插值与拟合方法课件.ppt

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1、插值与拟合方法第1页，此课件共40页哦 作为一个模型，它要与模型的实际背景接轨，而数据资料就是数学模型与现实问题接轨的重要途径和手段。因此在建模过程中处理好数据资料和模型的关系是非常重要的。在建模的过程中数据资料以下面几种方式对数学模型起作用：（1 1）在建模过程中，特别是在建模的初期数据资料能够对所构架的模型给出提示。有些模型（我们称之为经验模型）则是完全建立在数据的基础上的。（2 2）数据可以用来对模型的参数给出估计。（3 3）数据资料还可以用于检验模型的效果。建模中的数据资料建模中的数据资料第2页，此课件共40页哦 插值与数据拟合就是通过一些已知数据去确定某类函数的参数或寻找某个近似函数

2、，使所得的函数与已知数据具有较高的精度，并且能够使用数学分析的工具分析数据所反映的对象的性质几种常用的方法：几种常用的方法：分段线性插值分段线性插值：将各数据点用折线连接起来：将各数据点用折线连接起来多项式插值多项式插值：求一个多项式通过所有数据点，可以假设出：求一个多项式通过所有数据点，可以假设出多项式的系数，最后通过求解方程得到每个系数多项式的系数，最后通过求解方程得到每个系数样条插值：样条插值：分段多项式的光滑连接分段多项式的光滑连接最小二乘拟合最小二乘拟合：求参数：求参数c c，使得用含有，使得用含有c c的函数的函数f(x,c)f(x,c)对应对应的残差达到最小的残差达到最小数据拟合

3、与插值建模数据拟合与插值建模第3页，此课件共40页哦 插值插值最初来源于天体计算由若干观测值（即节点）计算任意时刻星球的位置（即插值点和插值）的需要。现在，虽然人们已很少需要用它从函数表计算函数值了，但是插值仍然在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有着许多直接的应用，另一方面，插值又是数值微分、数值积分、常微分方程数值等数值计算的基础。第4页，此课件共40页哦 根据一组（二组）数据，即平面上的若干点，确定一个一元函数，即曲线，使这些节点与曲线总体来说尽量接近，这就是曲线拟合拟合。函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函 数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法是完全不同的

4、。第5页，此课件共40页哦数据插值拟合数据插值拟合MATLABMATLAB命令命令多项式插值和拟合p=polyfit(x,y,k):用k次多项式拟合向量数据(x,y)，返回多项式的降幂系数。当kn-2时，该命令实现多项式插值一元插值yi=interp1(x,y,xi)：根据数据(x,y)给出在xi的分段线性插值结果yiyi=interp1(x,y,xi,spline)：使用三次样条插值yi=interp1(x,y,xi,cubic)：使用分段三次插值二元插值zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)：二维插值第6页，此课件共40页哦在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温

5、度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline);plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:)%作图xlabel(Hour)；ylabel(Degrees Celsius)插值引例插值引例1 1第7页，此课件共40页哦第8页，此课件共40页哦 某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点0:

6、2.5:10(米)，用h表示测量时间0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度()。试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。命令如下：x=0:2.5:10;h=0:30:60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;xi=0:10;hi=0:20:60;TI=interp2(x,h,T,xi,hi)mesh(x,h,T),hold,mesh(xi,hi,TI+100)插值引例插值引例2 2第9页，此课件共40页哦第10页，此课件共40页哦 有一只对温度敏感的电阻，已经测得了一组温度T和电阻R数据。现在想知道 时的电阻多

7、大。温度温度t(0C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032拟合引例拟合引例1 1第11页，此课件共40页哦 在直角坐标系中把5个点（T，R）画一下，看看电阻R和温度T之间大致有什么关系（R与T大致呈直线关系），中学物理学过，金属材料的电阻率与温度成正比，从而确定R与T的关系应该是 R=at+b 其中a，b为待定常数。clear allx=20.5 32.7 51.0 73.0 95.7;y=765 826 873 942 1032;p=polyfit(x,y,1);xx=1:1:100;for i=1:100 yy(i)=p(1

