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1、数学分析第十九章课件含参变量的积分第1页，此课件共52页哦设函数 f（x,y）在a,b c,d有意义，对 a,b上任一f(x0，y)在c,d上可积，则这个数当然与 就确定一个数，有关。当 在a,b变动时，这样的积分就确定一个函数。称积分 为含参变量的积分，参变量为 x下面讨论由积分所确定的函数的连续性，可微性，可积性。（相当于“函数项级数的和函数的三个性质）导言第2页，此课件共52页哦1 含参变量的正常积分第3页，此课件共52页哦 在 上连续，则 在a,b 连续证明：，有 由于 f(x,y)在 连续，因而一致连续，故对任给的 存在，对任意的，只要就有定理19.1 若 对任意 第4页，此课件共5
2、2页哦因此只要，就有，对 都成立，因而 这就证明了 I(x)在x 点连续，由 的任意性，知，I(x)在a,b 连续。定理19.1证完。等价于：而 交换次序。第5页，此课件共52页哦（积分下求导数）设和在上连续，则在有连续的导函数，且 即 定理19.2证明P262第6页，此课件共52页哦例例1.求：其中解：对任意 存在 b 使得，于是 都在 连续，由定理19.2得 当 时 第7页，此课件共52页哦令 则因此 第8页，此课件共52页哦积分得又由 及 的连续性，得：因此第9页，此课件共52页哦1）函数的范围 满足Th19.2的条件 3）积分求出，确立常数 2）求出 最后求得：方法步骤：第10页，此课
3、件共52页哦例例2.计算定积分 这个积分并不带参变量，但如果直接求,积不出来，我们将通过积分求导数，再求出 I=I(1)，记为此，引入参变量，考虑含参变量积分解：解：第11页，此课件共52页哦 则它们都在 上连续，根据定理19.2，有第12页，此课件共52页哦 注意到 I(0)=0，故从而 第13页，此课件共52页哦1）引入参变量，考察含参变量积分 验证 在 0,10,13）求 2）求出上满足Th19.2。方法步骤：第14页，此课件共52页哦相应于定积分中的积分上限函数：（复习定义和结论）考虑 函数 有下面定理：第15页，此课件共52页哦定理19.3 设函数f(x,y)在矩形区域 上连续，则（
4、1）在 连续；在 连续，则 在 有连续偏导数。（2）若对各变元第16页，此课件共52页哦证明：（1）对任意，则由于f(x,y)在 连续，因而有界，使且一致连续，知存在第17页，此课件共52页哦且对任意给的，存在，对任意的 ，只要 ，和 就有取 ，则当 时，有，第18页，此课件共52页哦即 在 点连续，由 的任意性，便证得 在 连续。又由定理19.2，I对x也有连续的偏导数 这就是所要证明的，定理19.3 证完（2）由微积分基本定理，I 对u有连续的偏导数第19页，此课件共52页哦定理19.4：设函数 f(x,y)在 c(x)，d(x)都在a,b上连续，并且有 上连续，当则 在a,b连续。定理1
5、9.4第20页，此课件共52页哦证明:令u=d(x),v=c(x),根据定理19.3 在 连续。由复合函数的连续性知 在 a,b连续。定理19.4证完。第21页，此课件共52页哦定理19.5 设函数 f(x,y)，都在 上连续，又 和 在a,b存在，且当 时，有 ,，则在a,b可导，且证明:令定理19.5第22页，此课件共52页哦则 ，由定理19.3，H 对各变 时，,故由复合函数求导数的链式法则，在a,b可导，且元有连续的偏导数,又 在a,b 可导，且当第23页，此课件共52页哦例例3.设 ，求解:这个积分积不出来，但由定理19.5有第24页，此课件共52页哦例4.设 f(x)在 x=0=0
6、 的某邻域内连续，则微分方程附近可表成其中n是任意正整数。的解在 x=0 证明:利用定理19.5，则第25页，此课件共52页哦一般地有 的可积性（积分问题）的可积性（积分问题）在a,b 可积.通常记 最后讨论最后讨论从而显然记号：若称为先对y后对x的累次积分 第26页，此课件共52页哦（积分交换次序）在a,b 可积，且 即 设 f(x,y)在 a,b c,d 连续，则 定理19.6第27页，此课件共52页哦证明：1.先证明：2.确定 中的常数c=0（取u=a）中令 u=b 得证.令3.在例例5.求 其中第28页，此课件共52页哦解：，令在 连续，则 积分交换次序，在例1中已求出 故，用变量代换
