中考数学复习专题:直线与圆锥曲线.doc
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1、知识结构图知识梳理1从几何的角度看,可以分:直线与圆锥曲线有两个不同公共点,仅有一个公共点,无公共点; 有两个公共点,就是相交,直线被圆锥曲线截得的线段称为曲线的弦; 仅有一个公共点,对于圆和椭圆来说,表示直线与其相切; 对于双曲线来说,表示直线与其相切或与渐近线平行; 对于抛物线来说,表示直线与其相切或平行于对称轴; 无公共点,就是相离;2从代数的角度看,将表示直线的方程代入到圆锥曲线的方程中,消去一个变元(或)后,得到方程; 若,当圆锥曲线是双曲线时,说明直线与其渐近线平行; 当圆锥曲线是抛物线时,说明直线与其对称轴平行; 若,记,则 ,说明直线与圆锥曲线相交; ,说明直线与圆锥曲线相切;
2、 ,说明直线与圆锥曲线相离;3斜率为的直线与圆锥曲线相交,将两者方程联立,消去,得到方程,则弦长公式为;4当过定点的直线斜率可能不存在时,为避免分类讨论,可以设斜率的倒数为,把直线方程写成;这种形式的方程能够表示斜率不存在的情形,但不能够表示斜率为的情形 此时同样代入圆锥曲线方程,消去,得到,弦长公式为5在计算圆锥曲线内接三角形面积时,我们常常用到下面这些计算公式:由三角形的面积容易推出圆锥曲线内接四边形的计算公式:(其中为对角线夹角)特别地,对角线互相垂直的四边形的面积为经典精讲<教师备案>直线与圆锥曲线的位置关系: 讨论直线与圆锥曲线的位置关系一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立
3、成方程组,消元(或),若消去得到,讨论根的个数得到相应的位置关系,这里要注意的是: 二次项系数可能有或两种情况, (例外情形:当圆锥曲线为双曲线且直线平行于渐近线时,或者当圆锥曲线为抛物线且直线平行于对称轴时,二次项系数为)只有当,才能用判断根的个数; 直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点,但有一个公共点不一定相切 在讨论直线与双曲线的交点时,要注意数形结合的方法,结合图象作出判断有时更方便快捷,要注意双曲线的渐近线的斜率,以及直线与渐近线的斜率比较 当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理”设而不求计算弦长;涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐
4、标联系起来,相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍尖子班学案1【铺1】 若直线与椭圆恒有公共点,则实数的取值范围为_ 过定点且与双曲线的两支各有一个公共点的直线的斜率的取值范围_【解析】 且 考点:直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 过定点且与抛物线有且只有一个公共点的直线有_条; 过点且与双曲线只有一个交点的直线有_条 已知两定点,若直线上存在点,使得,则该直线为“A型直线”给出下列直线,其中是“A型直线”的是 (2011年海淀一模文8)若直线被圆所截的弦长不小于2,则与下列曲线一定有公共点的是( )A B C D【解析】 ; B<教师备案
5、>直线与圆锥曲线问题的基本方法:直线与圆锥曲线的问题尤其是相交问题,最基本的方法分为两种: 代入法; 即联立直线与圆锥曲线的方程,把直线的方程代入后者消去一个变元(通常是),得到关于的二次方程,二次方程的根即代表交点的横坐标,然后用韦达定理与坐标运算去求解交点的相关问题; 代入法的优点:适用性强,基本上对于任何问题都能适用; 代入法的缺点:通常计算量较大,当方程含参时,坐标运算比较复杂; 在与弦长有关的问题中,通常采用代入法 点差法: 以直线与椭圆相交为例,设出交点的坐标,由于这两者都满足椭圆方程,相减就得:,再利用平方差公式就得:若设的中点为,就得到了斜率与中点坐标的一个简单关系式:;
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- 中考 数学 复习 专题 直线 圆锥曲线
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