8、)*xx(i)+p(2);endplot(x,y,o,xx,yy,-r)xlabel(温度)ylabel(电阻)第12页，此课件共40页哦 正是由于测量误差的存在，由R=at+b表示的直线不可能通过全部5个点，所以，与插值曲线要通过全部节点不同，作一条尽量靠近所有的点的直线，求出a，b待定常数，由此计算t=的R就十分简单了。第13页，此课件共40页哦拟合引例拟合引例 2 2 t(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射3

9、00mg)求血药浓度随时间的变化规律c(t).x=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;y=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;plot(x,y,-o)c2cc10第14页，此课件共40页哦算术坐标系统算术坐标系统:就是普通的笛卡儿坐标，横纵的刻度都是是等距的对数坐标：对数坐标：坐标轴是按照相等的指数变化来增加的，（举例来说：如果每1cm代表10的1次方增加，则坐标轴刻度依次为1，10，100，1000，10000）半对数坐标系统：半对数坐标系统：只有一个坐标轴是对数坐标，另一个是普通算术坐标。半对数曲线半对数曲线:主

10、要用于成对数或指数变化的数据的分析.如y=lnx(t),在算术坐标系是曲线,而在半对数坐标系统中为一直线,这样便于对试验数据的分析研究.第15页，此课件共40页哦t(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg)作半对数坐标系(semilogy)下的图形第16页，此课件共40页哦一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室，室内血药浓度是均匀的。快速静脉注射后，浓度立即上升；然后迅速下降。当浓度太低时，达不到预期的治

11、疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒或副作用太强。临床上，每种药物有一个最小有效浓度c1和一个最大有效浓度c2。设计给药方案时，要使血药浓度 保持在c1c2之间。本题设c1=10，c2=25(ug/ml).拟拟 合合 实实 例例 1 1给药方案给药方案 一种新药用于临床之前，必须设计给药方案一种新药用于临床之前，必须设计给药方案.药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。第17页，此课件共40页哦 在实验方面,对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg后,在一定时刻t(小时)采集血药,

12、测得血药浓度c(ug/ml)如下表:t(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01 要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。从实验和理论两方面着手：第18页，此课件共40页哦给药方案给药方案 1.在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律。tc2cc10问问题题2.给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。分分析析 理论：用一室模型研究理论：用一室模型研究血药浓度变化规律血药浓度变

13、化规律 实验：对血药浓度数据作拟合，符合负指数变化规律第19页，此课件共40页哦3.血液容积v,t=0注射剂量d,血药浓度立即为d/v.2.药物排除速率与血药浓度成正比，比例系数 k(0)模型假设模型假设1.机体看作一个房室，室内血药浓度均匀一室模型模型建立模型建立 在此，d=300mg，t及c（t）在某些点处的值见前表，需经拟合求出参数k、v第20页，此课件共40页哦用线性最小二乘拟合用线性最小二乘拟合c(t)c(t)计算结果：计算结果：d=300;t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.2

14、4 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：程序：第21页，此课件共40页哦给药方案给药方案 设计设计cc2c10t 设每次注射剂量D,间隔时间 血药浓度c(t)应c1 c(t)c2 初次剂量D0 应加大给药方案记为：给药方案记为：2、1、计算结果：计算结果：给药方案给药方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02第22页，此课件共40页哦故可制定给药方案：故可制定给药方案：即:首次注射375mg，其余每次注射225mg，注射的间隔时间为4小时。第23页，此课件共40页哦插值拟合实例插值拟合实例1 1：城市供水量的预

15、测问题：城市供水量的预测问题实际问题与背景实际问题与背景：为了节约能源和水源，某供水公司需要根据日供水量记录估计未来一时间段（未来一天或一周）的用水量，以便安排未来（该时间段）的生产调度计划。现有某城市7年用水量的历史记录，记录中给出了日期、每日用水量（吨/日）。如何充分地利用这些数据建立数学模型，预测2007年1月份城市的用水量，以制定相应的供水计划和生产调度计划某城市某城市7 7年日常用水量历史记录（万吨年日常用水量历史记录（万吨/日）日）日期日期2000010120000101200001022000010220061230200612302006123120061231日用水量日用水量

16、122.1790122.1790128.2410128.2410150.40168150.40168148.2064148.2064第24页，此课件共40页哦2000-20062000-2006年年1 1月城市的总用水量（万吨月城市的总用水量（万吨/日）日）年份年份20002000200120012002200220032003200420042005200520062006用水量用水量403240324141418641860254025442964296986698664374437485285244354435234423444505450542744274451745176993699

