张的扇形子空的扇形子空间内。内。即不存在一个即不存在一个 S 方向能同方向能同时满足：足：四四.K-T.K-T(Kuhn-Tucker Kuhn-Tucker 库恩库恩-塔克塔克)条件条件 有适时约束时获得最优解的条件有适时约束时获得最优解的条件第45页，此课件共54页哦2.5 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件相反，不符合以上条件：相反，不符
47、合以上条件：几何上几何上不位于不位于和和所所张的扇形子空的扇形子空间内。内。则 x(k)点不是最点不是最优点。点。不能表达成不能表达成和和的的线性性组合。合。即存在一个即存在一个 S 方向能同方向能同时满足：足：四四.K-T.K-T(Kuhn-Tucker Kuhn-Tucker 库恩库恩-塔克塔克)条件条件 有适时约束时获得最优解的条件有适时约束时获得最优解的条件2.有二个适有二个适时约束束时：第46页，此课件共54页哦2.5 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件3.K-T 条件（条件（扩展至展至 m 个适个适时约束）：束）：设某个某个设计点点 x(k
48、)，其适，其适时约束集束集为，几何上，几何上，x(k)成成为约束最束最优点（极点（极小点）小点）x*时，目，目标函数的函数的负梯度向梯度向量位于量位于 m 适适时约束梯度向量所束梯度向量所张成的子空成的子空间内。内。且且为线性独立，性独立，则 x(k)成成为约束最束最优点的必要条件是点的必要条件是目目标函函数的数的负梯度向量可表示梯度向量可表示为适适时约束梯度向量的束梯度向量的线性性组合，即合，即 。其中，其中，。四四.K-T.K-T(Kuhn-Tucker Kuhn-Tucker 库恩库恩-塔克塔克)条件条件 有适时约束时获得最优解的条件有适时约束时获得最优解的条件第47页，此课件共54页哦
49、2.5 2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件优化设计的最优解及获得最优解的条件K-T条件的作用：条件的作用：判判别边界界设计点点 x(k)为最最优点的依据，点的依据，见参考参考书（第三版）（第三版）52页例例3-6、53页例例3-7（要求会判断）；（要求会判断）；作作为约束束优化的收化的收敛条件。条件。问题：K-T条件是否条件是否为充分必要条件？若是，充分必要条件？若是，说明理由；若不是，明理由；若不是，则说明什么明什么情况下，可成情况下，可成为充要条件？充要条件？有等式有等式约束束时，K-T条件是否条件是否还能适用？能适用？四四.K-T.K-T(Kuhn-Tucker Kuhn-Tuc
50、ker 库恩库恩-塔克塔克)条件条件 有适时约束时获得最优解的条件有适时约束时获得最优解的条件第48页，此课件共54页哦2.6 2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件一一.数值迭代法：数值迭代法：基本思想基本思想：从从设计点点 x(k)出出发，根据函数在，根据函数在该点的某些（局部）性点的某些（局部）性质，确定，确定本次搜索的方向本次搜索的方向 S(k)和步和步长因子因子(k)，从而达到一个新点，从而达到一个新点 x(k+1),逐步逐步调优，最，最终达到或逼近目达到或逼近目标函数的最函数的最优点。点。迭代公式迭代公式：x(k+1)=x(k)+(k)S(