7、，第29页，此课件共52页哦2 含参变量的广义积分1.一致收一致收敛广义积分有两种情形，一种是无穷限积分，另一种为瑕积分.回忆函数项级数的情形，在和函数分析性质的研究中，一致收敛的概念起了关键作用.通过一致收敛，把无穷和的性质化为有限和的研究.在含参变量广义积分的讨论中，我们也引入一致收敛的概念.本章主要讨论无穷限的情形，但是所有的结果都可以平行地推广到瑕积分的情形.一致收敛的概念起了关键作用.他们都是含参变量正常积分的极限，这与函数项级数十分类似.第30页，此课件共52页哦设f(x,y)定义在a,b c,，且对任意xI(x)=收敛。若对任意的都成立，则称含参变量的广义积分在a,b一致收敛.a
8、,b,无穷积分或，存在，当时，有定义19.1对xa,b第31页，此课件共52页哦例1.证明：含参变量的广义积分一致收敛.其中a 0；,而 ,所以对任给的,存在,当A时有,从而当时，对任意的有 这就证明了（1）在不一致收敛.证明:(1)因为（2）在在一致收敛。第32页，此课件共52页哦含参变量的广义积分 在a,b一致收敛的充要条件是对任给的，存在正数，当时，对任意的a,b，有 定理19.7(一致收敛的柯西准则)一致收敛判别法：一致收敛判别法：第33页，此课件共52页哦定理19.8（魏尔斯特拉斯判别法，或M判别法，或控制收敛判别法）与常数Bc，使得当与a,b时，有 而广义积分是收敛的，则在a,b一
9、致收敛。设存在函数第34页，此课件共52页哦设（1）含参变量的正常积分在与a,b有界，即存在M0，(2)对每个固定的a,b，函数g(x,y)关于 y 是单调的，时，g(x,y)在 a,b 一致地趋向于0。则在a,b一致收敛。对任意的Ac及任意a,b有且当含参变量广义积分定理19.9（狄利克雷判别法）第35页，此课件共52页哦设（1）在a,b一致收敛；a,b，函数g(x,y)关于y单调，a,b,则含参变量广义积分 在a,b一致收敛。（2）对每一个固定的且g(g(x,y )在有界。定理19.10（阿贝尔判别法）第36页，此课件共52页哦例例2.2.证明在一致收敛对与成立，而广义积分收敛，因此在一致
10、收敛。证明:用魏尔斯特拉斯判别法 由于 例例3.3.证明在一致收敛.第37页，此课件共52页哦在若含参变量广义积分在a,b上一致收敛，设则 I(x)在a,b连续。2 含参变量广义积分的分析性质定理19.11（积分号下取极限）上连续，第38页，此课件共52页哦设在在a,b上一致收敛，则即 定理19.12（积分交换次序）上连续。若含参变量广义积分第39页，此课件共52页哦设和都在上连续，在a,b上收敛，在a,b上一致收敛，在a,b可导，且 即 交换 x,y结论依然成立则定理19.13（积分号下求导）若第40页，此课件共52页哦例例4 4.求狄利克雷积分例例6.6.计算积分解：令，则例例5.5.计算
11、积分解：利用例4.解：注意到第41页，此课件共52页哦定理19.14(迪尼)设f(x,y)在连续，非负.若在收敛，且作为 y 的函数在 连续，则在是一致收敛的.第42页，此课件共52页哦定理19.15设在连续且非负都收敛，且分别在和连续，中有一个存在，则另一个也存在，且两者相等.若第43页，此课件共52页哦例例7.计算概率积分第44页，此课件共52页哦 含参变量广义积分 它的定义域就是积分的收敛域：易知（二）性质在其定义域内连续且（一）定义：1.它为无穷限广义积分 2.当时又是瑕积分有任意阶连续导数：3 欧拉积分1.函数：函数第45页，此课件共52页哦(三)递推公式特别：为正整数时可见 函数是
12、阶乘n!的延拓第46页，此课件共52页哦称 （一）定义：含参变量的广义积分（二）性质：2.B函数1.它的定义域就是积分的收敛域2.当a 1,b 1时积分是正常积分 3.当a 1或b 1时积分是瑕积分为B函数，定义域为 a0,b0对称性第47页，此课件共52页哦（a0,b0)（四）与 函数的关系（狄利克雷公式）(三)递推公式：（a0,b1）（a1,b0）第48页，此课件共52页哦内容小结含参变量的正常积分的定义及其性质含参变量广义积分的判别法、性质及其计算欧拉积分的计算第49页，此课件共52页哦习题1.记.则2.求，其中解解：.第50页，此课件共52页哦再对积分，得，得 又故3.应用对参数求导法计算积分（不必定常数，若计算时出现无界情况，取极限计算）解：令，则第51页，此课件共52页哦故，第52页，此课件共52页哦