17、3利用这些数据，可以采用时间序列、灰色预测等方法建立数学模型来预测2007年1月份该城市的用水量。如果能建立该城市的日用水量随时间变化的函数关系，则用该函数来进行预测非常方便。但是这一函数关系的解析表达式是没办法求出来的，那么能否根据历史数据求出该函数的近似函数呢？根据未知函数的已有数据信息求出其近似函数的常用方法有插值法和数据拟合。下面利用插值法和数据拟合方法给出该城市供水量的预测。第25页，此课件共40页哦城市供水量预测城市供水量预测 用数值方法进行预测时，一般是根据数据的散点图特征采用插值或拟合来实现。用插值方法预测用插值方法预测20072007年年1 1月份城市的用水量月份城市的用水量

18、 预测2007年1月份城市的用水量有两种办法：一是先预测1月份每天的日用水量，求和后即得到1月用水总量；二是直接用2000-2006每年1月份的总用水量来预测。第26页，此课件共40页哦1.1.用用0606年每天的日用水量年每天的日用水量预测预测 以预测07年1月1日为例，由于数据量过大，07年1月的用水量与前一年相关性大，而与2000-2005年用水量的相关性不大。故仅用06年全部365天的日用水量作为插值节点 ，其中 ，表示第i天，即为第i天的日用水量（万吨/日）。其散点图如图2.7.1所示。设插值多项式为 ，则07年1月1日的日用水量的预测值即为 在 处的函数值。图106年城市日用水量散

19、点图第27页，此课件共40页哦 下面分别用拉格朗日与牛顿插值方法得到365次插值多项式，并计算得 分别为1.8781e+109、-9.3842e+167。这些结果的误差大得让人无法接受。说明在大区间上做高次插值不可行，实际中，当节点数较多时，一般用分段低次插值。这里用三次样条插值法求解，其样条曲线如图2.7.2所示。对应的插值结果为133.6641。图图2 2 三次样条曲线三次样条曲线 第28页，此课件共40页哦 但若用这个三次样条函数来计 ，即该月后30天的日用水量，结果为98.1477、33.0292、-4.8837，误差逐渐增大。且从第四天开始的估计值就开始为负值-70.3188。结果说

20、明，在用插值多项式进行外插时，当计算点远离插值区间时，误差增大。因此，外插时一般要求计算点靠近插值区间。综上所述，仅用06年一年数据预测07年1月份每天的日用水量时，即便使用低次插值，误差也会很大。因此用365个数据点做插值不合理。第29页，此课件共40页哦 2.2.用用2000-20062000-2006年年1 1月份每天的日用水量预测月份每天的日用水量预测 采用2000-2006年1月每天的日用水量预测07年1月对应天的日用水量。同样，以预测07年1月1日为例。以2000-2006每年1月1日的日用水量作为插值节点 ，则 即为所要求的07年1月1日用水量的估计值。同理，其它30天的日用水量

21、也对应地求出。此时，待插节点只有1个，且与插值区间距离为1。因插值节点只有7个，我们采用拉格郎日、牛顿和三次样条插值函数进行计算，三种方法计算的结果基本相同，求得07年1月每天日用水量分别为143.6962，139.7505,146.5117。对它们求和得07年1月份总用水量的预测值为4517.6993（万吨/日）。其计算结果如图3所示（”+”号所示为217个已知的前七年日用水量节点，”*”号所示为预测的31天的用水量值）。第30页，此课件共40页哦 这证实了，当插值节点少，且计算点距离插值区间近时，多项这证实了，当插值节点少，且计算点距离插值区间近时，多项式插值方法做外插是适用的。式插值方法

22、做外插是适用的。图图3 3 三种插值函数曲线三种插值函数曲线 第31页，此课件共40页哦3.3.用用2000-20062000-2006年年1 1月城市的总用水量预测月城市的总用水量预测 由表2可到七个插值节点 ，其中 。其散点图如4所示：图4 散点图 用三次样条插值得即所求的07年1月用水总量的估计值为4378.1390（万吨/日）。第32页，此课件共40页哦上述插值方法得到的07年1月用水总量估计值如下表2所示：表2 插值法得到07年1月用水总量估计值（万吨/日）插插值节值节点点0606年日用水年日用水量量00-0600-06年年1 1月每天日用月每天日用水量水量00-0600-06每年每

23、年1 1月用水月用水总总量量预测结预测结果果误误差大差大4517.69934517.6993（万吨（万吨/日）日）4378.13904378.1390（万吨（万吨/日）日）第33页，此课件共40页哦用数据拟合方法预测用数据拟合方法预测20072007年年1 1月份城市的用水量月份城市的用水量（1 1）用）用0606年每天的日用水量预测年每天的日用水量预测 由06年全部365天的日用水量散点图1可知，这些点并不简单地呈现线性或二次关系，但有很强的聚集性。我们试图用几个多项式进行拟合。用Matlab工具箱得到如表3拟合结果。表3 拟合次数与残差的关系 拟合结果显示，九次拟合的均方根误差是最小的，但

24、四次曲线拟合的效果已经与它很接近了。为了尽量避免过拟合，在这里选择四次拟合。拟合曲线如图5所示。线线性性二次二次三次三次四次四次五次五次六次六次七次七次八次八次九次九次均方根均方根误误差差5.3664.6894.554.03.9933.8973.7813.7313.701第34页，此课件共40页哦 拟合曲线的表达式为：计算 在 处的函数值分别得到07年1月31天的日用水量为150.8524，150.8718，152.9422。对它们求和得到1月份总用水量的估计值为4700.4297（万吨/日）。图图5 5 四次拟合曲线四次拟合曲线第35页，此课件共40页哦 （2 2）用）用2000-20062

25、000-2006年年1 1月份每天的日用水量预测月份每天的日用水量预测 由2000-2006年1月1日的日用水量得到7个插值节点，利用拟合曲线计算 即07年1月1日日用水量估计值。因插值节点只有7个，因此用6次拟合曲线刚好可过所有插值节点。图6显示的是六次拟合结果。图6六次拟合曲线 第36页，此课件共40页哦 计算 得07年1月1号日用水量为5.74456，产生了较大的误差。这说明出现了严重的过度拟合现象。因此，六次拟合曲线不可采用。通过1到5次拟合曲线的均方根误差指标值可知，用线性拟合结果最佳。拟合曲线表达式为 ，计算 ，得07年1月1号日用水量估计值为145.6869。拟合曲线如图7：图7

26、线性拟合曲线 同理用线性拟合得到第2到31天日用水量估计值为143.7937、148.3227。相加得到1月份用水总量的估计值为4654.8538（万吨/日）。第37页，此课件共40页哦 （3 3）用）用2000-20062000-2006年年1 1月城市的总用水量预测月城市的总用水量预测 同理，尽管六次拟合曲线能完全拟合已知节点，但将对计算点产生较大误差，在此，选用三次拟合曲线，其表达式为：，计算得的近似值为4547.0724（万吨/日）。图8三次拟合曲线第38页，此课件共40页哦上述拟合方法得到的上述拟合方法得到的0707年年1 1月用水总量估计值如下表月用水总量估计值如下表4 4所示：所

27、示：数据数据0606年日用水量年日用水量00-0600-06年年1 1月每天日用水量月每天日用水量00-0600-06每年每年1 1月用水月用水总总量量结结果果4700.42974700.4297（万吨（万吨/日）日）4654.85384654.8538（万吨（万吨/日）日）4547.07244547.0724（万吨（万吨/日）日）表表4 拟合法得到拟合法得到07年年1月用水总量估计值（万吨月用水总量估计值（万吨/日）日）第39页，此课件共40页哦小结：小结：上述实验说明：三次样条插值是优秀的插值方法，可以大大克服高次大区间插值的缺陷。但它在外插时也有强局限性，要求计算点不能与插区间距离太远。在实际问题中，特别是数据量过大时，拟合的结果往往优于插值。用插值、拟合的方法得到的07年1月用水总量的估计值结果显示，用2000-2006年1月每天日用水量和用2000-2006年1月用水总量做预测得到的结果相近，同时效果优于用06年全年日用水量做预测。这说明07年1月份的用水量确实与前七年1月份用水量相关。第40页，此课件共40页哦